Egzamin dla Aktuariuszy z 14 maja 2007 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
4
,
2
=
=
α
ν
(
)
375
16
3
2
125
8
3
2
3
2
2
)
3
(
3
3
3
=
=
+
=
>
>
−
X
P
X
X
E
(
)
75
16
3
4
25
4
2
3
2
2
3
2
2
)
3
(
3
)
3
(
2
2
2
=
=
⋅
⋅
+
=
>
>
−
X
P
X
X
E
2
4
25
16
3
2
2
)
3
(
=
+
=
>
X
P
9
50
9
25
75
9
25
3
25
15
25
3
25
16
25
375
16
16
25
75
16
2
2
2
2
=
−
=
−
=
−
=
−
=
ODP
Zadanie 2
≅
+
−
4
3
;
4
2
1
bin
X
X
(
) (
)
(
)
21
4
4
1
4
3
6
9
4
1
4
3
3
4
6
3
3
6
4
6
4
2
2
1
2
1
=
=
=
+
=
=
=
X
X
P
X
P
X
P
ODP
Zadanie 3
(
)
θ
θ
e
X
P
100
10
−
=
>
łatwe
X – ilość szkód większych od 10 (bo takie obserwujemy)
(
)
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
=
−
=
=
=
=
=
=
k
n
k
n
λ
n
k
n
θ
k
θ
e
n
λ
e
e
k
n
n
N
P
n
N
k
X
P
k
X
P
!
1
)
(
)
(
100
100
(
)
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
+
−
−
−
−
−
−
=
−
=
=
−
=
−
−
=
k
n
l
λ
l
k
l
θ
θ
k
λ
n
k
n
θ
θ
k
e
λ
l
k
e
e
l
k
n
e
n
λ
e
e
k
k
n
n
0
100
100
100
100
!
!
1
!
1
!
)!
(
!
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
∑
∞
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
0
100
1
100
1
100
100
100
100
!
!
1
!
l
e
λ
k
θ
e
λ
l
θ
e
λ
k
λ
θ
k
θ
θ
θ
e
k
e
λ
e
l
e
λ
e
λ
e
k
e
(
)
θ
x
θ
e
xe
x
x
f
100
2
20
10
−
=
>
(
)
θ
x
θ
i
e
λ
θ
e
e
x
θ
e
e
λ
L
i
θ
400
4
4
100
2
100
)
2
(
24
∑
−
−
−
Π
=
−
∑
∑
+
−
+
+
−
−
−
=
−
θ
X
θ
X
θ
e
λ
θ
λ
L
i
i
θ
400
ln
)
2
ln(
4
24
ln
400
ln
4
ln
2
100
4
0
4
100
100
=
→
=
−
=
∂
∂
−
−
θ
θ
e
λ
e
λ
λ
∑
=
=
→
=
−
+
→
=
−
+
=
∂
∂
−
e
λ
θ
θ
X
θ
e
λ
θ
i
θ
4
ˆ
,
200
1
ˆ
0
1200
4
400
0
4
100
2
100
i moŜna
sprawdzić, Ŝe to max
Zadanie 4
(
)
MIAN
LICZ
c
I
P
=
czarnych
brak
losowaniu
III
po
(1cz,4b) (3b,2c) (4b,1c)
125
8
5
1
5
4
5
2
=
=
LICZ
(
) (
)
125
14
125
6
125
8
5
1
5
2
5
3
5
1
5
4
5
2
=
+
=
+
=
∧
+
∧
=
Ib
A
P
Ic
A
P
MIAN
7
4
14
8
14
125
125
8
=
=
=
ODP
Zadanie 5
(
)
a
X
P
N
P
>
=
=
0
)
0
(
(
)
a
X
X
a
X
P
N
P
>
+
≤
=
=
1
0
0
,
)
1
(
(
)
=
>
+
+
+
≤
+
+
≤
+
≤
=
=
−
−
a
X
X
X
a
X
X
a
X
X
a
X
P
k
N
P
k
k
k
1
0
1
0
1
0
0
...
,
...
,...,
,
)
(
(
)
a
X
X
a
X
X
P
k
k
>
+
+
≤
+
+
=
−
...
,
...
