2010 10 04 prawdopodobie stwo i statystyka

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

( )

( )

=

=

n

i

X

i

n

i

e

X

L

1

2

2

θ

θ

(

)

+

+

=

2

ln

ln

2

ln

ln

i

i

X

X

n

L

θ

θ

=

=

=

=

=

n

i

i

i

i

X

n

X

n

X

n

1

2

2

2

ˆ

0

0

θ

θ

θ

θ

θ

(

)

=

=

=

=

=

=

<

t

t

t

s

x

wykl

e

ds

e

ds

xdx

s

x

xe

t

X

P

0

0

2

2

)

(

1

2

2

2

θ

θ

θ

θ

θ

θ

( )

=

Γ

n

i

i

n

X

1

2

,

θ

( )

Γ

=

>

=

<

t

n

x

n

n

i

dx

e

x

n

t

n

X

P

t

P

θ

θ

θ

1

2

)

(

ˆ

( )

(

)

( )

t

n

n

n

t

n

n

n

e

t

n

n

e

t

n

n

t

n

t

P

dt

d

θ

θ

θ

θ

θ

+

Γ

=

Γ

=

<

1

1

2

1

)

(

)

(

ˆ

( )

( )

( )

=

Γ

=

=

=

=

Γ

=

0

0

2

2

)

(

1

1

1

)

(

ˆ

nx

n

n

t

n

n

n

e

x

n

n

dx

dt

t

x

t

e

t

n

n

E

θ

θ

θ

θ

θ

( )

( )

( )

=

Γ

Γ

Γ

=

0

1

2

1

1

)

(

)

1

(

)

1

(

n

n

n

n

n

n

e

x

n

n

n

n

nx

n

n

θ

θ

θ

θ

θ

( )

( )

( )

=

Γ

=

=

=

=

Γ

=

0

0

3

2

1

2

)

(

1

1

1

)

(

ˆ

nx

n

n

t

n

n

n

e

x

n

n

dx

dt

t

x

t

e

t

n

n

E

θ

θ

θ

θ

θ

( )

( )

( )

=

Γ

Γ

Γ

=

0

2

2

2

3

2

)

1

)(

2

(

)

(

)

2

(

)

2

(

n

n

n

n

n

n

n

e

x

n

n

n

n

nx

n

n

θ

θ

θ

θ

θ

)

2

(

)

1

(

)

2

(

)

1

(

)

2

(

)

1

(

)

1

(

)

1

)(

2

(

ˆ

var

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

θ

θ

θ

θ

θ

θ

(

) (

)

=

=

<

=





θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

01

,

1

ˆ

99

,

0

01

,

0

ˆ

01

,

0

01

,

0

ˆ

P

P

P

background image

=

4

4 3

4

4 2

1

4

4 3

4

4 2

1

2

1

2

)

1

(

1

01

,

1

2

)

1

(

1

99

,

0

A

A

n

n

n

n

n

N

n

n

n

n

n

P

θ

θ

θ

θ

θ

θ

[

]

(

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

A

2

01

,

0

99

,

0

2

)

1

(

99

,

0

2

)

1

(

1

99

,

0

1

=

=





=

[

]

(

)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

A

2

01

,

0

01

,

1

2

)

1

(

01

,

1

2

)

1

(

1

01

,

1

2

+

=

=





=

2

1

A

A

n

przy

To sprawdzimy:

(

)

=

=

=

<

38418

96

,

1

2

01

,

0

95

,

0

2

01

,

0

n

n

n

N

P

Sprawdzamy (E):

(

)

OK

P

95

,

1

;

96

,

1


Zadanie 2

{

}

(

) (

)

=

<

<

<

=

=

n

n

X

X

X

X

X

X

P

X

X

X

X

P

1

3

1

2

1

2

1

1

,...,

,

,...,

,

min

{

}

(

)

n

X

X

X

P

,...,

min

2

1

<

=

{

}

(

)

{

}

(

)

=

>

=

<

t

X

X

P

t

X

X

P

n

n

,..,

min

1

,...,

min

2

2

(

)

=

+

=

=

>

=

=

n

i

t

n

n

i

t

i

e

e

t

X

P

n

i

2

2

)

1

)(

2

(

1

1

1

2

+

<

=

2

)

1

)(

2

(

),

1

(

gdzie

)

(

n

n

wykl

Y

wykl

X

Y

X

P

ODP

∫ ∫

+

=

+

=

0 0

2

)

1

)(

2

(

2

)

1

)(

2

(

y

y

n

n

x

dxdy

e

n

n

e

ODP

(

)

