Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.
Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych
Zadanie 1
(
)
∑
∑
=
=
−
=
−
15
1
15
1
2
2
2
15
i
i
i
i
X
X
X
X
(
) (
)
( )
( )
[
]
2
2
2
1
2
1
2
15
1
2
15
1
2
2
1
2
2
15
X
E
X
E
X
E
X
E
b
X
E
X
E
a
X
X
b
X
X
a
E
i
i
i
i
+
−
+
−
=
−
+
−
∑
∑
=
=
(
) (
)
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
15
1
2
5
10
25
3
5
10
µ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
+
+
=
+
+
+
=
∑
=
i
i
X
E
(
)
2
1
2
1
3
1
3
2
5
10
15
1
µ
µ
µ
µ
+
=
+
=
X
E
[
]
2
2
2
2
9
1
15
10
15
1
var
σ
σ
σ
=
+
=
X
2
2
1
1
µ
µ
=
=
X
E
X
E
2
2
2
2
2
1
5
3
15
25
1
var
10
1
10
100
1
var
σ
σ
σ
σ
=
⋅
=
=
⋅
=
X
X
=
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
=
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
5
3
2
10
1
3
1
3
2
9
1
15
5
10
25
ˆ
µ
σ
µ
µ
µ
σ
µ
µ
σ
µ
µ
σ
σ
b
a
E
=
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+
=
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
10
7
3
5
3
20
3
20
3
5
5
10
25
µ
µ
µ
µ
σ
µ
µ
µ
µ
σ
µ
µ
σ
b
a
(
)
=
−
+
−
+
+
+
=
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
3
20
3
10
3
10
10
7
3
70
µ
µ
µ
µ
µ
µ
σ
b
a
b
a
(
)
+
−
+
+
=
b
a
b
a
3
10
10
7
3
70
2
2
1
2
µ
µ
σ
Chcemy:
odejmujemy
i
7
0
3
10
1
10
7
3
70
⋅
=
+
=
+
b
a
b
a
63
10
1
10
63
−
=
→
=
−
b
b
21
1
70
3
63
70
63
7
1
3
70
1
63
10
10
7
3
70
=
=
→
+
=
=
−
a
a
a
Zadanie 2
(
)
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
−
+
−
−
=
5
1
10
6
2
1
0
2
1
0
1
0
4
9
1
,
i
i
i
i
Y
Y
f
β
β
β
β
β
β
(
)
(
)
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
+
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
∂
∂
5
1
10
6
5
1
10
6
1
0
1
0
1
0
0
0
9
130
9
100
9
2
2
4
9
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
Y
Y
Y
f
β
β
β
β
β
β
β
(
)
(
)
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
+
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
∂
∂
5
1
10
6
5
1
10
6
1
0
1
0
1
0
1
0
9
250
9
130
9
8
2
4
9
8
2
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
Y
Y
Y
f
β
β
β
β
β
β
β
9
130
9
100
9
2
2
5
1
10
6
0
1
∑
∑
=
=
−
+
=
i
i
i
i
Y
Y
β
β
i wstawiamy do drugiego
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
+
=
−
+
+
5
1
10
6
5
1
10
6
0
0
9
8
2
9
100
9
2
2
130
9
9
250
9
130
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
Y
Y
Y
β
β
15
4
90
6
24
13
90
13
6
13
24
ˆ
5
1
10
6
5
1
10
6
5
1
10
6
0
