Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
)
3
,
0
(
∈
t
dla
(
)
)
3
(
5
,
0
3
0
5
,
0
)
3
(
Y
X
t
y
y
f
dy
e
e
Y
X
t
Y
P
+
−
−
−
∫
=
=
+
<
∫ ∫
−
−
−
=
=
<
+
t
x
t
x
y
dydx
e
e
t
Y
X
P
0 0
5
,
0
5
,
0
)
(
[
]
[
]
∫
∫
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
t
t
x
t
x
x
t
y
x
e
e
e
e
0
0
)
(
5
,
0
0
5
,
0
2
2
5
,
0
2
5
,
0
[
]
t
t
t
t
t
t
x
t
x
e
e
e
e
e
e
e
e
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
+
−
−
=
+
−
=
5
,
0
5
,
0
0
5
,
0
5
,
0
2
1
2
2
1
2
)
;
0
(
∞
∈
t
dla
t
t
Y
X
e
e
t
f
−
−
+
−
=
5
,
0
)
(
[
]
(
)
∫
∫
−
=
=
=
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
y
y
y
y
e
e
e
e
dy
e
e
dy
e
e
0
0
5
,
0
3
0
5
,
0
3
5
,
0
3
5
,
0
)
3
(
1
2
5
,
0
5
,
0
5
,
0
(
)
(
)
1
1
1
3
5
,
1
5
,
0
3
5
,
1
5
,
0
3
−
−
=
−
−
=
=
+
<
−
−
−
e
e
e
e
e
e
Y
X
t
Y
P
t
t
)
3
,
0
(
∈
t
dla
(
)
1
5
,
0
)
(
5
,
1
5
,
0
3
−
=
=
+
e
e
t
f
t
Y
X
Y
(
)
[
]
∫
=
−
−
=
=
=
′
=
′
=
=
−
=
=
+
3
0
3
0
5
,
0
5
,
0
5
,
1
5
,
0
5
,
0
5
,
1
5
,
0
4
2
1
5
,
0
2
1
1
5
,
0
3
t
t
t
t
t
e
te
e
e
v
u
e
v
t
u
dt
e
te
Y
X
Y
E
[
]
86
,
1
1
2
4
4
6
1
5
,
0
5
,
1
5
,
1
5
,
1
5
,
1
5
,
1
≈
−
+
=
+
−
−
=
e
e
e
e
e
Zadanie 2
(
)
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
=
>
<
<
<
=
=
=
=
1
1
0
0
1
0
2
0
1
)
(
,
,...,
,
)
(
k
k
k
k
k
N
N
k
N
P
X
X
X
X
X
X
X
X
X
E
k
N
P
k
N
X
E
EX
(
)
(
)
(
)
M
L
X
X
X
X
P
t
X
X
X
X
X
X
X
P
X
X
X
X
X
X
t
X
P
k
k
k
k
k
k
k
=
>
<
<
>
<
<
=
>
<
<
<
−
−
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
,...,
,
,
,...,
,
,...,
(
)
∫
∫
=
−
=
<
>
<
<
=
−
t
t
k
k
k
ds
s
t
s
t
X
s
X
s
X
s
X
P
L
0
0
1
2
1
2
2
2
1
2
1
,
,...,
,
(
)
(
)
n
n
nm
nm
Y
X
E
n
i
i
i
4
1
5
,
0
2
1
5
,
0
2
1
1
−
=
−
−
=
−
−
∑
=
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
≅
−
−
→
=
+
=
−
−
n
i
i
i
n
i
i
i
n
n
N
Y
X
n
n
n
Y
X
1
1
2
1
;
4
1
5
,
0
2
1
2
1
)
(
4
1
5
,
0
2
1
var
)
1
,
5
,
0
(
),
1
;
5
,
0
(
:
1
−
≅
+
≅
m
N
Y
m
N
X
H
przy
i
i
(
)