=

+

+

+

=

+

+

=

0

1

2

)

1

)(

2

(

2

)

1

)(

2

(

1

1

2

)

1

)(

2

(

exp

2

)

1

)(

2

(

n

n

n

n

dy

e

y

n

n

n

n

y

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

2

2

2

)

1

)(

2

(

)

1

)(

2

(

2

)

1

)(

2

(

2

)

1

)(

2

(

)

1

)(

2

(

1


Zadanie 3

1

2

θ

θ

>

background image

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

=

+

+

+

+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

5

1

1

2

5

1

10

1

1

10

1

5

1

1

2

5

2

10

1

1

1

10

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

1

i

i

i

i

i

i

i

y

x

y

x

P

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

(

)

(

)

(

)

=

=

+

+

=

10

1

5

1

2

5

15

1

5

15

2

2

1

2

1

1

1

2

2

i

i

i

i

y

x

θ

θ

θ

θ

θ

θ

jest rosnąca funkcją statystyki

(

) (

)

=

=

+

+

10

1

5

1

2

1

1

1

i

i

i

i

y

x

05

,

0

)

(

=

>

c

STAT

P

(

)

(

)

(

)

(

)

+

+

=

<

=

<

+

1

0

1

1

1

1

ln

t

e

i

t

i

i

x

e

X

P

t

x

P

θ

θ

(

)

)

(

)

(

)

1

(

1

ln

θ

θ

θ

θ

θ

wykl

e

e

e

t

f

t

t

t

x

i

=

=

+

+

(

)

(

)

(

)

+

+

=

<

+

1

0

1

2

2

1

2

1

ln

2

t

e

i

i

y

t

y

P

θ

θ

(

)

)

(

2

1

2

)

(

2

)

1

2

(

2

1

ln

2

θ

θ

θ

θ

θ

wykl

e

e

e

t

f

t

t

t

y

i

=

=

+

+

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

=

Γ

+

+

+

Γ

+

Γ

+

10

1

5

1

10

1

5

1

)

;

15

(

1

ln

1

ln

)

;

5

(

1

ln

),

;

10

(

1

ln

i

i

i

i

i

i

i

i

Y

X

Y

X

θ

θ

θ

(

)

)

,

15

(

gdzie

ln

1

1

)

(

θ

Γ

<

=

<

=

>

X

t

X

P

t

STAT

P

t

STAT

P

Szukamy takiego t, że: P(X<t)=0,05 i

)

1

;

15

(

Γ

X

=

Γ

=

=

=

Γ

t

t

s

x

ds

e

s

s

x

dx

e

x

0

2

0

2

14

15

14

05

,

0

)

15

(

2

1

2

)

15

(

1

to jest całka z gęstości rozkładu

)

30

(

2

χ

Z tablic 2t=18,493 czyli t=9,2465 czyli około 9,25

Zadanie 4

Dla rozkładu złożonego ujemnego dwumianowego:





+

+

=

3

2

2

2

3

,

3

)

(

2

)

(

3

EX

p

q

EX

EX

p

q

EX

p

q

r

N

S

µ





+

=

2

2

)

(

var

EX

p

q

EX

p

q

r

S

N

4

1

;

1

.dwumianowy

uj

N

background image

(

)

27

47

9

2

2

3

3

1

1

75

,

0

25

,

0

2

2

1

75

,

0

25

,

0

3

3

75

,

0

25

,

0

3

2

2

3

=

+

+

=





+

+

=

N

ES

S

E

N

9

7

3

1

2

3

1

1

75

,

0

25

,

0

2

75

,

0

25

,

0

var

2

=

+

=

+

=

N

S

538

,

2

7

7

47

7

7

27

27

47

9

7

27

47

2

3

=

=

=

ODP


Zadanie 5

Dla pierwszych 200 osób:

(

)

3

1

3

1

6

2

)

1

(

6

4

1

+

=

+

=

=

q

q

q

Z

P

i

(

)

q

Z

P

i

3

1

3

2

0

=

=

Dla pozostałych 200 osób:

(

)

q

q

q

Z

P

i

3

1

3

2

6

4

)

1

(

6

2

1

=

+

=

=

(

)

q

Z

P

i

3

1

3

1

0

+

=

=

2

2

1

1

200

200

200

200

200

200

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

1

Z

Z

Z

Z

q

q

q

q

L

+

+

=

(

)

(

)

+

+

+

+

+

=

q

Z

q

Z

q

Z

q

Z

L

3

1

3

1

ln

200

200

3

1

3

2

ln

200

3

1

3

2

ln

200

200

3

1

3

1

ln

200

ln

2

2

1

1

(

)

