Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
dl
a t ∈ (
)
3
,
0
t
−(3− y)
∫ e
5
,
0
−0,5 y
e
dy
P( Y < t X + Y = 3) 0
=
f
)
3
(
X + Y
t t − x
P( X + Y < t) = ∫ ∫
−0,5 y − x
e
5
,
0
e dydx =
0 0
t
t
= ∫
− x
e
5
,
0
[− 0,5 y
e
2
] t−
−
x
5
,
0
2
2
0
= ∫
− x
e [ −
−0,5( t− x
e
) ]=
0
0
= [ − x
−0,5 t
− e + 2 e
e−0,5 ] t
x
−0,5 t
− t
− t
−0,5 t
− t
1 2
2
1 2
0 =
− e
− e + e = − e
+ e
dl
a t ∈ ( ;
0 ∞)
−0,5 t
− t
f
t
( ) = e
− e
X Y
+
t
t
∫ −(3− y)
−0,5 y
e
e
5
,
0
dy =
−
e 3
5
,
0
∫ 0,5 y
e
dy =
−
e 3
5
,
0
[ e 0,5
2
] ty = − e 3
1
0
( 0,5 t
e
− )
0
0
t
t
P(
3
−
0,5
0,5
e
e
−
e
−
Y < t X + Y = 3) (
)1
1
=
=
−
,
1 5
−3
,
1 5
e
− e
e
−1
dl
a t ∈ (
)
3
,
0
5
,
0
0,5
e t
f(
t =
Y X + Y =3) ( )
,
1 5
e
−1
E(
3
0,5 t
0,5 t
Y X + Y = )
5
,
0 te
u = t
v′
e
3 = ∫
=
dt =
=
5
,
0
2
t
te
4
t
e
,
1 5
0,5 t
,
1 5
[ 0,5 − 0,5 ]30 =
e
−1
u′
1 v
2 e
e
1
0
=
=
−
5
,
0
e
+
=
e
− e + =
≈
,
1 5
[
,
1 5
6 ,15
4 ,15
]
2
4
8
,
1 6
e
−1
,
1 5
e
−1
Zadanie 2
∞
∞
EX
E X
N
k P N
k
E X X
X
X
X
X
X
X
X P N
k
N = ∑
( N = ) ( = ) = ∑ (
,
,...,
,
(
)
k
1 <
0
2 <
0
k 1 <
0
k >
0
=
−
)
k =1
k =1
,...,
,
,
1 <
0
−1 <
0
> 0
<
P( X < t X
,...,
,
1 < X
X
0
−1 < X
X
0
> X 0 =
=
k
k
k
) P( X X
X
X
X
X
X
t
k
k
k
) L
P( X
,...,
1 < X
X
0
> X
k
0 )
M
t
t
k −1
1
1
L = ∫ P( X
,
,...,
,
1 < s X 2 <
s
t
s
s
X
s X
t
ds
k >
k <
) = ∫ −
=
2
2 2
2
0
0
t
1
1 k
+
1
1
1
1
ts
s 1 t
k
k+1
k +
t
t 1
k +
=
t
k
k
s
t
s ds
k +1 ∫ (
−
− )
= k+1
−
= k+1
−
=
2
2
1
2
1
2
(
)
1
0
k
k +
k
k +
k k +
0
2
2
k −1
M =
t
t
P( N = k) = ∫ P(
1
1
2
X
t,..., X
t, X
t
1 <
k −1 <
k >
)
∫
−
=
=
k −1
2
2 2
2
0
0
2
1 2
k
k +
k +
k +
=
k
k
t
t
k +
∫(
1
1
1
2
1
−
t
− t = k+
−
= k+
−
=
−
=
1
) 1 2
1
2
2
1
1
1
2
2 1 k
k + 1
2 1 k
k + 1
k
k + 1
k( k + )
1
0
0
P(
k
t
X
t N
k
N <
= )
1
+
=
2
( k + )
1 k
t
f(
t =
X
N
N
= k ) ( )
k 1
2 +
k
k
k
E(
2
+1
+
2
2
+2
X
N
N
= k)
t
( k + )
1
k + 1 t
= ∫
k + 1 2
2( k +
dt =
)
1
k +1
k +1
=
=
k 1
2
2
k
2
2
k
2
k
2
0
+
+
+
+
0
E(
k
X
N )
∞
∞
∞
∑ 2( +
=
)
1
1
= ∑
2
= ∑ 1
1
−
=
k
k k
k k
k
k
k =
2
(
)
1