[
]
n
n
n
m
n
m
n
Y
X
E
n
i
i
i
4
1
5
,
0
2
1
5
,
0
)
5
,
0
(
)
5
,
0
(
2
1
5
,
0
2
1
1
=
=
−
−
−
+
=
−
−
∑
=
(
)
n
Y
X
n
i
i
i
2
1
5
,
0
2
1
var
1
=
−
−
∑
=
(
)
05
,
0
5
,
0
2
1
exp
1
0
=
>
−
−
∑
=
t
Y
X
P
n
i
i
i
H
)
1
,
0
(
N
N
dla
≅
(
)
→
=
+
>
+
−
−
=
+
>
∑
=
05
,
0
2
4
1
ln
2
4
1
5
,
0
2
1
2
4
1
ln
1
0
0
n
n
t
n
n
Y
X
P
n
n
t
N
P
n
i
i
i
H
H
−
=
→
≈
+
n
n
t
n
n
t
4
1
2
64
,
1
exp
64
,
1
2
4
1
ln
(
)
)
1
,
0
(
1
4
1
2
64
,
1
5
,
0
2
1
1
N
N
n
i
i
i
H
n
n
Y
X
P
ODP
≅
=
=
−
>
−
−
=
∑
913
,
0
5
,
0
41309
,
0
)
36
,
1
(
3
5
,
4
5
,
4
3
64
,
1
2
4
1
4
1
2
64
,
1
18
≈
+
≈
−
>
=
−
−
⋅
>
=
−
−
>
=
=
N
P
N
P
n
n
n
n
N
P
n
Zadanie 4
A – k zmiennych większych od w
(
)
∏
=
>
⋅
=
k
i
i
i
w
y
y
f
A
P
L
1
)
(
(
)
[
]
(
)
[
]
33
32
31
23
22
21
9
6
3
3
6
4
2
2
p
p
p
X
P
p
p
p
X
P
n
n
+
+
=
+
+
+
=
+
(
) (
)
(
)
(
)
+
=
+
=
+
=
=
+
31
21
11
1
3
2
1
p
X
P
p
X
P
p
X
P
X
Ef
n
n
n
n
(
)
(
)
(
)
[
]
+
=
+
=
+
=
+
32
22
12
3
2
1
2
p
X
P
p
X
P
p
X
P
n
n
n
(
)
(
)
(
)
[
]
33
23
13
3
2
1
3
p
X
P
p
X
P
p
X
P
n
n
n
=
+
=
+
=
+
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
=
2
1
6
2
1
3
2
1
6
2
1
4
4
9
4
1
3
2
1
p
p
p
c
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
−
2
1
3
2
3
1
3
2
1
2
1
4
3
3
2
1
2
1
2
2
1
4
1
3
2
p
p
p
p
p
p
p
p
p
(
)
+
+
+
+
−
+
+
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
3
2
5
2
5
3
2
2
9
5
2
5
p
p
p
p
p
p
p
p
p
szukamy rozkładu stacjonarnego:
(
)
(
)
3
2
1
3
2
1
,
,
0
2
1
2
1
2
1
2
1
0
4
3
0
4
1
,
,
p
p
p
p
p
p
=
1
dla
2
3
2
3
2
1
4
3
2
1
2
1
2
1
4
1
3
2
1
1
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
3
1
=
+
+
=
=
→
=
+
=
+
=
+
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1
2
3
2
3
1
1
1
=
+
+
p
p
p
8
3
4
1
3
2
1
=
=
=
p
p
p
64
21
16
8
42
16
34
8
17
16
67
8
3
2
3
8
3
2
5
4
1
2
5
8
3
3
8
3
2
4
1
8
3
2
9
8
3
5
4
1
2
5
−
=
⋅
−
=
−
=
+
+
⋅
+
⋅
+
−
+
⋅
+
=
c
Zadanie 6
(
) (
)
X
k
e
k
X
X
k
N
P
Y
X
k
N
P
−
=
=
=
=
!