(

)

0

3

1

3

1

3

1

200

200

3

1

3

1

3

2

200

3

1

3

1

3

2

200

200

3

1

3

1

3

1

200

2

2

2

1

=

+

+

+

=

q

Z

q

Z

q

Z

q

Z

q

(

)

(

)

(

)

=

+

+

+

+

0

)

2

)(

1

(

)

2

(

1

)

1

(

)

1

(

1

2

2

2

1

1

q

q

q

Z

q

Z

q

Z

q

Z

(

)

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

3

2

3

2

1

2

2

1

2

1

1

Z

Z

q

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

q

+

=

+

+

+

=

+

+


Zadanie 6

(

)

(

)

=

=

=

+

=

n

i

j

i

j

j

i

i

i

i

n

i

i

i

X

X

X

X

1

1

,

cov

var

var

ε

ε

ε

ε

(

)

(

)

j

j

i

i

i

i

X

X

n

n

X

n

ε

ε

ε

,

cov

)

1

(

var

+

=

(

) ( ) ( )

µ

µ

ε

ε

2

1

2

1

3

1

3

1

=

+

=

=

i

i

i

i

X

E

E

X

E

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

12

5

3

1

4

1

3

1

µ

δ

δ

µ

ε

+

=

+

+

=

i

i

X

E

background image

(

)

( )

( ) (

)

( ) ( )

[

] [

]

2

2

4

1

,

cov

,

µ

δ

ε

ε

ε

ε

+

=

+

=

p

X

E

X

E

X

X

E

E

X

X

E

j

i

j

i

j

i

j

j

i

i

(

)

(

)

[

]

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

1

(

3

2

5

12

4

1

4

1

)

1

(

4

1

12

5

var

δ

µ

δ

µ

µ

δ

µ

µ

δ

p

n

n

p

n

n

n

S

+

+

=





+

+





+

=


Zadanie 7

Przez stan oznaczamy ilość kul białych w I urnie:

)

1

(

)

(

i

i

STAN

białych

1

16

1

4

1

4

1

,

16

6

4

1

4

3

4

1

4

3

,

16

9

4

3

4

3

4

1

2

1

2

1

,

2

1

4

1

4

1

,

4

1

16

9

4

3

4

3

,

16

6

4

1

4

3

4

3

4

1

,

16

1

1

4

,

5

5

,

4

4

,

4

3

,

4

4

,

3

3

,

3

2

,

3

3

,

2

2

,

2

1

,

2

2

,

1

=

=

=

=

+

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

=

=

+

=

=

=

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p





=

0

1

16

1

16

6

0

16

9

0

0

0

0

0

4

1

2

1

4

1

0

0

0

16

9

16

6

16

1

0

0

0

1

0

M

szukamy rozkładu stacjonarnego:

=

=

+

=

+

+

=

+

+

=

5

4

4

4

3

3

4

3

2

2

3

2

1

1

2

16

1

8

3

4

1

16

9

2

1

16

9

4

1

8

3

16

1

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

1

4

1

4

1

1

1

3

1

3

1

1

1

2

16

36

16

9

18

9

36

16

4

1

6

16

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

=

=

+

+

=

=

+

+

=

background image

1

5

p

p

=

Ale

70

1

1

16

36

16

1

1

1

1

1

1

1

5

4

3

2

1

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

70

1

,

70

16

,

70

36

,

70

16

5

4

3

2

=

=

=

=

p

p

p

p


A – zdarzenie, że wylosowane kule są jednakowego koloru

(

)

(

)

=

+

+

+

+

+

=

=

=

4

3

4

1

4

1

4

3

4

1

4

1

4

1

4

3

4

3

4

1

)

(

)

(

lim

4

3

2

5

1

p

p

p

i

STAN

P

i

STAN

A

P

ODP

i

n

7

3

35

15

35

3

35

9

35

3

8

3

70

16

70

36

2

1

70

16

8

3

=

=

+

+

=

+

+

=


Zadanie 8

(

)

=

=

n

i

i

a

x

b

n

e

b

L

1

ban

n

X

b

b

n

L

+

=

ln

ln

Szukamy max:

ab

X

b

b

b

a

f

+

=

ln

)

,

(

0

0

=

=

=

b

bn

a

czyli szukamy w inny sposób

Przy ustalonym b: max jest dla maksymalnego a czyli

( )

i

X

a

min

=

Max b szukamy licząc pochodną:

n

b

n

a

n

x

X

T

X

T

x

X

b

a

X

b

,

1

,

1

:

1

1

,

1

0

1

=

=

=

=

+

bn

a

EX

n

1

,

1

+

=

to łatwo policzyć

Skorzystamy z własności rozkładu wykładniczego z parametrem

λ

(brak pamięci, łatwo

pokazać):

(

)

(

)

)......

