Egzamin dla Aktuariuszy z 19 czerwca 1999 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
∑
=
5
0
kosci)
(
kosci
k
6
same
k
k
P
P
p
P
=
=
36
25
rzutach)
2
w
6
wypadla
nie
(
k
k
P
k
P
−
=
=
5
1
36
11
36
25
k
5
kosci)
k
(
)
(
5
5
1
36
11
)
0
(
=
P
4
1
36
11
36
25
5
)
1
(
=
P
3
2
1
36
11
36
25
10
)
2
(
=
P
2
3
1
36
11
36
25
10
)
3
(
=
P
=
36
11
36
25
5
)
4
(
4
1
P
5
1
36
25
)
5
(
=
P
=
+
+
+
+
+
=
)
5
(
6
1
)
4
(
6
1
)
3
(
6
1
)
2
(
6
1
)
1
(
6
1
)
0
(
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
P
P
P
P
P
P
ODP
%
33
,
1
6
25
6
11
25
5
6
11
25
10
6
11
25
10
6
11
25
5
6
11
15
5
14
4
13
2
3
12
3
2
11
4
10
5
≈
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
=
Zadanie 2
(
)
(
) (
)
∑
=
×
=
×
3
1
2
b
2
II
III
k
b
II
k
P
k
bIII
P
b
P
3
1
10
1
10
3
10
6
3
1
3
1
2
5
1
3
1
2
5
2
3
3
1
2
5
2
4
b)
2
(
=
+
+
=
+
+
=
×
II
P
(
) (
)
5
3
3
1
10
6
3
1
b)
2
II
(
)
1
(
1
b
2
b
2
1
=
=
×
×
=
×
P
P
II
P
II
P
(
)
10
3
b
2
II
2
=
×
P
(
)
10
1
b
2
II
3
=
×
P
18
9
2
1
10
1
10
4
0
10
3
3
1
5
3
3
2
=
=
+
=
+
+
=
ODP
Zadanie 3
X
a
Y
b
−
=
(
)
(
)
∑
∑
−
−
=
2
X
X
Y
X
X
a
i
i
i
5250
5
,
212
=
=
Y
X
07
,
15
)
5
,
212
500
(
)
5
,
212
200
(
)
5
,
212
100
(
)
5
,
212
50
(
9000
)
5
,
212
500
(
7000
)
5
,
212
200
(
3000
)
5
,
212
100
(
2000
)
5
,
212
50
(
2
2
2
2
≈
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
a
b równa się około 2,05 tys
Zadanie 4
)
1
,
0
(
1
,
0
wypadek
Y
plec
X
m
k
≅
≅
841
,
3
)
1
(
05
,
0
=
→
kw
χ
30
220
160
40
450
11
10
00
01
=
=
=
=
=
n
n
n
n
n
70
380
250
200
1
0
1
0
=
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
n
n
n
n
(
) (
)
+
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
−
=
450
/
380
250
450
/
380
250
220
450
/
380
200
450
/
380
200
160
2
2
χ
(
) (
)
41
,
5
450
/
70
200
450
/
70
200
40
450
/
70
250
450
/
70
250
30
2
2
≈
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
−
+
5,41>3,841 z tego wynika, Ŝe odrzucamy
Prawidłowa odpowiedź A
Zadanie 8
(
)
2
2
2
zaleznych
60
tylko
tutaj
80
1
80
1
2
2
2
2
60
80
2
40
1
80
...
;
80
...
cov
2
80
80
1
80
80
1
var
σ
p
σ
Y
Y
X
X
σ
σ
Y
X
−
=
+
+
+
+
−
+
=
−
4
4
4
4
4
8
4
4
4
4
4
7
6
(
)
(
)
(
)
)
1
(
30
1
2
60
60
1
60
...
var
var
2
2
2
2
2
60
60
1
1
p
σ
σ
p
σ
σ
Y
X
Y
X
Y
X
−
=
−
+
=
−
+
+
−
=
−
=
−
=
−
p
σ
p
σ
60
80
2
40
1
)
1
(
30
1
2
2
2
7
4
30
1
80
120
30
1
40
1
2
=
−
−
=
p
Zadanie 9
(
)
)
,
,
(
)
,
,
(
:
:
p
n
l
Q
p
n
k
Q
x
z
x
P
n
l
p
n
k
−
=
≤
≤
∑
=
−
−
=
n
k
i
i
n
i
p
p
i
n
p
n
k
Q
)
1
(
)
,
,
(
∑
∑
=
−
=
>
⋅
−
−
=
−
−
−
−
=
−
=
n
i
n
n
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
p
2
1
95
,
0
5
,
0
2
5
,
0
2
1
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
1
5
,
0
5
,
0
05
,
0
)
1
(
5
,
0
2
)
(
<
+
⋅
=
n
n
f
n
maleje
f(n)
1
n
dla
0
)
1
5
,
0
ln
5
,
0
(ln
5
,
0
)
(
→
≥
<
+
+
=
′
n
n
f
n
i sprawdzamy dla n=9 <0,05
Zadanie 10
∫ ∫
∫
∫
=
+
+
−
−
−
=
−
−
=
−
−
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
2
5
,
0
8
1
1
5
,
0
2
2
2
)
2
(
y
y
yx
x
x
dxdy
y
x
∫
=
=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
=
−
=
1
5
,
0
1
5
,
0
2
8
1
16
2
16
1
5
4
10
16
1
2
1
8
5
4
1
8
5
4
8
5
2
1
8
5
y
y
y
