2001 10 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 21609

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 13 października 2001 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

1.

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

=

=

=

=

=

=

=

=

)

(

5

1

2

5

2

5

1

)

(

5

)

(

4

1

3

3

1

)

(

4

)

(

B

A

P

B

A

P

A

P

B

A

P

B

A

P

A

P

B

A

P

B

A

P

B

P

B

A

P

B

A

P

B

P

(

)

(

)

)

(

)

(

i

)

(

\

)

(

)

(

\

)

(

)

(

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

=

=

z TEGO:

( ) ( ) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

P

A

P

B

A

P

B

A

P

ODP

=

+

+

=

+

=

2

9

)

(

7

3

2

5

)

(

2

)

(

4

)

(

5

)

(

)

(

Z 1 mamy:

(

)

(

)

(

)

10

1

)

(

,

5

1

2

5

1

)

(

5

3

1

)

(

4

=

=



=

=

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

9

7

9

10

10

7

5

1

2

9

10

1

7

=

=

=

ODP


Zadanie 2

Z=aX+bY
Chcemy: varZ=1, cov(Z,X)=0 żeby nzl.

bp

a

bp

a

X

bY

aX

=

=

+

=

+

0

)

,

cov(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

var

p

b

p

b

b

p

b

abp

b

a

Z

=

=

+

=

+

+

=

p

p

a

p

b

2

2

1

1

,

1

1

=

=

Y

p

pX

p

Z

2

2

1

1

1

1

+

=

Z i X nzl

( )

1

2

2

=

=

EZ

X

Z

E

( )

( )

X

Y

E

p

X

Y

XE

p

p

X

p

p

X

Y

p

XY

p

p

X

p

p

E

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

+

=



+

=

( )

(

)

px

m

x

σ

σ

ρ

m

x

Y

E

x

x

y

y

=

+

=

background image

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

X

p

p

p

X

p

p

p

X

p

p

X

p

p

X

Y

E

+

=

+

=

+

=

(

) (

)

(

)

(

) (

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

3

1

1

p

p

p

X

p

p

X

E

X

Y

X

EE

Y

X

E

+

=

+

=

+

=

=

(

)

2

2

2

2

2

1

1

2

1

,

cov

p

p

Y

X

=

+

=


Zadanie 3

Rozkład stacjonarny



=

Π

+

Π

Π

=

Π




Π

=

Π

+

Π

Π

=

Π

+

Π

1

3

2

3

2

2

1

3

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

1

3

2

2

2

=

Π

+

Π

5

2

,

5

3

1

2

=

Π

=

Π

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

=

+

=

=

=

=

=

=

=

+

+

=

+

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

X

P

X

X

P

X

P

X

X

P

X

P

X

X

P

P

4

4

4

8

4

4

4

7

6

(

)

(

)

(

)

3

1

9

3

4

10

3

15

5

1

15

4

3

2

5

1

5

1

5

2

3

2

3

2

5

2

2

1

5

2

2

1

1

3

2

3

2

1

2

1

1

2

1

5

2

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

=

n

n

n

X

P

X

P

X

P

4

8

47

6


Zadanie 4

(

)

=

α

θ

X

n

i

e

α

L

/

1

(

)

=

α

θ

X

α

n

L

i

/

ln

ln

(

)

(

)

n

θ

X

α

α

θ

X

α

n

α

i

i

=

=

+

=

ˆ

ˆ

0

2

Γ

θ

n

α

n

X

i

,

1

,

α

θ

t

n

α

θ

t

n

e

α

n

f

e

t

P

t

P

/

)

(

min

/

)

(

,

1

)

(min

1

)

(min

=

=

=

n

α

θ

E

+

=

min

1

)

1

(

1

ˆ

=

=

=

+

=

n

n

c

n

n

α

n

α

α

n

n

α

θ

n

α

n

θ

n

n

α

E

background image

Zadanie 5

Tu jest chyba błąd bo wychodzi odpowiedź (D)

=

=

+

=





=

+

n

k

k

n

k

q

p

k

n

k

n

k

n

k

n

N

N

N

N

E

1

1

1

)!

(

!

!

1

1

(

)

=

=

+

=





=

=

=





=

n

k

n

i

n

i

n

i

k

n

k

p

q

p

q

p

i

n

i

k

q

p

k

n

1

1

0

1

1

1

1

1

(

)

(

)

=

=

=

0

1

!

1

n

q

λ

λ

n

n

e

q

p

e

n

λ

p

q

p

ODP


Zadanie 6

dla

1

k

liczymy

(

)

Y

T

Y

T

Y

T

P

N

P

>

>

=

=

1

3

2

,...,

,

)

1

(

(

)

,...