k
(
2)
k
2
1
+
+
=1
+
=1
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
= 1− + − + − + − + − + .... = 1+ =
3
2
4
3
5
4
6
5
7
2
2
Zadanie 3
n
n
n
∑( X
m
Y
m
i −
− 5
,
0 )
2
2
∑( i − + 5
,
0 )
2
1
i=1
i=1
ex
p −
ex
p −
2Π
2
2
λ ( x)
H
=
n
n
n
∑( X
m
Y
m
i −
)
2
2
∑( i − )
2
1
i=1
i=1
exp −
exp −
2Π
2
2
P(λ ( x) > t = 0
,
0 5 →
H
)
K
ODP = β = P ( K ) H 1
n
1
λ ( x) exp
X
m 2
X
m
,
0 25
X
m 2
H
=
∑[− ( i − ) + ( i − )−
+ ( i − ) ]
⋅
2 i=1
n
⋅
1
exp
∑[− ( Y m 2 Y m
,
0 25
Y
m 2
i −
) − ( i − )−
+ ( i − ) ]
2 i=1
n
n
n
=
1
exp
∑(
1
1
X
m
,
0 25 exp
Y
m
,
0 25
exp
X
Y
5
,
0
i −
−
)
∑(− i + −
)
=
∑( i − i − )
2
2
2
i=1
i=1
i=1
prz
y H : X ≅ N ( m ) 1
, , Y ≅ N ( m )
1
,
0
i
i
n
1
1
1
E ∑ ( X − Y − 5
,
0
=
−
− 5
,
0
= −
i
i
)
( nm nm
n)
n
2 =
1
2
4
i
1
var
∑ n(
n
1
1
1
1
1
X
Y
5
,
0
( n
n)
n
X
Y
5
,
0
N
n;
n
i −
i −
)
=
+
=
→ ∑( i − i −
)
≅ −
2
4
2
2
4
2
i=1
i=1
prz
y H : X
i ≅ N ( m +
)
1
;
5
,
0
, Yi ≅ N ( m −
)
1
,
5
,
0
1
n
1
1
1
1
E ∑ ( X − Y − 5
,
0
=
(
+
)
5
,
0
− ( −
)
5
,
0
− 5
,
0
=
5
,
0
=
i
i
)
[ n m
n m
n]
n
n
2 =
1
2
2
4
i
n
1
var ∑ (
1
X − Y − 5
,
0
=
i
i
)
n
2 =
1
2
i
1 n
P
exp
H
∑( X i − Yi − 5
,
0 ) > t = 0
,
0 5
0
2 i 1
=
dl
a N ≅ N (
)
1
,
0
n
1
1
1
1
ln t +
n
∑( Xi − Yi − 5,
0 )
+ n ln t +
n
2 i 1
4
4
P
N
H
>
=
=
PH
>
4
= ,
0 05 →
0
0
n
n
n
2
2
2
1
ln t +
n
4
n
1
≈ ,164 → t = ex
p ,
1 64
− n
n
2
4
2
1 n
n
≅
ODP = P ∑ X − Y −
>
− n =
H
(
N N
5
,
0
i
i
)
(0 )
1
,
1
,
1 64
1
2
i=
2
4
1
n
1
1
,
1 64
− n − n
2
4
4
n 1
= 8
,
1 64 ⋅ 3 − 5
,
4 − 5
,
4
= P N >
= P N >
= P( N > − 3
,
1 6) ≈ ,
0 41309 + 5
,
0
≈ 9
,
0 13
n
3
2
Zadanie 4
A – k zmiennych większych od w
k
L = P( A) ⋅ ∏ f ( y y w
i
i >
)
i=1
t
θ
1 t
∫
dx
−
1
P(
+
X < t X > w) θ
θ
θ
x
x
w
= w
=
w = 1−
∞
θ
1 ∞
t
∫
dx
+1
−
θ
θ
x
x
w
w
f
X (
θ
t X > w) = w θ
θ 1
+
t
∞
P( A) = ∑ P( A N = n) P( N = n) n= k
−
1
1
P( A N = n)
n
n
k
=
P ( X
> w [
n− k
) 1 − P
( X > w)]
n k
=
1 −
k
θ
θ
k
k w
w
∞
n− k
n
∞
m
k + m
1
1
λ
λ
1
1
λ
P( A) = ∑ n
m + k
−
λ
1 −
e
= n − k = m =
1
e
k
θ
θ
∑
−
−
=
k
k w
w
n!
