Egzamin dla Aktuariuszy z 5 kwietnia 1997 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
40
1
20
10
5
=
⋅
=
ODP
Zadanie 2
(
) (
)
=
+
=
+
=
×
×
=
×
!
12
!
3
!
15
!
11
!
3
!
14
!
11
!
3
!
14
2
1
3
20
3
15
2
1
3
20
3
14
2
1
3
20
3
14
)
3
(
)
(
3
3
z
P
II
P
II
z
P
z
II
P
9
4
27
12
)
15
12
(
14
13
14
13
12
15
14
13
14
13
12
14
13
12
6
15
14
13
6
14
13
12
6
14
13
12
=
=
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Zadanie 3
(A) nie bo
( )
X
Y
zaleŜy od x
EX=1
varX=1
(
)
∫
∫
∫
∞
∞
+
∞
−
−
=
=
=
=
=
=
=
0
0
1
wykl
rozkladzie
moment w
ty
-
k
0
2
2
2
1
2
!
!
2
1
2
2
1
!
1
!
)
(
)
(
k
k
x
k
x
k
k
k
dx
e
x
k
e
k
x
x
f
x
k
Y
P
k
Y
P
48
47
6
to jest rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (0,5;0,5)
EY=1
VarY=2
(
)
∫
∫
∞
−
=
=
=
0
2
2
)
(
)
(
x
e
x
x
f
x
XY
E
XY
E
∫
∞
−
−
−
≅
=
=
=
x
x
x
x
y
x
J
x
f
e
x
xe
dy
xe
x
f
)
1
,
0
(
)
(
1
1
)
(
2
2
)
(
( )
[
)
∞
=
=
−
−
;
)
(
)
,
(
)
(
x
xe
x
f
y
x
f
x
y
f
x
y
x
( )
∫
∫
∞
∞
−
−
−
−
−
+
=
+
=
=
=
x
x
x
x
x
xy
x
x
y
x
x
x
e
x
e
xe
ye
xe
dy
yxe
x
y
E
1
1
2
2
2
2
2
)
(
∫ ∫
∫
∫
∞
+
−
−
+
−
−
−
=
=
=
=
+
>
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
)
(
1
)
1
(
2
x
x
x
x
x
x
x
y
x
e
dx
e
e
x
xe
dydx
xe
X
Y
P
Zadanie 6
(
)
≥
=
∏
=
−
−
wpp
0
min
1
θ
e
L
n
i
θ
x
i
czyli szukamy max
(
)
∑
=
+
−
=
0
ln
θ
x
L
i
przy warunku
θ
≥
min
L
n
θ
ln
0
→
≠
=
∂
∂
rośnie ale max θ moŜliwe=
(
)
n
X
X ,...,
min
1
{
}
n
X
X
θ
,...,
min
ˆ
1
=
Zadanie 7
∑
=
1
i
c
- nieobciąŜoność, z tego wynika Ŝe (E) odpada
min
2
,
0
...
2
,
0
1
,
0
...
1
,
0
2
2
15
2
2
11
2
2
10
2
2
1
→
+
+
+
+
+
c
c
c
c
(
)
(
)
∏
∏
=
⋅
−
−
⋅
−
−
Π
Π
=
10
1
2
,
0
2
5
1
,
0
2
2
2
2
2
2
,
0
2
1
1
,
0
2
1
i
µ
x
µ
x
n
i
i
e
e
f
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
∑
=
=
⋅
−
−
Π
−
⋅
−
−
Π
−
=
10
1
5
1
2
2
2
2
2
,
0
2
2
,
0
2
ln
5
1
,
0
2
1
,
0
2
ln
10
ln
i
i
i
i
n
µ
x
µ
x
f
(
)
(
)
∑
∑
=
=
⋅
−
+
⋅
−
=
∂
∂
10
1
5
1
2
2
2
,
0
2
2
1
,
0
2
2
i
i
i
i
µ
x
µ
x
µ
∑
=
=
≅
10
1
1
)
1
,
0
;
10
(
i
i
X
µ
N
X
∑
=
=
≅
5
1
2
)
2
,
0
;
5
(
i
i
X
µ
N
X
(
)
(
)
∑
∑
=
=
−
+
−
=
10
1
5
1
25
100
i
i
i
i
µ
X
µ
X
Y
EY=0 varY=1125
)
1125
;
0
(
N
Y
≅
→
nierówność Rao Cramer
1125
ln
2
=
∂
∂
θ
f
E
n
( )
1125
1
≥
n
u
V
a dla (D) wychodzi
)
(
1125
1
D
→
Zadanie 8
α
c
X
P
α
c
X
P
=
−
>
−
=
>
2500
2500
2500
2500
)
(
α
c
0,005 2,53
0,01
2,33
0,05
1,64
0,1
1,28
0,005 K(X>2,53*50+2500) 2626,5 N
0,01 K(X>2,33*50+2500) 2616,5 N
0,05 K(X>1,64*50+2500) 2582 OD
0,1 K(X>1,28*50+2500) 2564 OD
Z tego odpowiedź C
Zadanie 9
=
>
=
>
=
>
Π
⋅
Π
∑
∑
∑
∑
−
−
−
t
e
P
t
e
P
t
e
e
P
i
i
i
i
x
x
x
x
20
3
3
20
2
20
6
20
0
3
3
1
2
1
3
2
1
2
2
2
2
01
,
0
3
ln
3
3
ln
3
566
,
37
20
)
20
(
2
0
20
2
=
>
=
>
=
=
≅
∑
∑
43
42
1
8
7
6
t
x
P
t
x
P
χ
i
i
(
)
(
)
(
)
9
,
0
9
,
0
;
8
,
0
3
566
,
37
)
20
(
566
,
37
3
566
,
37
0
1
1
2
2
≈
∈
>
=
>
=
>
∑
∑
ZTABLIC
χ
P
Y
P
x
P
H
i
H
i
H
Zadanie 10
1
≠
t
(
)
∫
∫
=
+
−
−
=
+
=
−
∞
−
−
−
m
m
tm
m
t
m
x
tm
x
tx
m
X
t
e
e
e
t
dx
e
e
e
e
Ee
0
)
1
(
)
,
min(
1
1
1
[
]
[
]
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
t
m
t
m
t
m
te
t
te
t
t
e
t
t
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
=
dla t=1
1
)
,
min(
+
=
+
=
−
m
e
e
m
Ee
m
m
m
X
