Egzamin dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

X - liczba wojen w i-tej karcie i

permutacja 52

X =1 wtedy na i i 26+i to samo: i

13 – wybór figury

 4

  - wybór kolorów

 2

2- wybór który ma która

50! – permutacja pozostałych kart

 4

13

2

  ⋅ 5 !

0

P( X

i =

)

 2

1 =

5 !

2

ODP = E(

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

X + ... + X

=

=

=

1

26 )

13 6 2 5 !

0

26 13 12

26

26

5 !

2

51⋅ 52

17

Zadanie 2

W

( ,

2 )

2 + W 3 = X ≅ Γ

λ

W 1 = Y

∞ tx

∞

t >

 Y

 0

P

≤ t  = P( Y ≤ tX ) = ∫ ∫ − λy 2 − λx e

λ

λ xe

dydx = ∫ 2 − λx

λ xe

( −

1 −

λtx

e

) dx =

 X



0 0

0

∞

2

=

λ λt x

λ

1 − ∫ 2 −( + )

λ xe

dx = 1 −

= 1

( λ +

2

λt)

2

0

2

2

2

2 2

2 λ = λ + 2 λ t + λ t 2

2 = 1 + 2 t + t

2

t + 2 t −1 = 0

∆ = 4 − 4(− )

1 = 8

∆ = 2 2

− 2 − 2 2

t =

< 0 odpada

1

2

− 2 + 2 2

med = t =

= 2 −1

2

2

Zadanie 3

E( 2

2

ˆ

ˆ

θ − 2 θθ + θ ) 2





+

2

( a

k)

1

ˆ

θ

E

= E

 =

a + 2 a ⋅16 θ + 16 θ 1

( − θ) + 256 θ



2 

2 ( 2

2 )

 ( b + n) 

( b + 16)

1

ˆ

Eθ =

( a + 16 θ)

b + 16

2

a + 32 aθ + 16 θ −

2

16 θ +

2

256 θ

2 aθ +

2

θ

R( θ) =

−

32

+ 2

θ =

( b +

2

16)

b + 16

2









a +

2

240

32

32

16

2



= θ

−

+

a

a

1





+ θ

−

+



2





2



2

 ( b + 1 )

6

b + 16



 ( b + 1 )

6

b + 16  ( b + 1 )

6

240 − 32( b +16) + ( b +16)2



= 0



2



( b + 16)

240 − 32 b − 512 + 2

b + 32 b + 256 = 0



→ 

→

32 a +16 − 2 a( b + 16)

32 a + 16 − 2 ab − 32 a =

=

0



0



( b + 16)2

2

 b = 16

 b = ,

4 b = 4

−

−

1

2

22

1

( 2)2

1

1

→ 

→ 

→ R =

=

, R =

=

→ n

p R =

1

2

2 ab = 16

 a = ,

2 a = −2

1

2

202

100

122

36

100

Zadanie 4

var S

= E var S S + var E S S

m

( ( m n)

( ( m n)

E( S S + E X + + ...

1

+ X S = S

m

n )

( m

n

n )

n

mE( X S + ( n − m) E X S = S

i

n )

( i n) n

E(

S

m

X S

=

→ E S S =

S

i

) n

n

( m n)

n

n

n

2

var S

= σ

m

m

X

6 4

47 4

48

 m



m

mσ = E var( S S +



 =

+

m

n )

2

2

2

var

S

X

nσ

n

2

 n



n

2

2









−

2

m

2

2

m

2

m

n

m

X = mσ −

σ = σ  m



−

= σ m1

2

−  = σ m

= ( E)





n



n 



n 

n

Zadanie 5

E( X 2 Y 2 ) = EE( X 2 Y 2 X ) = E( X 2 E( Y 2 X ) =

(





Y X )

cov( X , Y )

≅ N EY +

( x − EX ); (

2

1 − p ) 2

σ  ≅ N

−

Y

( pX,( 2

1

p )



var X



= E( 2

X (1

2

2

2

− p + p X ) = (1

2

− p ) 2

2

4

EX

+ p EX = (1

2

− p )

2

+ p 3 = 2 2

p + 1

var( XY ) = 2 2

p + 1

2

− E ( XY) = 2 2

p + 1 − (cov( X , Y ) + EXEY )2 = 2 2

p + 1

2

2

− p = p +1

Zadanie 6

P( rX + 1

( − r Y

)

− d < µ < rX + 1

( − r Y

)

+ d ) = P( rX + 1(− r Y

)

− µ < d )



1 



4 

X ≅ N µ, , Y ≅ N µ, 



4 



9 



25

8

4

2





= r − r+

36

9

9



 6 4

4 7

4

4 8 



2 1

2 4 

rX + 1

( − r) Y − µ ≅ N

;

0 r

+ 1

( − r)



4

9 



















d



96

,

1

P X <

 = 95

,

0

→ d =

25 2

r − 32 r + 16 = f ( r) → min 2

6



25 r − 32 r + 16 







36



9

,

1 6 50 r − 32

32

f ′ =

= 0 → r

=

= ,

0 64

min

6

2 ...

