Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)
(0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)
(0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6)
(0,3) (1,4) (2,5) (3,6)
(0,4) (1,5) (2,6)
(0,5) (1,6)
(0,6)
+
⋅
=
pasuja
2
jedna
rzedu
1
z
nie
rzedu
1
z
nie
i
pasuja
2
C
A
4
4
4
8
4
4
4
7
6
4
4
4
8
4
4
4
7
6
P
P
ODP
⋅
+
4
8
47
6
4
4
4
8
4
4
4
7
6
D
B
pasuja
2
rzedu
1
z
1
rzedu
1
z
1
i
pasuja
2
P
P
11
1
6
6
=
−
+
=
A
(to moŜna policzyć bo wtedy jedna z cyfrą jedna...)
11
=
B
26
11
)
(
26
11
)
(
=
=
B
P
A
P
a
C+D=1
26
11
=
→
ODP
Zadanie 2
(
)
(
)
t
Z
Z
Z
nE
ODP
n
=
=
,...,
min
1
1
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
Z
Z
Z
P
t
Z
Z
E
Z
Z
Z
P
t
Z
Z
E
t
Z
Z
Z
E
,...,
min
,...,
min
,...,
min
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
>
>
+
=
=
=
=
(
)
1
1
1
−
+
=
−
−
+
θ
λ
t
λ
λ
t
Z
E
θ
(
)
(
)
(
)
t
θ
t
λ
t
Z
Z
E
t
Z
P
θ
t
λ
λ
t
Z
t
Z
E
θ
θ
+
−
+
=
>
→
>
−
+
=
>
−
−
1
)
(
1
1
)
(
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
1
1
1
1
,...,
min
1
1
−
+
−
+
=
−
+
−
+
+
=
=
θ
t
λ
n
n
t
n
n
t
θ
t
λ
n
t
t
Z
Z
Z
E
n
1
)
1
(
−
+
−
+
=
θ
t
λ
n
nt
ODP
Zadanie 3
W=a(X+Y)+bZ
Chcemy: varW=1
Cov(W,X+Y)=0 Ŝeby nzl
(
)
=
+
+
+
=
+
+
+
)
,
cov(
)
var(
,
)
(
cov
Y
X
Z
b
Y
X
a
Y
X
bZ
Y
X
a
a
b
b
a
b
a
3
16
0
5
,
1
8
)
5
,
0
1
(
)
5
,
1
2
1
4
(
−
=
→
=
+
=
+
+
⋅
+
+
=
(
)
1
3
8
3
3
5
5
,
0
5
,
1
2
)
1
4
(
var
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
+
=
⋅
+
+
+
+
+
=
ab
b
a
ab
a
b
a
ab
ab
a
b
a
W
1
3
16
3
9
256
8
2
2
2
=
−
+
a
a
a
6
46
46
96
3
3
16
,
96
46
3
46
2
3
184
9
2
−
=
−
=
=
=
→
=
b
a
a
Z
Y
X
W
6
46
)
(
96
46
3
−
+
=
W i X+Y nzl
(
)
1
2
2
=
=
+
→
EW
Y
X
W
E
(
)
+
+
+
−
+
⋅
=
+
+
+
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
=
Y
X
Z
E
Y
X
Y
X
Y
X
Z
Z
Y
X
Y
X
E
)
(
96
46
)
(
96
46
9
36
46
)
(
6
96
46
3
2
)
(
96
46
9
1
2
2
2
2
2
(
)
Y
X
Z
E
+
+
2
36
46
(
)
(
)
)
(
16
3
)
(
5
,
1
2
1
4
5
,
1
)
,
cov(
2
Y
X
Y
X
µ
Y
X
σ
Y
X
Z
m
Y
X
Z
E
Y
X
Y
X
Z
+
=
+
⋅
+
+
=
−
+
+
+
=
+
+
+
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
)
(
256
9
32
23
)
(
256
9
8
1
5
,
1
1
)
(
256
9
1
Y
X
Y
X
Y
X
σ
p
Y
X
Z
E
Z
+
+
=
+
+
⋅
−
=
+
+
−
=
+
(
) (
)
(
)
(
)
=
+
+
=
+
+
=
+
Y
X
Z
E
Y
X
E
Y
X
Y
X
Z
EE
Y
X
Z
E
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
=
≅
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
)
8
,
0
(
)
(
256
9
)
(
32
23
)
(
256
9
32
23
)
(
4
2
2
2
N
Y
X
Y
X
E
Y
X
E
Y
X
Y
X
E
2
25
256
3200
64
3
256
9
8
32
23
=
=
⋅
⋅
+
⋅
=
(
)
2
3
5
,
0
1
)
,
cov(
)
,
cov(
)
(
)
(
)
(
=
+
=
+
+
+
=
+
=
+
EYEZ
Z
Y
EXEZ
Z
X
YZ
E
XZ
E
Z
Y
X
E
(
)
25
,
10
4
41
4
9
50
4
9
2
25
2
3
2
25
)
(
var
2
=
=
−
=
−
=
−
=
+
Z
Y
X
Zadanie 4
)
,
(
i
i
p
n
go
Bernoullie
X
≅
b
anp
p
E
i
i
+
=
ˆ
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ˆ
b
abnp
p
n
np
np
a
b
abEX
EX
a
p
E
i
i
i
i
i
i
i
+
+
+
−
=
+
+
=
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
∑
=
+
+
+
−
+
+
−
=
+
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
,
b
abnp
p
n
np
np
a
b
anp
p
p
k
p
p
p
p
E
k
p
p
EL
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
)
∑
=
+
+
+
−
+
−
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
b
abnp
p
n
a
n
p
a
np
a
bp
anp
p
k
i
i
i
i
i
i
i
∑
∑
=
→
=
−
=
∂
∂
i
i
X
n
θ
X
θ
n
θ
ln
ˆ
0
ln
(
)
∫
≅
−
=
−
=
=
<
=
<
−
+
t
t
e
θ
t
e
θ
θ
t
θ
wykl
e
x
x
θ
e
X
P
t
X
P
1
1
1
)
(
1
1
)
(ln
∑
Γ
≅
)
,
(
ln
θ
n
X
i
}
025
,
0
20
ˆ
1
20
ˆ
ˆ
20
.