,
( )
( )
Y
Y
x
f
,
2
Γ
≅
)
3
,
4
(
Γ
≅
Y
( )
=
+
+
−
−
−
−
+
−
+
−
Π
=
∑
∑
∑
∑
∑
6
1
2
1
80
3
40
1
240
1
6
1
3
1
3
20
2
1
exp
40
3
2
1
2
2
2
2
i
i
i
i
i
x
x
x
m
m
x
m
x
( )
=
−
−
−
+
+
−
−
Π
=
∑
∑
∑
∑
2
2
2
80
3
40
1
240
1
3
1
80
3
exp
3
1
40
3
3
20
exp
40
3
2
1
i
i
i
i
x
x
x
x
m
+
≅
⋅
+
−
−
Π
=
∑
∑
40
3
;
3
1
40
3
40
3
2
3
1
40
3
exp
40
3
2
1
2
i
i
x
N
x
m
[
]
(
)
(
)
X
x
x
m
OZN
a
L
dm
x
x
m
f
a
m
e
a
m
≡
→
=
−
−
−
∫
∞
∞
−
−
13
1
13
1
,...,
:
min
)
(
,...,
1
)
(
+
=
−
+
−
=
−
2
2
2
1
exp
)
(
normalnego
rozkladu
dla
1
)
1
(
)
(
X
X
X
a
X
t
t
t
M
a
EX
e
M
a
L
δ
µ
1
3
1
40
3
80
3
3
1
40
3
exp
)
(
−
+
+
−
+
+
=
∑
∑
−
a
x
e
x
a
L
i
a
i
dla
15
=
∑
i
x
1
15
3
1
40
3
80
3
15
3
1
40
3
exp
)
(
−
+
+
−
+
+
=
−
a
e
a
L
a
[ ]
16
19
80
95
80
3
92
80
3
40
46
80
3
15
3
1
40
3
0
1
...
exp
=
=
+
=
+
=
+
+
=
→
=
+
−
=
∂
∂
−
a
e
a
a
Zadanie 8
0
A - zdarzenie, Ŝe osobnik nie przeŜył 1 roku
1
A
- zdarzenie, Ŝe przeŜył 1 rok i nie przeŜył 2 roku
2
A
- zdarzenie, Ŝe przeŜył 2 lata
( )
(
)
0
2
2
0
1
1
p
A
P
=
=
−
−
=
θ
θ
( )
(
)
2
2
2
)
1
(
2
1
2
1
p
A
P
=
−
=
+
−
=
θ
θ
θ
θ
θ
( )
(
)
(
)(
)
1
2
2
2
1
)
1
(
1
2
1
1
1
1
2
1
1
p
A
P
=
−
=
+
−
+
−
=
+
−
−
−
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
(
)
2
1
2
0
2
2
2
2
1
0
2
2
2
2
)
1
(
2
1
2
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
L
+
+
−
=
−
−
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
(
)
(
)
)
1
ln(
2
ln
2
2
ln
ln
2
1
2
0
2
θ
θ
−
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
L
(
)
(
)
0
)
1
(
2
)
1
(
2
0
1
2
2
2
1
2
0
2
1
2
0
=
−
+
−
−
+
→
=
−
+
−
+
=
∂
∂
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
n
n
n
n
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
ˆ
2
2
2
2
0
2
1
2
0
2
0
+
=
→
+
+
+
=
+
θ
θ
to jest rozkład wielomianowy czyli:
(
)
(
)
j
i
j
i
i
i
i
i
i
p
np
n
n
p
np
n
np
En
−
=
−
=
=
,
cov
1
var
( )
2
2
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
+
−
=
−
=
E
E
E
ODP
( )
2
2
ˆ
ˆ
var
ˆ
θ
θ
θ
E
E
+
=
[
]
2
0
2
0
2
2
1
2
2
ˆ
En
En
n
n
n
n
E
E
+
=
+
=
θ
(
)
[
]
2
0
2
0
2
2
0
,
cov
4
var
var
4
4
1
2