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
−
=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
Y
Y
Y
Y
Y
β
45
var
5
var
20
5
5
5
10
6
5
1
1
0
10
6
1
0
5
1
=
=
+
=
+
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
Y
Y
E
Y
E
β
β
β
β
( )
(
)
(
)
( )
9
5
225
45
80
45
15
1
5
15
4
ˆ
var
20
5
15
1
5
5
15
4
ˆ
2
2
0
0
1
0
1
0
0
=
+
=
+
⋅
=
=
+
−
+
=
β
β
β
β
β
β
β
E
(
)
05
,
0
ˆ
0
=
>
c
P
β
46
,
1
3
5
96
,
1
96
,
1
5
9
05
,
0
5
9
≈
=
→
≈
→
=
>
c
c
c
N
P
Zadanie 3
(
) (
)
=
<
<
<
−
<
=
−
=
<
=
−
=
<
−
−
=
=
<
5
,
2
2
2
4
1
4
,
2
5
4
,
1
)
4
(
4
,
1
x
czyli
X
X
Y
X
P
X
Y
X
X
P
S
V
P
∫
=
−
=
−
=
−
=
=
5
,
2
2
5
,
2
2
2
3
100
9
100
16
25
25
4
4
1
1
2
x
x
∫
=
−
=
−
=
−
=
=
=
+
=
=
3
2
3
2
2
3
36
5
36
4
9
9
1
4
1
1
2
)
4
(
)
4
(
x
x
Y
X
P
S
P
(
)
125
81
5
25
9
9
5
50
18
9
5
36
100
9
)
4
(
4
,
1
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
=
<
=
S
P
S
V
P
ODP
Zadanie 4
B – pierwsza biała
A – druga biała
(
) (
)
∑
=
=
5
3
)
(
)
(
,
i
B
i
urna
P
i
urna
B
A
P
ODP
(
) (
)
(
)
5
1
1
4
3
2
1
4
1
5
1
5
1
2
1
)
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
=
+
+
+
=
=
B
P
urna
P
urna
B
P
B
urna
P
(
)
10
3
1
4
3
2
1
4
1
5
1
5
1
4
3
)
4
(
=
+
+
+
=
B
urna
P
(
)
5
2
1
4
3
2
1
4
1
5
1
5
1
)
5
(
=
+
+
+
=
B
urna
P
(
)
3
1
2
1
5
1
3
1
2
1
5
1
)
3
(
,
=
=
urna
B
A
P
(
)
(
)
1
)
5
(
,
3
2
)
4
(
,
=
=
urna
B
A
P
urna
B
A
P
3
2
15
6
3
1
5
2
5
1
15
1
5
2
1
10
3
3
2
5
1
3
1
=
+
+
=
+
+
=
⋅
+
+
=
ODP
Zadanie 5
)
(
0
K
P
ODP
H
=
Ponieważ dystrybuanty są ciągłe to prawdopodobieństwo, że dwa elementy w próbie się
powtórzą jest zerowe więc przy
!
9
)!
5
4
(
0
=
+
=
Ω
H
- tyle jest wszystkich możliwości
(elementy
i
i
Y
X ,
ustawione według wielkości) prawdopodobieństwo każdego układu jest
równe oczywiście
Ω
1
A – zdarzenie spełniające S<16
Ω
=
=
A
A
P
ODP
)
(
Rozważamy możliwe rangi x-ów przy ustalonej sumie S:
)
6
,
4
,
3
,
2
(
),
6
,
5
,
3
,
1
(
),
7
,
4
,
3
,
1
(
),
7
,
5
,
2
,
1
(
),
8
,
4
,
2
,
1
(
),
9
,
3
,
2
,
1
(
15
)
5
,
4
,
3
,
2
(
),
6
,
4
,
3
,
1
(
),
6
,
5
,
2
,
1
(
),
7
,
4
,
2
,
1
(
),
8
,
3
,
2
,
1
(
14
)
5
,
4
,
3
,
1
(
),
6
,
4
,
2
,
1
(
),
7
,
3
,
2
,
1
(
13
)
5
,
4
,
2
,
1
(
),
6
,
3
,
2
,
1
(
12
)
5
,
3
,
2
,
1
(
11
)
4
,
3
,
2
,
1
(
10
→
=
→
=
→
=
→
=
→
=
→
=
S
S
S
S
S
S
Ilość układów gdy rangi x-ów są ustalone wynosi
!
4
!
5
⋅
(
)
6
5
3
2
1
1
!
4
!
5
+
+
+
+
+
⋅
⋅
=
A
126
18
9
2
7
18
9
8
7
6
!
5
18
24
!