50

9

,

1 6

d =

25 ⋅ ,

0 642 − 32 ⋅ ,

0 64 + 16 = ,

0 784

6

Zadanie 7

,...,

( )

f (

f X

X θ f θ

θ X ,..., X

1

=

1

n )

(

n

)

f ( X ,..., X

1

n )

∞

∞

n

f (

θ

X ,..., X

f X ,..., X θ f ( θ) dθ

λe λθ dθ

1

n ) = ∫

( 1

n

)

= ∫

−

θ 1

0

0 (

=

∏ xi) +

∞

λ

−

α

n

θ

n

( λ+

1

ln ∏ xi )

= +

=

∫

λ

!

n

∏

θ e

=

X

β =

n 1

λ

ln

x

x

i 0

(∏ i) =

+

∏ i ( λ + ln(∏ xi) +

n 1

+

n

+

−

∏

∏

λθ

i

i

f (

θ

X

λ

X

θ X ,..., X

=

λe

1

n )

( ln(

)

(

θ +

X

∏ i) 1

λ

!

n

∞

n+

λθ

θ

e

( λ +

n

n

ln(∏ X

λ

X

α

n

i ) +

−

1

1

( +ln(∏ i) +1 ∞

2

θ λ ln

X

= +

n+1 − ( + (∏ i )

ODP = ∫

θ

e

θ

!

n

!

n

β

λ

ln

X

0 (

=

=

=

∏ Xi)

∫

= +

0

(∏ i)

(

1

λ + ln(∏ Xi ) n+

( n + )

1 !

n + 1

n +

=

1

n!

(

2

λ + ln(

=

=

∏

λ

ln

X

λ

ln X

X i ) n+

+ (∏ i )

+ ∑

i

Zadanie 8

Jako suma 2

χ

)

1

(

= Y, EY = ,

1 var Y = 2

2

χ ( n) − n

Z CTG

→ N( )

1

,

0

2 n

Z tego: χ 2 ( n) → N ( n,2 n) = Y

P(Y<t)=0,1



t − n 

P Y

N <

 = 1

,

0



2 n 

t − n = − ,128

2 n

t = − ,

1 28 2 n + n

Z tego:

χ 2 ( n)

0 1

,

→ − ,

1 28 2 n + n

− ,128 2 n + n −

g =

n

lim

= − ,

1 28 2 = − 8

,

1 1

n

Zadanie 9

1

θ 10

2

2 (∏ X i ) θ −

L =

2

1

1

θ 10

1

1 (

X )

θ > θ → STAT =

−

∏

∏

X i

θ

i

P

0 (∏ X

ln

ln

i > t ) = P 0 (∑

X i >

t )

t

P(

e

t

ln X

t

P X

e

x

θ

1

x

e t

(

0

; )

i <

) = ( < t

i

)= ∫ θ− = [ ] eθ 0 = t ∈ −∞

0

= − X X ≅ wykl( θ)

≅ χ(20)

6 4

4 7

4

4 8

−ln t

−ln t

− t

1

1

P (

ln )

(

ln )

2 ln

,

8 26

0 − Y >

t = P Y

0

< − t = ∫

9 − x

x e dx =

= t

x

= ∫

t 9 e 2 → −

t =

10

!

9

2

2 Γ 1

(

)

0

0

0

4 1

, 3

10

4 1

, 3 θ

8,26 θ

moc = ∫ θ

9 − x

θ

x e

= ∫ 1 9 − x

x e dx =

= t

x

= ∫ 2

χ (20) ≥ 9

,

0 9 →

!

9

!

9

2

0

0

0

→ 37 5

, 66 ≤ ,

8 26 θ → θ ≥

5

,

4 5

Zadanie 10

9

∑ P(> 6 i) P( i) i=1

8

 1 

P )

1

(

=   1 przejdzie od 2 do 10

 3 

7

 2 

 1 

P(2) = 







 3 

 3 

6

2  1 

P )

3

(

=  

3  3 

....

2 1

P )

8

(

=

3 3

2

P 9

( ) =

3

18



i = 1



P( i) = 3



10− i−



1

2  1 

  

i ∈[ 9

;

2 ]

3  3 

8

2

7

6

5

4

3

2

2  1 

 2 

  1 

 1 

 1 

 1 

 1





2  1 

1



80







ODP =

  +     +   +   +   +  

+

  + +1 =

3  3 

 3



  3 

 3 

 3 

 3 

 3





3  3 

3



81