θ
θ
(
)!
0
k
w
w
m
k
n= k
m=
+
m
1
λ1
m
−
∞
∞
θ
= ∑ 1 1
1
w
k + m
−λ
1 1
k
−
1 −
λ
e
=
λ e λ
k
θ
θ
k
θ
∑
=
k m w
w
k w
m
m=
! !
!
m
!
0
=0
λ k
1
k
λ
λ
λ −
1
θ
1 1
θ
−
1
k
−
w
w
λ
θ
θ
λ
=
λ
w
w
=
=
θ
e e
e
e
k
θ k
k! w
k! w
k!
λ k
(
θ
w θ ) k
λ
θ
w
−
θ
w
L =
e
k
θ +1
k
y
∏
!
i
i=1
ln L = k ln( θ
w θ )− θ
( + )
1 ∑
λ
ln y
ln
ln !
i +
λ
k
− k −
θ
w
θ
w
∂
k
1
ˆ
ˆ
= −
= 0
θ
→ λ = kw ( a)
θ
λ
∂
λ w
∂
( a)
=
k
λ
k
λ
k ln w +
− ∑ln y
i − k ln w +
ln w = 0 →
−
θ
∑ln yi + ln w = 0
∂θ
θ
w
θ
λ
k
k − θ ∑ ln y
kθ ln w
i +
= → ˆ
0
θ =
k
θ
∑ k ln y k ln w
i −
i=1
Zadanie 5
co [
v f ( X
f X
E f X
f X
Ef X
Ef X
n ),
( n =
n
n
−
1
+ )]
[ ( ) ( 1+)]
( n ) ( n 1+)
Ef ( X
P X
P X
P X
n ) =
( n = )1+ 2 ( n = 2)+ 3 ( n = 3) Ef ( X
P X
P X
P X
n+
=
n+
= +
n+
= +
n+
=
1 )
( 1 )1 2 (
2
1
) 3 (
3
1
)
E[ f ( X
n ) f ( X n+
P X
1 p
2 p
3 p
1 )] =
( n = )[ 11 + 12 + 13]+
+ P( X = 2
+
+
+
=
+
+
n
)[2 p 4 p 6 p
P X
3 3 p
6 p
9 p
21
22
23 ]
( n )[ 31
32
33 ]
Ef ( X
n+
P X
1 p
P X
2 p
P X
3 p
1 ) =
( n = ) 11 + ( n = ) 21 + ( n = ) 31 +
+ [
2 P( X
n =
)1 p P X 2 p
P X
3 p
12 +
( n = ) 22 + ( n = ) 32]+
+ [
3 P( X =
+
=
+
=
n
)1 p P X 2 p
P X
3 p
13
( n
) 23
( n ) 33]
1
9
1
1
1
1
c = p
p
p
1
+ +
4
2
⋅ + 6 ⋅ + 3
3
⋅ + 6 ⋅ −
4
4
2
2
2
2
− (
1
1
1
1
3
1
p
2 p
3 p
p
p
2
p
p
3
p
p
1 +
2 +
3 )
1 +
3 +
2 +
3
+
1 +
2
=
4
2
2
2
4
2
= 5
9
5
5
3
p
5 p
p
p
2 p
3 p
p
p
p
1 +
2 +
3 − (
1 +
2 +
3 )
1 +
2 +
2
2
3
2
2
2
szukamy rozkładu stacjonarnego:
1
3
0
4
4
(
1
1
p , p , p
0
= p , p , p
1
2
3 )
( 1 2 3)
2
2
1 1
0
2
2
1
1
p +
p = p
4 1
2 3
1
3
p =
p
1
1
3
2 1
p +
p = p →
d
l
a p + p + p = 1
2 2
2 3
2
3
1
2
3
p =