,

T

dowolne,

,

)

2

(

4

3

1

2

Y

T

Y

T

Y

T

P

N

P

>

>

=

=

(

) (

)

(

)

+

>

+

=

>

+

=

>

=

=

0

1

)

(

,

,

,

)

(

dy

y

f

y

y

W

T

y

T

P

Y

W

T

Y

T

P

Y

T

Y

T

P

k

N

P

k

k

k

k

k

k

Korzystając z rysunku:

(

)

∫ ∫

+

=

Γ

=

Γ

=

>

+

y

T

y

y

T

y

λ

T

λ

k

k

T

λ

k

k

w

λ

k

k

e

λ

e

T

k

λ

dwdT

e

T

k

λ

e

λ

y

y

w

T

y

T

P

0

0

)

(

1

1

1

1

)

(

)

(

,

+

=

Γ

=

Γ

=

y

y

λ

k

k

y

λ

k

k

y

λ

k

e

k

λ

y

k

y

e

k

λ

T

e

λ

k

λ

0

1

1

!

)

(

)

(

1

)

(

+

+

+

+

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

0

0

1

1

)

(

)

(

)

(

!

!

1

!

!

)

(

)

(

α

α

λ

λ

α

λ

k

α

k

λ

α

λ

β

k

α

e

y

α

k

λ

dy

e

α

e

k

λ

y

k

N

P

k

k

k

k

y

α

λ

k

k

y

α

y

λ

k


dla k=0 jako dopełnienie wychodzi i się zgadza

=

+

=

=

+

=

+

+

1

)

0

(

k

k

α

λ

α

N

P

α

λ

λ

α

λ

α

α

λ

λ

OK. prawidłowa odpowiedź (A)


Zadanie 7

m – 3-ta statystyka pozycyjna

background image

(

)

(

)

(

)

=

+

=

+

n

σ

µ

n

σ

µ

m

P

n

σ

µ

m

n

σ

µ

m

P

/

15035

,

1

;

/

15035

,

1

/

15035

,

1

/

15035

,

1

(

) (

)

n

σ

µ

X

P

n

σ

µ

X

P

/

15035

,

1

/

15035

,

1

3

3

+

=

3

X - pozycyjna dla



n

σ

µ

N

2

,

n

σ

µ

/

15035

,

1

- kwantyl rzędu 1/8

n

σ

µ

/

15035

,

1

+

- kwantyl rzędu 7/8

=

=

=









=

=

5

3

5

3

5

5

8

7

8

1

5

8

1

8

7

5

8

1

,

5

,

3

8

7

,

5

,

3

i

i

i

i

i

i

i

i

Q

Q

c

97

,

0

8

1

8

7

8

1

5

8

7

8

1

10

8

7

8

1

8

7

5

64

1

8

7

10

5

4

2

3

5

4

3

+

+

=


Zadanie 8

1

2

θ

θ

>

+

+





=

2

1

1

2

5

1

2

5

1

1

1

5

2

θ

θ

i

θ

i

θ

i

X

θ

θ

θ

X

X

θ

niemalejąca dla

i

X

1

STATYSTYKA

01

,

0

1

0

=



>

c

X

P

i

<

=

<

Π

c

X

P

c

X

P

i

i

1

ln

ln

1

0

0

(

)

→≅

=

=

=

<

=

<

t

t

e

t

e

t

wykl

e

x

x

e

X

P

t

X

P

1

2

1

1

2

3

0

2

1

1

1

)

2

(

2

1

2

1

)

(ln

{

}

<

=

=

Γ

558

,

2

ln

558

,

2

1

ln

)

10

(

2

1

,

5

ln

2

i

i

X

K

c

χ

X

czyli (A) około


Zadanie 9

1-P(nie ma zielonej)

tzn że pierwszych kilka czerwonych + biała itd.

ilość kombinacji: 1 biała









2

7

2

9

2 białe na 9 sposobów i 2 zielone na 7 itd.

background image

}

6

,

0

10

!

5

!

5

!

10

6

3

10

6

15

15

28

21

36

3

5

5

10

2

4

2

3

2

5

2

4

2

6

2

5

2

7

2

6

2

8

2

7

2

9

biala

-

drugie

czerw...,

-

pierwsze

..

,...

,

,

,...

,

=

+

+

+

+

=













+









+









+









+









+









4

3

42

1

8

7

6

8

7

6

cccccb

b

c

c

b

c

5

2

4

,

0

6

,

0

1

=

=

=

ODP


Zadanie 10

(

)

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

>

=

>

1

1

1

3

1

3

4

4

1

4

1

1

4

1

4

1

2

2

)

(

)

(

n

n

n

n

n

n

n

N

P

n

N

n

X

P

N

X

P


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2001.10.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
2002 10 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21648
2010 12 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 27016
2001 03 24 prawdopodobie stwo i statystykaid 21605
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1999 10 23 prawdopodobie stwo i statystykaid 18598
2001 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 21607
2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka

więcej podobnych podstron