Egzamin dla Aktuariuszy z 21 czerwca 1997 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
49 – miejsce na asy
4! – ustawienie asów
48! – ustawienie pozostałych 49 ⋅ !
4 ⋅4 !
8
!
4 ⋅49
!
4
=
=
5 !
2
49 ⋅ 50 ⋅ 51⋅ 52
52 ⋅ 51⋅ 50
Zadanie 2
θ
P max ≤ θ ∧ max ≥
= 9
,
0 375
c
c>1
t ∈ ( ;
0 θ)
8
t
P(max ≤ t) =
θ
θ
1
F ( θ) − F = 1 −
= 9
,
0 375 → c ≈ ,
1 4142
8
c
c
Zadanie 3
50−
30
k
k
−30 20
−20
e
e
P(
P N
N
50 N
k
5
( 0
k)!
k!
N
k N
N
50
1 =
1 +
2 =
) ( 1 + 2 =
1 =
)
−
=
P( N
N
50
1 +
2 =
) =
=
50
50
−50
e
5 !
0
k
50
k
k
50
−
− k
3050
50
e
2
5 !
0
50
3 2
50
2 3
2 3
=
=
−
=
→ var = 50 ⋅
= 12
5
( 0 − k)! k! 3 5050
50
e
k
5 3
k
5 5
5 5
Zadanie 4
1
cov( X , Y ) x +
X Y
7 = m
x
m
Y +
( − X ) cov( , ) 1
→
=
2
2
2
σ
σ
2
X
X
var Y = 9 = E(var( Y X ) + var( E( Y X ) 1
1
= 8 + var X + 7 = 8
2
2
+ σ
σ
X →
X = 4
2
4
1
z tego: cov( X , Y ) =
4 = 2
2
Zadanie 5
n
(
2
i
x − )
1
1
−
2
8
(∑ ix −2∑ ix+ n)
∏ e
−
2Π 2
e
8
P
0
= P
> t =
n
2
2
i
x
∑ ix
1
− 8
−
∏ e
e
8
2Π 2
≅ N (0;4 n)
2∑ xi − n
x
∑
8
7
6
i
n
n
8
= P e
> t = P
− > ln
t =
P ∑ X
i
> 4ln t + = , 0 01
4
8
2
n
n
4 ln t +
4 ln t +
∑ Xi
n
P
2
2
>
= 01
,
0
→
=
4
33
,
2
ln t +
= 33
,
2
⋅ 2 n
2 n
2 n
2 n
2
≅ N ( n;4 n)
8
7
6
moc P
µ= ∑ X i > 3
,
2 3 ⋅ 2 n > 9
,
0
1
3
,
2 3 ⋅ 2
n − n
3
,
2 3 ⋅ 2 n −
P Y >
>
n
9
,
0
→
≤ − ,
1 28
2 n
2 n
n
3
,
2 3 + ,
1 28 ≤
2
n ≥ 7,22
n ≥ 52 1
, 2 → n = 53
Zadanie 6
1 ∞
1
1
1
∫ ∫
− y+
( x + y)
x
e
dydx = ∫ [
x
− y
x
−
− xe e −
y
e ye
− x y
e e
]∞
−
= x x
x
dx
x
x
x
∫ + +1 = ∫(2 + )1 = [ 2 + ]1 2
0 =
0 x
0
0
0
Zadanie 7
=
−
−
−
f (
2
2
2
f X
θ f θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ X = 0)
( 0 ) ( ) 1( 3)
1
(
3
)
1
(
3
)
=
=
=
=
P( X = 0)
1
1
1
2
3
3
∫ 1(− θ 3
)
4
θ
θ − θ
4
4
0
0
1
1
4
5 1
ODP = ∫ θ ⋅
θ
θ
4 1
( −
2
θ 3
) θ = 12∫
1
1
3
4
5 −
θ − θ = 12
−
=
4
12
1
2
− = 12
=
=
,
0 6
4
5
4
5
20
20
0
0
0
Zadanie 8
8
− λ∑ xi
8
=
−
i 1
2
λ 9
x
L = λ e
λ x e
9
8
ln L = 8ln λ − λ∑ x λ
x
λx
i + 2 ln
+ ln 9 − 9
i=1
∂
8
9
= 8 − ∑ x
x
x
λ
i + 2 −
10
0
9 =
− ∑ i = ⋅
∂ λ λ
λ
λ
i=1
i=1
9
10 − λ∑ x
λ
i =
→ = 10
ˆ
0
9
i=1
∑ xi
i=1
Zadanie 9
2
1 50
2
( x
...
x
26 +
+ 50 )
ODP =
∑ x
i − 2
5
24
25
i=26
x
x
1 + ... +
25 = 25 ⋅1 ,
0 4
x
+ + x =
−
⋅
=
x
x
...
500
25 1 ,
0 4
240
1 + ... +
50 = 500
26
50
50
5002
⋅
2
(25 1 ,04)2
2
2
( x
x
1 + ... +
25 )2
x
x
→ ∑ x
i
= 98 +
− 24 ⋅ 3
,
3 33 −
1 + ... +
25 −
= 24 ⋅ 3
,
3 33
25
50
25
i=26
= 231 ,
4 008
2
2
( x
x
1 + ... +
50 )2
x
x
1 + ... +
50 −
= 98
50
2
1
240
ODP =
231 ,
4 008 − 25
= ,
0 417
24
25
Zadanie 10
Łańcuch Markowa:
2 1
2 1
2
2
2
P
)
1
,
1
(
=
+
=
p(
)
1
,
2
=
p
)
1
,
3
(
=
3 2
3 2
3
3
3
1 1
1
1
p ,
1
( 2) =
=
p( ,
2 2) =
p(3,2)=0
2 3
6
3
1 1
1
1
p
)
3
,
1
(
=
=
p(2,3)=0
p
)
3
,
3
(
=
2 3
6
3
szukamy rozkładu stacjonarnego i p 1
2
1
1
3
6
6
[
2
1
p , p , p
0 = p , p , p 1
2
3 ]
[ 1 2 3]
3
3
2
1
0
3
3
2
2
2
p
p
p
p
1 +
2 +
3 =
1
3
3
3
1
p
p
2 =
1
1
1
4
p
p
p
1 +
2 =
2
→
6
3
1
p
p
3 =
1
1
1
4
p
p
p
1 +
3 =
3
6
3
p + p + p = 1
1
2
3
1
1
p +
p +
p = 1
1
1
1
4
4
3
2
p = 1 → p =
1
1
2
3