5
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
ODP
Zadanie 6
(
)
(
)
∑
∞
=
=
=
=
>
−
=
1
1
1
)
(
2
1
,...,
min
,...,
max
k
k
k
k
N
P
k
N
X
X
X
X
P
ODP
∑
∞
=
−
=
=
>
=
2
1
:
:
)
(
2
1
k
k
k
k
k
k
x
x
X
gdzie
k
N
P
X
P
(różnica statystyk pozycyjnych)
Z teorii wiemy, że rozkład
k
X jest następujący:
[
]
∫
∞
∞
−
−
−
+
=
rozkladu x
dotyczy
F(x)
i
)
(
gdzie
)
(
)
(
)
(
)
(
1
x
f
dx
x
F
w
x
F
x
f
k
w
F
k
X
k
=
−
+
−
+
−
=
>
→
∫
∫
−
−
5
,
0
0
1
5
,
0
1
1
)
1
(
)
5
,
0
(
1
2
1
dx
x
dx
x
x
k
X
P
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
dt
t
k
5
,
0
5
,
0
1
5
,
0
5
,
0
1
5
,
0
5
,
0
1
5
,
0
0
1
1
−
⋅
−
=
+
−
=
+
−
=
∫
−
−
[
]
[
] [
]
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
⋅
−
=
2
2
2
)
1
(
5
,
0
1
)
1
(
5
,
0
)
1
(
5
,
0
1
)
1
(
)
1
(
5
,
0
5
,
0
1
k
k
k
k
k
k
k
k
p
p
k
p
p
p
p
p
p
k
ODP
[
] [
]
∑
∞
=
=
−
−
−
−
−
−
2
)
1
(
5
,
0
1
)
1
(
5
,
0
)
1
(
5
,
0
1
k
k
p
p
p
p
(
)
[
]
)
1
(
5
,
0
1
1
5
,
0
1
)
1
(
5
,
0
)
5
,
0
5
,
0
)(
1
(
5
,
0
)
1
(
5
,
0
)
1
(
5
,
0
)
1
(
5
,
0
)
1
(
1
2
2
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
−
+
−
−
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
−
−
−
=
(
)
(
)
[
]
=
−
−
−
−
+
−
+
+
−
−
−
+
−
−
=
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
5
,
0
5
,
0
1
25
,
0
1
1
2
1
)
1
(
1
5
,
0
1
1
2
)
1
(
2
2
2
2
(
)
(
)
=
+
−
−
+
−
+
+
+
+
−
−
−
+
−
−
=
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
1
5
,
0
5
,
0
25
,
0
25
,
0
1
2
)
1
(
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
1
2
2
1
2
2
3
2
2
=
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
−
−
+
+
−
=
2
2
3
4
2
3
2
3
4
4
3
2
3
2
)
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
2
4
2
1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
2
)
1
(
4
1
p
p
+
−
=
Zadanie 7
(
)
2
,
4
var
N
S
S
c
ODP
N
=
(
)
4
2
2
4
,
3
,
4
,
4
6
3
4
X
X
X
X
X
X
X
S
c
EN
c
N
µ
µ
σ
σ
µ
µ
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
(
)
2
2
var
X
X
N
EN
S
µ
σ
+
⋅
=
Dla rozkładu wykl(1):
6
2
1
1
,
4
,
3
2
=
=
=
=
X
X
x
c
EX
µ
σ
(
)
72
1
6
3
2
4
6
3
6
)
1
1
(
3
var
,
4
=
+
+
+
⋅
+
⋅
=
=
+
⋅
=
N
S
N
c
S
2
36
72
=
=
ODP
Zadanie 8
ODP=varX
=
+
+
=
wpp
0
i
jest
miejscu
tym
-
i
na
1
gdzie
...
9
1
i
X
X
X
X
9
1
!
9
!
8
=
=
i
EX
9
1
!
9
!
8
2
=
=
i
EX
(
)
72
1
!
9
!
7
1
=
⋅
=
j
i
X
X
E
(
)
1
9
9
1
...
9
1
=
⋅
=
+
+
=
X
X
E
EX
(
)
(
)
2
72
1
8
9
9
1
9
8
9
9
...