p
3
1
2
2 1
p +
p = p
4 1
2 2
3
3
3
p +
p +
p = 1
1
2 1
2 1
1
p =
1
4
3
p = p =
2
3
8
5 1
3
9 3
1
3
3
5 1
5 3
3 3
67
17 34
42
21
c =
+ 5⋅ +
− + 2 ⋅ + 3⋅
+
+
=
−
= −
= −
2 4
8
2 8
4
8
8
2 4
2 8
2 8
16
8 16
8 ⋅16
64
Zadanie 6
P( N = k X , Y ) = P( N = k X ) k
X
− X
=
e
k!
f ( x Y ) ≅ Γ( ,
2 Y )
Y ≅ Γ(
)
3
,
4
EN = EE( N X ) = EX
2
EN = EE( 2
N X ) = E(
2
X + X )
var N = EX + EX 2 − ( EX )2 = EX + var X
∞
α
EX = EE( X Y )
2
1 34
= 3
− y
⋅
⋅
3
3
2 34
!
2
2 3
= E = 2∫
y e
=
=
=
= 2
Y
y Γ( )
4
β = 3
!
3
33
3
0
2
2
var X = E(var( X Y ) + var( E( X Y )
= E
+ var =
Y 2
Y
2
4
y
α
2
2
1
34
=
4
=
2
3
3
6 3
(2)
6 9
E
+ E
− E = 6
y e
2
2
∫
−
⋅
Γ
⋅
− 4 =
=
− 4 =
− 4 = 5
Y
Y
Y
2
y Γ(4)
β = 3 Γ(4) 32
6
var N = 2 + 5 = 7
Zadanie 7
∫ L( m, a) f ( m X ,...., x 1
13 ) dm → min
m
f (
f x ,..., x m f ( m) m x , x ,..., x
=
1
2
13 )
( 1 13 )
f ( x ,..., x
1
13 )
∞
13
2
1
1
(
)
1 2
f ( x ,..., x
1
13 )
∑( xi − m)
m −
= ∫
exp −
ex
p −
dm =
−∞
2Π
2
2Π 3
6
∞
2
1
∑
2
2
x
=
i
m 13
m
1
1
(
exp
m
x
m
14
i
2Π )
∫
−
+ ∑ −
−
+
− =
3 −∞
2
2
6
3
6
∞
2
2
2
1
20
3 1
3 1
∑ x
=
i
1
(
exp
m
x
exp
x
Π 14
i
i
2
) ∫ − − +∑
+ ∑ −
− =
3
40 3
80 3
3 −∞
2
6
2
2
1
3 1
∑ xi 1
3
= (
+ ∑ x
i
−
−
Π
14
2Π )
exp
2
80 3
2
6
40
3
1
1
2
13
2
1
2
1
1
exp
x
m
x
m
m
m
14
− ∑ i + ∑ i −
−
+
−
f ( m x ,..., x
1
13 )
( 2Π)
2
2
6
3
6
=
3
=
1
1
1
3
2
1
2
1
(
exp
x
x
x
13
∑ i
∑ i
∑ i
2Π )
+
+
( ) −
−
240
40
80
2
6
40
1
=
1
2
20
1
1
1
1
3
2
2
1
2
1
exp− ∑ x
m
x
m
m
x
x
x
i
+ ∑ i −
+
− −
−
∑ i − (∑ i )
+ ∑ i +
=
3
2
3
3
6
240
40
80
2
6
2Π
40
2
1
20
3 1
3 1
2
=
exp−
m −
1
1
3
+ ∑ x exp
2
x
x
x
i
+ ∑
i
−
−
∑ i − (∑ i ) =
3
3
40 3
