Egzamin dla Aktuariuszy z 27 marca 1999 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
N=10-X X – liczba białych w losowaniu 2 kul
38
9
20
19
10
9
!
20
!
18
2
!
8
2
!
10
2
20
2
10
)
0
(
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
X
P
19
10
20
19
200
!
20
!
18
2
100
2
20
100
)
1
(
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
X
P
38
9
)
2
(
=
=
X
P
1
38
38
38
18
19
10
=
=
+
=
EX
19
28
38
56
38
36
38
20
2
=
=
+
=
EX
19
9
19
19
19
28
var
=
−
=
X
19
9
var
var
=
=
X
N
Zadanie 2
Tu chyba błąd bo wychodzi 7/16
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
+
+
−
−
=
+
+
=
5
,
0
0
25
,
0
2
0
5
,
1
5
,
0
25
,
0
2
25
,
0
2
2
5
,
1
1
25
,
0
2
16
7
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
dydx
dydx
dydx
ODP
Zadanie 3
(
)
∑
=
⋅⋅
⋅
−
=
k
i
i
x
x
n
SSA
1
2
(
)
∑∑
=
=
⋅
−
=
k
i
n
j
i
ij
x
x
SSE
1
1
2
[
]
)
1
(
/
)
1
/(
−
−
=
n
k
SSE
k
SSA
F
{
}
)
1
(
,
1
/
1
−
−
−
≥
=
n
k
k
α
f
F
K
4
9
;
41
,
4
;
40
;
5
;
5
,
30
,
31
,
30
,
10
,
2
:
2
1
12
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅
⋅
⋅
F
kw
SSE
SSA
y
y
y
n
k
H
przyjmujemy
2
;
41
,
4
;
45
;
5
;
5
,
31
;
32
;
31
:
3
2
23
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅
⋅
⋅
F
kw
SSE
SSA
y
y
y
H
przyjmujemy
28
,
10
;
41
,
4
;
35
;
20
;
31
;
32
;
30
:
3
1
13
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅
⋅
⋅
F
kw
SSE
SSA
y
y
y
H
odrzucamy
35
,
3
5
,
4
;
35
,
3
;
60
;
20
;
31
;
32
;
31
;
30
;
10
;
3
:
3
2
1
123
>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
F
kw
SSE
SSA
y
y
y
y
n
k
H
odrzucamy
czyli odpowiedź (D)
Zadanie 4
0
1
θ
θ
>
(
)
(
)
( )
(
)
( )
→
=
∞
∞
−
n
θ
n
θ
n
θ
θ
θ
θ
x
χ
x
χ
x
p
x
p
:
1
;
:
1
;
0
1
0
1
0
1
2
)
(
)
(
rosnąca
n
x
:
1
statystyka:
n
x
:
1
(
)
01
,
0
:
1
0
=
≥
c
x
P
n
θ
(
)
2
ln
100
ln
01
,
0
ln
2
ln
01
,
0
2
ln
0
n
c
cn
e
c
X
P
cn
n
θ
=
→
=
−
→
=
=
≥
−
(
)
(
)
64
,
0
1
1
1
2
ln
≥
=
≥
=
−
−
θ
c
n
n
θ
θ
e
c
X
P
moc
(
)
64
,
0
ln
2
ln
1
≥
−
−
θ
c
n
2
ln
64
ln
100
ln
1
n
θ
c
−
≤
−
2
ln
64
ln
100
ln
2
ln
100
ln
1
n
θ
n
−
≤
−
64
ln
100
ln
2
ln
100
ln
1
−
≤
−
n
θ
64
ln
2
ln
1
≥
n
θ
1
1
1
6
2
ln
2
ln
6
2
ln
64
ln
θ
θ
θ
n
=
=
≥
Zadanie 5
)
1
(
3
)
1
(
3
p
p
N
P
−
=
=
4 próby
2
3
)
1
(
2
4
)
2
(
p
p
N
P
−
=
=
5 prób (wybór poraŜek na
2
4
)
(
)
2
3
3
2
1
6
)
1
(
3
p
p
p
p
p
+
−
=
−
2
6
12
6
3
3
p
p
p
+
−
=
−
0
1
3
2
2
=
+
−
p
p
1
2
4
9
=
⋅
−
=
∆
2
1
P
odpada
1
4
1
3
;
4
1
3
2
1
=
→
=
+
=
−
=
p
p
Zadanie 6
Wiemy:
)
(
)
(
3
)
(
)
(
!
0
!
2
!
3
2
2
3
max
x
f
x
F
x
f
x
F
f
X
=
=
(
)
(
)
)
(
)
(
1
3
)
(
)
(
1
!
2
!
3
2
2
3
min
x
f
x
F
x
f
x
F
f
X
−
=
−
=
)
(
)
(
2
2
max
x
f
x
F
f
X
=
(
)
)
(
)
(
1
2
2
min
x
f
x
F
f
X
−
=
(
)
(
)
∫
∫
−
=
−
−
=
1
)
(
2
)
(
3
)
(
)
(
1
3
)
(
)
(
3
2
2
x
F
x
xf
x
f
x
F
x
x
f
x
xF
L
(
)
(
)
∫
∫
=
−
=
−
−
=
L
x
F
x
xf
x
F
x
xf
x
f
x
xF
P
1
)
(
2
)
(
2
2
3
)
(
1
)
(
2
)
(
)
(
2
2
3
Odpowiedź prawidłowa (A)
Zadanie 7
( )
∫
∫
∫
∞
∞
∞
+
−
−
−
=
+
=
=
=
=
Γ
=
=
0
0
0
)
2
(
2
2
2
2
3
4
)
2
(
2
)
(
)
(
x
β
α
e
λ
λ
d
e
λ
e
λ
λ
d
λ
f
λ
x
f
x
f
x
λ
λ
x
λ
)
2
;
2
(
)
2
(
8
)
2
(
2
4
2
3
Pareto
x
x
≅
+
=
+
=
8
2
8
)
2
(
2
1
)
2
(
4
2
1
2
2
1
)
(
2
2
2
=
+
→
=
+
→
=
+
→
=
+
−
=
x
x
x
x
x
F
X
828
,
0
2
8
≈
−
=
=
med
x
Zadanie 8
(
)
∑
∑
∑
−
=
+
−
=
+
−
n
X
n
X
n
X
n
X
n
X
n
X
n
X
X
n
X
t
t
t
t
t
t
t
t
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
...
µ
n
σ
n
µ
n
σ
n
n
X
X
E
X
E
T
+
=
+
=
+
+
=