2
var
ˆ
var
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
=
+
=
θ
2
0
θ
n
En
=
)
1
(
2
2
θ
θ
−
=
n
En
(
)
2
2
0
1
var
θ
θ
−
=
n
n
(
)
(
)
2
2
2
2
1
)
1
(
2
)
1
(
2
1
)
1
(
2
var
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
+
−
−
=
−
−
−
⋅
=
n
n
n
(
)
)
1
(
2
)
1
(
2
,
cov
3
2
2
0
θ
θ
θ
θ
θ
−
−
=
−
⋅
−
=
n
n
n
n
[
]
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
−
+
=
−
+
=
2
2
2
)
1
(
2
2
2
1
ˆ
n
n
n
E
(
)
(
)
[
]
=
−
−
+
−
−
+
−
=
)
1
(
8
2
2
1
)
1
(
2
1
4
4
1
ˆ
var
3
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
[
]
=
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
4
3
4
3
2
3
2
4
2
2
8
8
4
4
2
4
4
2
4
4
4
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
)
1
(
)
1
(
4
2
2
θ
θ
θ
θ
−
=
−
=
n
n
ODP
2
)
1
(
2
2
)
1
(
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
−
=
+
−
+
−
=
Zadanie 9
PoniewaŜ
(
)
0
var
var
,
cov
=
−
=
−
+
i
i
i
i
i
i
Y
X
Y
X
Y
X
to
i
i
R
Z ,
są nieskorelowane więc
niezaleŜne bo mają rozkłady normalne
(
)
ρ
δ
ρ
δ
δ
δ
µ
+
=
+
+
=
=
1
2
2
var
2
2
2
2
2
i
i
Z
EZ
(
)
ρ
δ
ρ
δ
δ
δ
−
=
−
+
=
=
1
2
2
var
0
2
2
2
2
i
i
R
ER
(
)
(
)
(
)
(
)
)
9
(
1
2
)
9
(
1
2
2
2
10
1
2
2
2
10
1
2
χ
ρ
δ
χ
ρ
δ
≅
−
−
≅
+
−
∑
∑
=
=
i
i
i
i
R
R
Z
Z
(
)
(
)
)
9
,
9
(
1
1
10
1
2
10
1
2
F
R
R
Z
Z
i
i
i
i
≅
+
−
−
−
∑
∑
=
=
ρ
ρ
9
;
9
;
t
f
- kwantyl rzędu t z rozkładu F(9,9)
wiemy, Ŝe
9
;
9
;
05
,
0
9
;
9
;
95
,
0
1
f
f
=
sprawdzamy kwantyl rzędu 0,95 w tablicach F(9,9)
(
)
05
,
0
178893
,
3
)
9
,
9
(
=
>
F
P
358
,
6
178893
,
3
2
178893
,
3
2
2
2
2
≈
⋅
=
→
⋅
>
k
S
S
P
R
Z
629
,
0
178893
,
3
2
178893
,
3
1
05
,
0
5
,
0
1
2
2
≈
=
→
=
→
=
<
⋅
k
t
t
S
S
P
R
Z
Zadanie 10
X – numer losowania w którym wyciągamy po raz pierwszy kulę czarną
ODP=E(X)-1
5
3
10
6
)
1
(
=
=
=
X
P
15
4
9
6
10
4
)
2
(
=
=
=
X
P
10
1
8
6
9
3
10
4
)
3
(
=
=
=
X
P
35
1
7
6
8
2
9
3
10
4
)
4
(
=
=
=
X
P
210
1
6
6
7
1
8
2
9
3
10
4
)
5
(
=
=
=
X
P
7
11
70
110
210
330
210
5
24
63
112
126
210
5
35
4
10
3
15
8
5
3
=
=
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
EX
7
4
7
7
11
1
7
11
=
−
=
−
=
ODP
