Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
16
12
8
36
27
18
1 !
6 1 !
2
!
8
3 !
6
2 !
7 1 !
8
4
4
4
9
9
9
p =
= 1!
4
!
2
!
8
!
4
!
4
!
4
2
!
9
!
7
1
!
9
!
8
!
9
!
9
=
52
39
26
5 !
2
3 !
9
2 !
6
13
13
13
13 3
! !
9 13 2
! !
6 131
! !
3
4
13
4
4
16 3
! !
6
1
( !
3 )
13 16 3
! !
6
4
=
=
4
4
=
( !
4 )
!
9
( )
5 !
2
4
5 !
2
52
16
Zadanie 2
10
20
30
p =
, p =
, p
=
A
B
C
60 + x
60 + x
60 + x
70
140
210
EN
=
, EN
=
, EN
=
A
B
C
60 + x
60 + x
60 + x
70 5
( 0 + x)
140(40 + x)
210 3
( 0 + x)
var N
=
, var N
=
, var N
=
A
2
B
2
C
2
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
1
E( N N
= cov N , N + EN EN = var N + N − var N − var N
+ EN EN
A
B )
( A B )
A
B
( ( A
B )
A
B )
A
B
2
E( N N
= var N + N − var N − var N
5
,
0 + EN EN
A
C )
( ( A
C )
A
C )
A
C
E( N N
= var N + N − var N − var N
5
,
0 + EN EN
B
C )
( ( B
C )
B
C )
B
C
+ x
+ x
+ x
var( N + N
=
+
=
+
=
A
B )
30 3
( 0
)
7
, var( N
N
A
C )
40(20
)
7
, var( N
N
B
C )
50 1
( 0
)
7
2
2
2
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
war: E( N N + N N + N 2 + N N
= EN + EN
EN + EN
A
B
A
C
B
B
C )
( A
B )(
B
C )
210 3
( 0 + x)
70 5
( 0 + x)
14 (
0 40 + x)
70 ⋅140
28 (
0 20 + x)
70 5
( 0 + x)
210 3
( 0 + x)
5
,
0
−
−
+
+ 5
,
0
−
−
+
(60 +
2
x)
(60 +
2
x)
(60 +
2
x)
(60 +
2
x)
(60 +
2
x)
(60 +
2
x)
(60 +
2
x)
2
70 ⋅ 210
14 (
0 40 + x)
140
350 1
( 0 + x)
14 (
0 40 + x)
210 3
( 0 + x)
140 ⋅ 210
210 ⋅ 350
+
+
+ 5
,
0
−
−
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
(60 + x)
0,5(-2800)+9800+0,5(-4200)+14700+5600+140x+19600+0,5(-8400)+29400=73500
140x=2100
x=15
Zadanie 3
∞
EM = ∑ E(max( X ,..., X
P( N
n)
1
n )
=
n=1
E max =
n + 1
∞
n
∞
t −1
∞
t −1
∞
t −1
ODP = ∑ n λ
− λ
e
= n +
t
λ
λ
λ
1 = t = ∑ −1
− λ
e
= ∑
− λ
e
− ∑
− λ
e
=
n
n
t
t
t
t
n=
1 !
(
)
1 !
(
)
1 !
!