2

(

),

1

(

,

,

2

,

3

,

1

,

2

,

1

n

X

X

n

X

X

nX

n

n

n

n

n

są niezależne i mają rozkład

)

(

λ

wykl

Oznaczamy:

(

)

=

=

=

=

+

=

=

n

i

n

i

n

i

n

n

i

n

i

n

n

i

n

nY

Y

n

na

nY

a

Y

n

nX

X

n

X

X

2

,

1

2

,

1

,

2

,

1

,

,

1

1

gdzie

i

Y mają rozkład wykładniczy już bez przesunięcia

(

)

(

)

n

n

n

n

n

n

n

i

n

n

i

Y

Y

n

Y

Y

n

nY

Y

:

1

:

:

1

:

2

2

,

1

,

...

)

1

(

1

=

+

+

=

)

,

1

(

gdzie

0

b

n

X

X

n

E

ET

Γ

=

=

Γ

Γ

=

Γ

=

0

2

1

2

1

2

)

2

(

)

1

(

)

1

(

b

n

n

b

n

n

b

n

e

x

n

b

x

n

ET

n

n

bx

n

n

b


background image

Zadanie 9

(

)

(

)

+

=

=

=

=

=

Π

=

>

>

e

t

x

x

e

dt

dx

x

t

x

dx

e

e

X

P

e

X

X

E

1

8

1

ln

1

1

ln

2

2

1

)

(

2

+

>

=

Π

=

Π

=

0

0

3

2

8

)

4

(

1

8

)

4

,

4

(

gdzie

)

0

(

2

2

1

2

2

1

2

2

N

Y

Y

P

e

e

e

e

dt

e

e

t

t

t

(

)

)

1

,

0

(

gdzie

)

2

(

)

(

3

N

N

N

P

e

e

X

P

e

X

X

E

>

=

>

>

(

)

=

Π

=

Π

=

>

e

t

x

dt

e

dx

e

x

e

X

P

0

8

8

1

ln

2

1

2

2

1

2

2

1

)

(

2

2

(

) (

) (

)

(

)

=

+

>

>

>

=

+

>

=

>

+

=

>

EY

e

X

P

e

X

P

e

X

X

E

EY

e

X

X

E

e

X

Y

X

E

e

X

S

E

)

(

)

(

26

,

41

2

97725

,

0

2

tablic

z

2

)

2

(

2

3

3

+

=

+

>

=

e

N

P

e


Zadanie 10

(

) (

)

(

)

( )

+

+

=

=

=

+

<

=

=

1

)

1

(

1

1

k

k

i

k

k

k

x

i

i

e

geom

Y

e

e

e

e

e

k

X

k

P

k

Y

P

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

(

)

(

)

=

+

=

5

1

1

i

Y

Y

i

i

e

e

L

λ

λ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

+

+

=

+

=

=

5

1

5

1

5

1

1

1

ln

5

1

ln

ln

ln

i

i

i

i

i

Y

Y

e

Y

e

Y

e

e

L

i

i

λ

λ

λ

λ

λ

λ

(

)

=

=

=

+

=

=

=

+

=

5

1

5

1

5

1

1

5

ln

ˆ

0

1

5

1

0

1

5

ln

i

i

i

i

i

i

Y

e

Y

e

e

e

Y

L

λ

λ

λ

λ

λ

λ

(

)

=

=

5

1

,

5

.

i

i

e

dwum

uj

Y

Y

λ

(

) (

)

(

)

=





<

=

<

=

>

+

=

>

+

=





>

+

4

3

42

1

002

,

1

79

,

1

79

,

1

79

,

1

79

,

1

1

5

5

1

5

1

5

79

,

1

1

5

ln

e

Y

P

Y

e

P

Ye

Y

P

e

Y

P

Y

P

(

)

(

)

(

) (

)

286

,

0

5

1

1

1

1

5

1

0

4

)

1

(

)

0

(

1

5

1

1

5

1

5

1

0

+

=





+





=

=

+

=

=

e

e

e

e

e

Y

P

Y

P

H


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
2002 10 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21648
2010 12 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 27016
2011 04 04 prawdopodobie stwo i statystykaid 27339
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2001.10.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1999 10 23 prawdopodobie stwo i statystykaid 18598
2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.10.26 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.05.31 prawdopodobie stwo i statystyka

więcej podobnych podstron