80 3
240
40
80
2Π 40
2
3 1
m −
+ ∑ x
i
1
40 3
3 1
3
=
exp −
≅
N
+ ∑ x ;
i
3
3
40 3
40
2Π
2 ⋅
40
40
∞
∫[ em− a − ( m − a) − ]1 f ( m x ,..., x ( )
min
1
13 ) dm = L a
→
−∞
OZN : ( m x ,..., x
1
13 ) ≡ X
L( a) =
−
M
)
1
(
a
e
EX
a
X
−
+ −1
1
dla r
ozkladu n
ormalneg
o M ( t)
tµ
t δ
X
= ex
p
X +
2
2
2
X
3 1
3 − a
3 1
L( a) = exp
+ ∑ x
i
+
e
−
+ ∑ x
i
+ a −1
40 3
80
40 3
dla ∑ x
i = 15
3 1
3 − a
3 1
L( a) = exp
+15
+
e
−
+15 + a −1
40 3
80
40 3
∂
− a
+
= −ex [
p .. ]
3
1
3
46
3
92
3
95
19
. e
+1 = 0 → a =
+15 +
=
+
=
=
=
∂ a
40 3
80
40
80
80
80
16
Zadanie 8
A - zdarzenie, że osobnik nie przeżył 1 roku 0
A
- zdarzenie, że przeżył 1 rok i nie przeżył 2 roku 1
A
- zdarzenie, że przeżył 2 lata
2
P( A ) = 1 − (
2
1 − θ
= θ = p
0
) 2 0
θ
P( A ) = (
2
2
1 − θ
= 2θ 1
( − θ ) = p
2
)
2
1 + θ
θ
θ
P( A )
2
2
2
= 1−θ − 1−θ
= 1−θ 1+θ 1−
= 1
( − θ ) = p
1
( 2)
(
)(
)
2
1
1 + θ
1 + θ
2 n
2 n
n
n
n
n
2 n + n
+
0
1
2
2
L = θ
1
( − θ )
2 θ (1 − θ ) 2
2
0
2
2 1
n
n 2
= 2 θ
1
( − θ )
ln L = n ln 2 +
n + n
θ + n + n
−θ
2
(2 0 2)ln (2 1 2 )ln 1( )
∂
2 n + n
2 n + n
n + n
−θ − n + n θ
0
2
1
2
(2 0 2 ) 1( ) (2 1 2)
=
−
= 0 →
= 0
∂θ
θ
1 − θ
θ 1
( − θ )
2
+
2 n + n =
+
+
+
θ → θ =
0
2
(2 n n
n
n
0
2
1
2 )
n
n
ˆ
2
0
2
2 n
to jest rozkład wielomianowy czyli:
En = np
i
i
var n = np 1 − p
i
i (
i )
cov( n , n = − np p
i
j )
i
j
ODP = E( ˆ
θ −θ )2
2
2
ˆ
ˆ
= Eθ − 2θ Eθ +θ
ˆ
ˆ
Eθ = varθ + ( Eθ )2
2
ˆ
2 n + n
1
0
2
ˆ
Eθ = E
=
[2 En + En
0
2 ]
2 n
2 n
2 n + n
1
0
2
ˆ
varθ = var
=
4 var n + var n + 4 cov n , n 2 [
0
2
( 0 2 )]
2 n
4 n
2
En = nθ
0
En = 2 θ
n
1
( − θ )
2
2
var n = nθ 1 − θ
0
( 2)