2
2
9
1
2
=
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
+
=
+
+
=
j
i
i
X
X
E
EX
X
X
E
EX
( )
1
1
2
var
2
2
=
−
=
−
=
EX
EX
X
Zadanie 9
)
,
1
( a
Pareto
X
≅
(
)
(
)
∫
−
−
+
≅
+
→
−
=
+
−
=
+
=
<
+
=
<
+
1
0
1
)
(
)
1
ln(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
ln(
t
e
at
a
a
t
a
wykl
X
e
x
dx
x
a
e
X
P
t
x
P
(
) ( )
(
) (
)
∑
∑
=
=
=
Γ
≅
+
=
Γ
≅
+
4
1
2
5
1
1
,
4
1
ln
,
5
1
ln
i
i
i
i
Y
a
Y
X
a
X
i
X
Y
T
4
5
=
( )
)
10
(
2
1
,
5
2
5
,
0
5
,
0
2
2
1
5
5
1
1
1
2
1
χ
≅
Γ
≅
→
−
=
−
=
X
a
t
ta
a
a
e
E
X
ta
( )
)
8
(
2
1
,
4
2
5
,
0
5
,
0
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
χ
≅
Γ
≅
→
−
=
−
=
Y
a
t
ta
a
a
e
E
Y
ta
)
10
,
8
(
4
5
2
10
8
2
1
2
1
2
F
a
a
X
Y
X
a
Y
a
≅
=
→
Czyli szukamy c,d spełniających:
)
10
,
8
(
gdzie
05
,
0
1
1
F
X
d
X
P
c
X
P
≅
=
>
=
<
(
)
)
8
,
10
(
1
bo
)
8
,
10
(
05
,
0
)
1
1
95
,
0
F
X
F
kw
c
c
X
P
c
X
P
≅
=
→
=
>
=
<
(
)
)
8
,
10
(
05
,
0
1
1
05
,
0
F
kw
d
d
X
P
d
X
P
=
→
=
<
=
>
Dla rozkładu F(n,m)
(
)
)
,
(
1
1
n
m
F
kw
kw
α
α
−
=
Korzystając z tablic mamy:
(
)
(
)
T
T
F
kw
F
kw
T
d
c
T
ODP
02
,
3
07
,
3
1
35
,
3
)
10
,
8
(
1
)
8
,
10
(
)
(
95
,
0
95
,
0
≈
−
≈
−
⋅
=
−
=
Zadanie 10
1
2
p
p
>
(
)
(
)
∑
=
−
−
=
→
∑
−
−
=
∑
−
∑
−
=
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
4
2
1
1
1
1
i
i
X
X
X
X
STAT
p
p
p
p
p
p
p
p
f
i
i
i
1875
,
0
4
1
0
=
>
−
∑
=
i
i
H
c
X
P
Przy
∑
∑
=
=
+
=
=
→
≅
4
1
4
4
1
0
2
1
2
1
3
2
1
,
4
.
:
i
k
i
i
i
k
k
k
X
P
dwum
uj
X
H
(
)
0
i
1875
,
0
4
1
4
1
0
0
<
−
=
<
=
=
−
<
=
>
−
∑
∑
∑
=
=
c
c
d
d
X
P
c
X
P
c
X
P
i
i
i
H
i
i
H
0625
,
0
2
1
0
4
4
1
=
=
=
∑
=
i
i
X
P
125
,
0
2
1
4
1
5
4
1
=
⋅
=
=
∑
=
i
i
X
P
<
=
→
=
+
=
<
→
∑
∑
=
=
4
1
4
1
2
1875
,
0
125
,
0
0625
,
0
2
i
i
i
i
X
K
X
P
k
k
k
k
X
P
X
P
ODP
+
=
=
<
=
5
1
5
4
3
)
(
gdzie
)
2
(
4
73728
,
0
5
1
5
4
4
5
4
4
4
=
⋅
⋅
+
=
ODP
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011.04.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2010 10 04 prawdopodobie stwo i statystyka
2011.06.20 prawdopodobie stwo i statystyka
2011 06 20 prawdopodobie stwo i statystykaid 27374
2009.04.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2009 04 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 26658
1997.04.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2002.04.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 04 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 21638
1997 04 05 prawdopodobie stwo i statystyka
2000 04 08 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
więcej podobnych podstron