1
+
t =2
−
t =2
−
t =2
− λ
− λ
−
1
−
−
−
1
−
1 −
= 1− e λ − (1− e λ − λe λ ) λ
e
λ
e
= 1− e − +
+ e = 1−
λ
λ
λ
λ
Zadanie 4
Z CTG
∑ X − mn
i
≅ N( )
1
,
0
σ n
∑ X
2
,
0
i − mn ≅ N (
σ n)
∑ X
2
,
i ≅ N ( mn σ n)
∑ Xi ≅ N(
2
m n, σ ) n
Y
,
i = I X
i
i −
I
µ i ∑ Yi = Sn − K µ
n
E( I X =
i
i )
pµ
E( I
µ
=
i )
pµ
EY
i = 0
EY 2 = E 2
2
2
2
2
2
2
2
2
− 2
+
=
+
− 2
+
=
i
( I X
I
µ
X
µ I
i
i
i
i
i )
p( σ
µ )
µ
p
µ
µ p
σ p
S − K µ
n
n
→ N( σ 2
,
0
p)
n
Zadanie 5
ODP = E( W W
,
,
1
1 = X W 1 < W 2 ) P( W 1 = X ) + E( W W
1
2 = X W 2 < W 1 ) P( W 2 = X ) =
6
4
4
4
4
7
A
4
4
4
4
8
1
=
X + E( W W
,
1
1 > W
W
2
2 = X )
2
∞
−
∫ tλe λt
−
1 −
xe λx +
e λx
x
λ
1
A =
=
= +
P( W > X
−
1
)
x
e λx
λ
1
1
1
ODP =
X + X +
= X +
2
λ
2 λ
6
4
4
4
4
7
A
4
4
4
4
8
m
X + + ... + X ( n − m) m 1
n
X =
X
+
n
m
n
n
m
LICZNIK nzl od
X
m
n
LICZNIK nzl od A (oczywiste) Z tego:
LICZNIK nzl od X nzl od MIANOWNIKA, z tego LICZNIK nzl od MIANOWNIKA n
Z tego:
Ma rozkład F(m-1,n-1)
m −1
Czyli Er =
n −1
Zadanie 7
1
var X =
2
λ
∑ X
i ≅ Γ( ,
n λ)
∑
+
+
i
E( X )
E(
X )2
2
1 n( n
)
1
n 1
=
=
=
2
2
2
2
n
n
λ
λ
n
c( n + ) 1
1
=
→ = n
c
2
2
nλ
λ
n + 1
Zadanie 8
cov( X , X =
i
j )
1
2
σ
10
100
1
X
...
X
N 100 µ 1
; 00 σ
2
cov X , X
N 100 µ 1
, 00 σ
9900
σ
1 +
+ 100 ≅
2
2
2
+
( i j)
=
+
⋅
=
2
10
= N(
2
100 µ 1
, 090 σ )
1090
X ≅ N
2
µ,
σ
2
100
− 9
,
1 6 σ
( X − µ)100
1 ,
9 6
1 ,
9 6
P
... = P
≤ 9
,
1 6...
= P −
≤ Y ≤
≈ ,
0 45
10
1090 σ
1090
1090
Zadanie 9
101
1
( 01 + x)2
P
> t = ,
0 01
0
1
1
( + x)2
2
1
( + x) 101
P
0
> t =
2
2
2
P( 1
( + x) 101 > 1
( 01 + x) t ) = P( 1
( + x) 101 > 1
( 01 + x) t ) =
1
( 01 + x)
= P( x(
t −
101 − t ) > 101 t − 101) 101
101
1
= P x >
= ,
0 01 →
= ,
0 01
0
101 − t
101 t − 101
1 +
101 − t
101 − t = ,001
100 t
t = 101 − t 2 t = 101
101
t =
2
101
t =
4
101 101
− 101
101
101
101
moc:
2
P x >
=
=
=
= 5
,
0 05
1
101
101 + A
101 + 99
200
101
− 2
1 4
4 2 4
4 3
A
Zadanie 10
1
→5
P(
6
4
4
7
4
4
X
X
P X
n = 2
= 1
= 1
1
)
8 ( 1 )
lim
n→∞
P( X n = 2) 4
1
4
2 3
1
→5
rozkład stacjonarny:
1
1
1
Π1 + Π 2 + Π3 = Π1
2
3
3
1
Π
1 = Π 2
2
2
2
Π 2 + Π3 = Π
3
3
3
2
1
2
Rozwiązujemy układ z warunkiem: Π + Π + Π = 1 i mamy: Π =
, Π =
, Π =
1
2
3
1
2
3
5
5
5
P( X
P X
X
P X
P X
X
P X
P X
X
P X
1 =
)1 = ( 1 =1 0 = )1 ( 0 = )1+ ( 1 =1 0 = 2) ( 0 = 2)+ ( 1 =1 0 = )3 ( 0 = )3 =
1 1
1 1
1 1
1
1
1
3 + 4 + 6
13
=
+
+
=
+ + =
=
2 6
3 3
3 2
12
9
6
36
36