var n = n ⋅ 2θ 1
( − θ )(1 − 2θ 1
( − θ )) = 2 nθ 1
( − θ )(
2
1 − 2θ + 2θ
2
)
cov( n , n = − nθ ⋅ θ − θ = − nθ
−θ
0
2 )
2
2 1
(
)
2
3 1
(
)
Eθ = 1
ˆ
[2 nθ2 +2 nθ 1(−θ)]=θ2 +θ −θ2 =θ
2 n
θ = 1
ˆ
var
[4 2
nθ
θ
nθ
θ
θ
θ
nθ
θ
2
(1− 2)+ 2 1(− )(1−2 + 2 2)−8 3 1(− )]=
4 n
= 1 4 nθ
4 nθ
2 nθ
4 nθ
4 nθ
2 nθ
4 nθ
4 nθ
8 nθ
8 nθ
2 [
2 −
4 +
−
2 +
3 −
2 +
3 −
4 −
3 +
4 ]=
4 n
2 nθ
θ 1
( − θ )
=
1
( − θ ) =
4 n 2
2 n
θ 1
( − θ )
θ −θ
2
2
2
1
(
)
ODP =
+θ − 2θ + θ =
2 n
2 n
Zadanie 9
Ponieważ cov( X
Y X
Y
X
Y
to Z , R są nieskorelowane więc i +
,
i
i −
i ) = var
i − var
i = 0
i
i
niezależne bo mają rozkłady normalne
EZi = 2µ
var Z = δ 2
i
+ δ 2 + δ
2 2 ρ = δ
2 2 (1 + ρ )
ERi = 0
var R = δ 2
i
+ δ 2 − δ
2 2 ρ = δ
2 2 (1 − ρ )
10
∑( Z Z
i −
)2
10
i 1
=
2
≅ χ
∑( Z − Z
i
)2
2 2
δ (1+ ρ)
9
( )
1 ρ
=
−
i 1
≅ F 9
,
9
(
)
10
10
∑(
2 1 + ρ
R
R
∑( R − R
i
)
i −
)2
i 1
=
2
≅ χ
i 1
=
2 2
δ (1− ρ)
9
( )
f
- kwantyl rzędu t z rozkładu F(9,9)
t ;9;9
1
wiemy, że f
=
sprawdzamy kwantyl rzędu 0,95 w tablicach F(9,9) 0,9 ;
5 9;9
f 0,05;9;9
P( F
)
9
,
9
(
> 1,
3 7889 )
3 =
0
,
0 5
2
S
P
Z
> 2 ⋅ 1
,
3 78893 → k = 2 ⋅ 1
,
3 78893 ≈ 3
,
6 58
2
2
SR
2
S
1
2
P
Z ⋅ 5
,
0
< t = 0
,
0 5 → t =
→ k =
≈ 6
,
0 29
2
SR
1
,
3 78893
1
1
,
3 78893
Zadanie 10
X – numer losowania w którym wyciągamy po raz pierwszy kulę czarną ODP=E(X)-1
6
3
P( X = )
1 =
=
10
5
4 6
4
P( X = 2) =
=
10 9
15
4 3 6
1
P( X = )
3 =
=
10 9 8
10
4 3 2 6
1
P( X = 4) =
=
10 9 8 7
35
4 3 2 1 6
1
P( X = )
5 =
=
10 9 8 7 6
210
3
8
3
4
5
126 + 112 + 63 + 24 + 5
330
110
11
EX =
+
+
+
+
=
=
=
=
5
15
10
35
210
210
210
70
7
11
11 − 7
4
ODP =
−1 =
=
7
7
7