Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
A – jeden trafi drugi nie + w (n-1) próbach albo obaj trafiają albo obaj nie P( T A) = P( T l) P( l A)+ P( T g) P( g A) P( l A) P( l ∧ A) (
n−
8
,
0 ⋅ ,
0 4 + ,
0 2 ⋅ 6
,
0 ) 1 8
,
0 ⋅ 6
,
0
8
,
0 ⋅ 6
,
0
=
=
=
P( )
A
(
n−
8
,
0 ⋅ ,
0 4 + ,
0 2 ⋅ 6
,
0 ) 1( 8
,
0 ⋅ 6
,
0
+ ,
0 4 ⋅ ,
0 2)
8
,
0 ⋅ 6
,
0
+ ,
0 4 ⋅ ,
0 2
P( g A) P( g ∧ A)
,
0 4 ⋅ ,
0 2
=
=
P( )
A
8
,
0 ⋅ ,
0 6 + ,
0 4 ⋅ ,
0 2
8
,
0 ⋅ ,
0 6
,
0 4 ⋅ ,
0 2
26
ODP = 8
,
0
+ ,
0 4
=
8
,
0 ⋅ ,
0 6 + ,
0 4 ⋅ ,
0 2
8
,
0 ⋅ ,
0 6 + ,
0 4 ⋅ ,
0 2
35
Zadanie 2
x 2 + y 2 < σ
1
f ( x, y) =
− 1
exp
x
y
2
2 ( 2 +
2 )
2Π σ
2 σ
x = r cos φ
y = r sin φ
dx
dx
dr
dφ
cos φ
− r sin φ
=
= r
dy
dy
sin φ
r cos φ
dr
dφ
2
− 1
2
2
σ
r
1
x
y
2 (
+ )
2Π
−
2
∫ ∫
1
r
x
2 σ
e
=
2
σ
e
rdr φ
d
2
∫ ∫
=
2
=
=
Π
2 σ
Π 2
2 σ
2 rdr = dx
0 0
2Π
2
σ
x
2Π
−
= ∫ 1
2
1
1
1
2
σ
e
dx
2 σ 1 e
1 e
1 exp(
)
5
,
0
2 ∫
2
= ∫
2
2
( −
− 0,5 )
Π
=
( −
− 0,5 )= −
−
2Π σ
2
2Π σ 2
2Π
0
0
0
Zadanie 3
pozycja }d l atrojki
Jedna 3 reszta róŜne od 3 – (liczba moŜliwości) 3
⋅3⋅3 (dwie ostatnie trójki – dla pozostałych 4,5 lub 6)
rozstawi }e i
n
e trojek
x3 + jedna>3 -
3
⋅3
+ 3 trójki
3 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 1
37
ODP =
=
6 ⋅ 6 ⋅ 6
216
Zadanie 4
1
2
1
x
f ( y) = ∫ ( x + y) dx =
1
+ xy = + y
2
2
0
0
1
x +
1
1
2
f x y = =
= x +
2
1
2
1
1
1
1
3
2
x
x
1
1
4
3
7
E X Y = = ∫
+
x + x =
+
=
+ =
=
2
2
3
4
3
4
12
12
0
0
Zadanie 5
− λ
P( M = 0) = e
− λ
P( M = )
1 = 1 − e
L = ( λ
e
) n−
−
∑ Mi ( −
1 − e
)∑ M
λ
i
ln L = − λ( n − ∑ M
M ln 1 e
i ) + ∑
( −
− λ
i
)
∂
M
ln L = −( n −
M
e
0
1 e
n
M
M e
i )
∑
∑
i
−
+
λ = → − λ
−
i
=
λ
− λ
( − )( ∑ ) ∑ −
∂ λ
1 −
i
e
− λ
e
(∑ M n
M
n
M
i +
− ∑ i )= − ∑ i
n −
−
∑ M
λ
i
e
=
n
n − ∑ M
− λ
i
= ln
n
n
1
λ = ln
= ln
n − ∑ M
1
i
− m
Zadanie 6
Bezpośrednio wynika z teorii: (n-1)(m-1) Zadanie 7
T − T ≅ Γ( n, λ) n
0
∞
1
1 λn
n
λx
λn
α = n −
n
E
=
1
1
n 2
λx
λ
( n
)
1
λ
∫
− −
x
e
=
∫ − −
Γ −
x
e
=
=
=
n−
Tn − T
x
( n)
( n)
β
λ
( n)
λ
n 1
0
Γ
Γ
=
Γ
1
−
0
n −1 ( n − ) 1 λ
E
=
= λ
T − T 0
n −1
n
Zadanie 8
E = X − aX − bX
1
2
3
c
ov( E, X =
2 )
0
E( EX 2 ) = 0
c
ov( E, X
= →
3 )
0
E( EX 3 ) = 0
EE = 0
E( X X
aX
bX
2 (
1 −
2 −
3 ) = 0
E( X X
aX
bX
3 (
1 −
2 −
3 ) = 0
5
,
1 − a − 5
,
0 b = 0 ⋅ 2
1 − 5
,
0 a − b = 0
3 − 2 a − b = 0
i odejmujemy
1 − 5
,
0 a − b = 0
2-1,5a=0
1,5a=2
2
4
a = 2 ⋅
=
3
3
Zadanie 9
y ≅ N
i
(
2
10 µ 1
; 0 σ )
y ≅ N (
2
10 ;
µ σ )
E∑ ( y
i − y )2 = E[∑ ( 2
yi − 2 y y
i
+ 2
y )]= E(∑ 2
yi −
2
10 y ) =
= 10(10 2
σ + 100 2
µ )−10( 2
σ + 100 2
µ )
2
2
2
2
2
1
= 100 σ +1000 µ −10 σ −1000 µ = 90 σ → const = 90
Zadanie 10
5
,
0
2
2
5
,
0
5
,
0
P(
t
t
X
≤ t)= P(− t ≤ X ≤ t )
= ∫ 5,
0 x + 5
,
0
=
x
t
t
+ 5
,
0 x
=
+ 5
,
0
t −
+ 5
,
0
t = t
−
2
2
2
t
− t
∂
1
f =
=
t
∂
2 t