1
)
,
20
(
=
<
=
<
=
<
=
<
Γ
≅
θ
d
X
P
θ
d
θ
P
d
θ
θ
P
θ
d
θ
P
θ
025
,
0
...
20
ˆ
ˆ
20
.
2
=
>
=
=
>
=
>
θ
c
X
P
c
θ
θ
P
θ
c
θ
P
∫
∫
∫
=
=
=
=
=
=
=
≅
−
−
−
θ
d
d
d
χ
x
t
x
θ
dx
e
x
x
t
dt
e
θ
t
θ
t
θ
x
e
x
θ
0
0
2
0
)
40
(
2
20
19
20
19
20
19
20
025
,
0
2
2
!
19
!
19
.
1
2
4
8
47
6
2. analogicznie =
∫
∞
=
c
dx
χ
2
2
025
,
0
)
40
(
Z tego: 2d=24,433, 2c=59,342
Z tego:
484
,
1
40
342
,
59
20
,
611
,
0
40
433
,
24
20
≈
=
≈
=
c
d
Zadanie 6
(
)
∑
∑
i
i
X
X ,
2
- dostateczna, zupełna
wiadomo:
( )
2
2
2
:
ˆ
X
µ
ENW
µ
=
( )
2
2
2
µ
n
σ
X
E
+
=
( )
(
)
)
1
(
:
ˆ
2
2
2
1
−
−
−
=
∑
n
n
X
X
X
µ
ENMW
µ
i
bo od statystyki dostatecznej i zupełnej
oraz
2
1
ˆ
µ
µ
E
=
≅
n
σ
µ
N
X
2
;
(
)
(
)
∑
∑
−
−
≅
−
nzl
X
i
X
bo
)
1
(
2
i
2
2
2
X
n
χ
σ
X
X
i
WIEMY:
(
)
(
)
)
1
(
var
ˆ
var
ˆ
var
,
)
1
(
ˆ
ˆ
2
2
1
2
2
1
−
−
+
=
−
−
−
=
∑
∑
n
n
X
X
µ
µ
n
n
X
X
E
µ
E
µ
E
i
i
Zadanie 8
Y
X
Z
EZ
S
T
+
=
=
+
gdzie
4
)
var(
2
14
)
2
1
(
4
1
)
(
var
var
)
(
var
2
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
EY
EX
Y
X
EZ
Z
EZ
56
14
4
)
var(
=
⋅
=
+
S
T
8
2
4
4
var
2
=
⋅
=
=
EX
T
32
8
4
4
var
2
=
⋅
=
=
EY
S
8
2
32
8
56
)
,
cov(
)
,
cov(
2
var
var
)
var(
=
−
−
=
→
+
+
=
+
S
T
S
T
S
T
S
T
2
1
2
4
2
2
8
32
8
8
=
⋅
=
=
ODP
Zadanie 9
(
)
=
≅
θ
X
θ
X
X
X
J
θ
X
n
n
,...,
min
,...,
min
)
1
,
0
(
1
1
(
) (
) (
) (
) (
)
y
jednostajn
dla
Y
Y
P
Y
P
X
θ
P
X
θ
P
X
θ
X
P
i
n
n
n
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
≅
≤
−
≤
=
≤
−
≤
=
≤
≤
−
−
−
)
1
,
(
k
n
k
B
Y
k
−
+
≅
1
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
,
1
(
−
−
Γ
Γ
+
Γ
≅
≅
n
x
n
n
n
B
Y
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
2
,
1
(
2
1
x
x
n
n
n
B
Y
n
n
−
−
Γ
Γ
+
Γ
≅
−
≅
−
−
(
)
[
]
∫
−
+
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
≥
−
−
−
−
1
5
,
0
1
1
5
,
0
1
2
1
2
1
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
5
,
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
x
nx
n
Y
P
(
)
[ ]
∫
∫
=
=
=
−
=
≥
−
−
1
5
,
0
5
,
0
0
5
,
0
0
1
1
1
2
1
)
1
(
5
,
0
n
n
n
n
t
nt
x
n
Y
P
9
,
0
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
)
1
(
1
>
+
−
=
+
+
−
−
=
−
−
+
−
−
−
=
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
→
<
+
1
,
0
2
2
n
n
malejące dla n większego lub równego 3
sprawdzamy:
dla n=3 0,625
dla n=4 0,375
dla n=5 0,218
dla n=6 0,125
dla n=7 0,07
czyli ODP=7