0
1
0
czyli
(
)
)
,
(
gdzie
,
)
(
λ
k
Y
a
X
Y
a
Y
P
k
N
P
Γ
≅
>
+
≤
=
=
∫ ∫
∫
∞
−
−
−
−
−
−
−
−
=
Γ
=
Γ
=
a
y
a
a
y
a
λ
y
λ
k
k
y
λ
k
k
x
λ
dy
e
e
y
k
λ
dxdy
e
y
k
λ
e
λ
0
0
)
(
1
1
)
(
)
(
∫
−
−
−
−
−
=
=
Γ
=
Γ
=
a
k
a
λ
k
a
λ
k
k
a
λ
k
a
λ
k
k
k
λ
a
e
k
a
e
λ
k
a
e
k
λ
dy
e
y
k
λ
0
1
!
)
(
!
)
(
)
(
)
(
)
0
(
D
e
N
P
a
λ
→
=
=
−
Zadanie 6
)
1
,
0
(
,
:
1
J
Y
Y
θ
X
n
≅
=
1
1
1
:
1
+
=
→
+
=
n
a
n
θ
EX
n
)
;
0
(
,
1
1
min
1
min
θ
a
t
θ
a
t
a
t
P
a
t
P
n
∈
−
−
=
>
−
=
<
n
θ
a
t
θ
a
n
t
f
−
=
1
)
(
min
czyli:
(
)
)
)
1
(
;
0
(
,
)
1
(
1
1
,
)
1
(
1
)
1
(
)
(
θ
n
t
θ
n
t
t
T
P
θ
n
t
θ
n
n
t
f
n
n
n
T
n
+
∈
+
−
−
=
<
+
−
+
=
(
)
(
) (
)
4
4 3
4
4 2
1
4
4 3
4
4 2
1
II
n
I
n
n
ε
θ
T
P
θ
ε
T
P
ε
θ
T
P
−
<
+
+
>
=
>
−
0
,
>
∀
→
θ
ε
I
do pewnego momentu ale później gdy
)
1
(
+
<
+
n
θ
ε
θ
to
=
n
n
θ
n
θ
ε
a
+
+
−
=
)
1
(
1
0
to
gdy
)
1
(
1
1
)
1
(
wtedy
:
=
<
+
−
−
−
=
+
<
−
>
→
ε
θ
θ
n
ε
θ
b
θ
n
ε
θ
ε
θ
zal
II
n
n
θ
ε
θ
n
θ
n
θ
ε
θ
ε
θ
n
n
e
θ
n
θ
ε
a
+
−
+
+
−
+
+
−
→
+
+
−
=
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
1
lim
lim
θ
ε
θ
n
e
b
−
−
−
=
1
lim
ODP: jeśli
+
−
−
−
−
+
=
−
+
→
>
−
−
+
−
θ
ε
θ
ε
e
e
ε
θ
θ
ε
θ
θ
ε
θ
1
exp
1
exp
1
1
Jeśli
θ
ε
θ
e
ε
θ
+
−
→
<
Czyli odpowiedź (D) jest prawidłowa
Zadanie 7
∑
=
3
ˆ
i
n
X
n
θ
łatwe
∑
Γ
≅
)
,
(
3
θ
n
X
i
wiemy, Ŝe
)
(
1
)
(
1
θ
I
θ
σ
=
..
)
,
(
ln
)
(
2
1
=
=
σθ
x
θ
f
σ
E
θ
I
(
)
(
)
θ
x
θ
x
θ
e
x
e
x
θ
θ
e
x
θ
x
θ
x
θ
x
θ
3
3
2
2
2
1
1
3
3
1
3
ln
3
3
2
−
=
−
=
∂
∂
−
−
−
(
)
2
2
6
2
3
2
2
3
)
(
1
2
1
1
1
θ
θ
σ
θ
x
θ
x
θ
E
θ
θ
x
θ
E
=
→
=
+
−
=
−
(
)
( )
2
;
0
ˆ
θ
N
θ
θ
n
n
→
−
(
)
)
1
,
0
(
ˆ
N
θ
n
θ
θ
n
→
−
θ
z
θ
z
θ
N
θ
dla
96
,
1
96
,
1
1
;
0
X
N(0,1)
X
2
=
→
=
→
→
≅
i dalej wychodzi przedział (B)
