Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

A – jeden trafi drugi nie + w (n-1) próbach albo obaj trafiają albo obaj nie P( T A) = P( T l) P( l A)+ P( T g) P( g A) P( l A) P( l ∧ A) (

n−

8

,

0 ⋅ ,

0 4 + ,

0 2 ⋅ 6

,

0 ) 1 8

,

0 ⋅ 6

,

0

8

,

0 ⋅ 6

,

0

=

=

=

P( )

A

(

n−

8

,

0 ⋅ ,

0 4 + ,

0 2 ⋅ 6

,

0 ) 1( 8

,

0 ⋅ 6

,

0

+ ,

0 4 ⋅ ,

0 2)

8

,

0 ⋅ 6

,

0

+ ,

0 4 ⋅ ,

0 2

P( g A) P( g ∧ A)

,

0 4 ⋅ ,

0 2

=

=

P( )

A

8

,

0 ⋅ ,

0 6 + ,

0 4 ⋅ ,

0 2

8

,

0 ⋅ ,

0 6

,

0 4 ⋅ ,

0 2

26

ODP = 8

,

0

+ ,

0 4

=

8

,

0 ⋅ ,

0 6 + ,

0 4 ⋅ ,

0 2

8

,

0 ⋅ ,

0 6 + ,

0 4 ⋅ ,

0 2

35

Zadanie 2

x 2 + y 2 < σ

1



f ( x, y) =

− 1

exp

x

y

2

2 ( 2 +

2 )





2Π σ

 2 σ



 x = r cos φ



 y = r sin φ

dx

dx

dr

dφ

cos φ

− r sin φ

=

= r

dy

dy

sin φ

r cos φ

dr

dφ

2

− 1

2

2

σ

r

1

x

y

2 (

+ )

2Π

−

2

∫ ∫

1

r

x

2 σ

e

=

2

σ

e

rdr φ

d

2

∫ ∫

=

2

=

=

Π

2 σ

Π 2

2 σ

2 rdr = dx

0 0

2Π

2

σ

x

2Π

−

= ∫ 1

2

1

1

1

2

σ

e

dx

2 σ 1 e

1 e

1 exp(

)

5

,

0

2 ∫

2

= ∫

2

2

( −

− 0,5 )

Π

=

( −

− 0,5 )= −

−

2Π σ

2

2Π σ 2

2Π

0

0

0

Zadanie 3

pozycja }d l atrojki

Jedna 3 reszta różne od 3 – (liczba możliwości) 3

⋅3⋅3 (dwie ostatnie trójki – dla pozostałych 4,5 lub 6)

rozstawi }e i

n

e trojek

x3 + jedna>3 -

3

⋅3

+ 3 trójki

3 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 1

37

ODP =

=

6 ⋅ 6 ⋅ 6

216

Zadanie 4

1

 2

1

x

f ( y) = ∫ ( x + y) dx =

1



+ xy = + y

2

2

0



0

1

x +



1 

1

2

f  x y =  =

= x +



2 

1

2



1 

1

1



1 

 3

2 

x

x

1

1

4

3

7

E X Y =  = ∫

+

 x +  x = 

+

 =

+ =

=



2 



2 

3

4

3

4

12

12

0



0

Zadanie 5

− λ

P( M = 0) = e

− λ

P( M = )

1 = 1 − e

L = ( λ

e

) n−

−

∑ Mi ( −

1 − e

)∑ M

λ

i

ln L = − λ( n − ∑ M

M ln 1 e

i ) + ∑

( −

− λ

i

)

∂

M

ln L = −( n −

M

e

0

1 e

n

M

M e

i )

∑

∑

i

−

+

λ = → − λ

−

i

=

λ

− λ

( − )( ∑ ) ∑ −

∂ λ

1 −

i

e

− λ

e

(∑ M n

M

n

M

i +

− ∑ i )= − ∑ i

n −

−

∑ M

λ

i

e

=

n

n − ∑ M

− λ

i

= ln

n

n

 1 

λ = ln

= ln



n − ∑ M

1

i

− m 

Zadanie 6

Bezpośrednio wynika z teorii: (n-1)(m-1) Zadanie 7

T − T ≅ Γ( n, λ) n

0

∞





1

1 λn

n

λx

λn

α = n −

n

E

=

1

1

n 2

λx

λ

( n

)

1

λ





∫

− −

x

e

=

∫ − −

Γ −

x

e

=

=

=

n−

 Tn − T

x

( n)

( n)

β

λ

( n)

λ

n 1

0 

Γ

Γ

=

Γ

1

−

0

 n −1  ( n − ) 1 λ

E

=

= λ





 T − T 0 

n −1

n

Zadanie 8

E = X − aX − bX

1

2

3

c

 ov( E, X =

2 )

0



 E( EX 2 ) = 0

c

 ov( E, X

= → 

3 )

0

 E( EX 3 ) = 0

EE = 0

 E( X X

aX

bX

2 (

1 −

2 −

3 ) = 0



 E( X X

aX

bX

3 (

1 −

2 −

3 ) = 0

 5

,

1 − a − 5

,

0 b = 0 ⋅ 2



1 − 5

,

0 a − b = 0

3 − 2 a − b = 0



i odejmujemy

1 − 5

,

0 a − b = 0

2-1,5a=0

1,5a=2

2

4

a = 2 ⋅

=

3

3

Zadanie 9

y ≅ N

i

(

2

10 µ 1

; 0 σ )

y ≅ N (

2

10 ;

µ σ )

E∑ ( y

i − y )2 = E[∑ ( 2

yi − 2 y y

i

+ 2

y )]= E(∑ 2

yi −

2

10 y ) =

= 10(10 2

σ + 100 2

µ )−10( 2

σ + 100 2

µ )

2

2

2

2

2

1

= 100 σ +1000 µ −10 σ −1000 µ = 90 σ → const = 90

Zadanie 10

5

,

0

2

2

5

,

0

5

,

0

P(

t

t

X

≤ t)= P(− t ≤ X ≤ t )





= ∫ 5,

0 x + 5

,

0

=

x

t

t



+ 5

,

0 x

=

+ 5

,

0

t −

+ 5

,

0

t = t

−

 2



2

2

t

− t

∂

1

f =

=

t

∂

2 t