Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
49
,
0
)
\
P(
bo
49
,
0
)
(
7
,
0
)
(
.
=
∩
∩
+
∩
∩
=
=
C
B
A
A
C
B
A
P
A
P
I
Z tego:
21
,
0
5
,
0
6
,
0
7
,
0
)
(
)
(
)
(
21
,
0
)
(
=
⋅
⋅
=
=
∩
∩
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
TAK
II TAK bo:
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
=
⋅
⋅
=
=
∩
∩
→
=
C
P
A
P
C
B
A
P
B
P
III NIE bo:
=
=
∩
∩
=
∩
∩
=
∩
∩
∩
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
C
P
A
P
B
A
P
C
A
P
C
B
A
P
B
A
C
A
P
→
=
)
(
)
(
)
(
2
C
P
B
P
A
P
nzl tylko gdy P(A)=1 lub 0
czyli odpowiedź (D) jest prawidłowa
Zadanie 2
Dla k=1 (c,b) (b,c) (b,b,c) (b,b,b,c) (b,b,b,b,c) (b,b,b,b,b,c)
Z tego:
1716
9
9
9
10
9
11
9
12
4
13
2
=
+
+
+
+
Dla k>1 kilka czarnych i biała
∑
=
=
=
−
+
=
10
2
2
...
5
15
4
14
5
15
1716
k
k
ODP
Zadanie 3
(
)
(
)
M
t
M
Y
X
t
Y
P
X
M
t
M
Y
X
t
X
P
X
=
=
+
≤
=
=
=
+
≤
=
2
1
jednostajny na (0;M) bo
(
) (
)
M
e
µ
e
µ
e
µ
e
µ
LICZ
X
f
X
M
Y
X
f
M
Y
X
X
f
M
x
µ
x
M
µ
x
µ
x
M
µ
1
1
1
1
1
)
(
0
1
)
(
1
1
)
(
1
=
=
=
+
=
=
+
∫
∫
−
−
−
−
−
−
dla
(
)
∫
−
=
−
=
≥
−
≥
−
=
=
+
≤
∈
t
M
t
M
t
M
t
X
M
t
X
P
M
Y
X
t
Y
X
P
M
t
2
1
1
)
,
(
1
)
,
min(
2
;
0
M
f
2
=
∫
=
=
=
=
=
2
0
2
2
0
2
24
6
4
4
2
M
M
M
M
M
M
M
t
M
t
ODP
Zadanie 4
( )
( ) (
)
∫
=
1
0
10
10
t
p
f
p
t
P
t
t
P
(
)
(
)
(
)
10
10
1
0
10
10
1
0
11
11
1
)
(
10
)
(
10
10
p
p
p
p
p
f
p
t
P
p
f
p
t
P
t
p
f
=
=
=
=
∫
∫
∫
=
=
⋅
=
1
0
1
0
12
10
12
11
12
11
11
p
p
p
ODP
Zadanie 5
−
=
∑
µ
X
µ
L
i
exp
1
10
µ
x
µ
L
i
∑
−
−
=
ln
10
ln
50
0
10
10
2
2
=
=
→
=
+
−
=
+
−
=
∂
∂
∑
∑
x
µ
µ
x
µ
µ
x
µ
µ
L
i
i
(
)
µ
i
e
Y
P
X
P
L
100
1
)
100
(
100
:
−
=
>
=
=
−
=
∑
=
−
µ
X
µ
e
L
i
i
µ
9
1
9
100
1
exp
1
µ
X
µ
µ
L
i
i
∑
=
−
−
−
=
9
1
1
ln
9
100
ln
...
555
,
55
9
10
50
9
ˆ
0
9
9
100
2
2
10
1
2
9
1
2
≈
⋅
=
=
→
=
−
=
+
−
=
∂
∂
∑
∑
∑
=
=
i
i
i
i
i
x
µ
µ
µ
µ
x
µ
x
µ
µ
µ
Zadanie 6
)
1
,
0
(
J
Y
i
≅
{ } (
) { }
1
1
2
min
min
θ
Y
θ
θ
X
i
i
+
−
=
{ } (
)
{ }
1
1
2
max
max
θ
Y
θ
θ
X
i
i
+
−
=
Z tego:
{ }
{ }
(
)
{ }
{ }
(
)
i
i
i
i
Y
Y
corr
X
X
corr
max
,
min
max
,
min
=
n
t
t
P
t
P
)
1
(
1
)
(min
1
)
(min
−
−
=
≥
−
=
≤
1
min
)
1
(
−
−
=
n
t
n
f
n
t
t
P
=
≤
)
(max
1
max
−
=
n
nt
f
y
x
dla
)!
2
(
)
(
!
max
,
min
2
<
−
−
=
−
n
x
y
n
f
n
y
x
∫
∫
+
=
+
−
=
+
−
=
−
=
=
−
=
−
=
+
−
−
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
min
n
n
n
n
nu
u
nu
u
u
t
t
tn
E
n
n
n
n
∫
+
=
+
=
=
+
−
1
0
1
0
1
1
1
1
max
n
n
n
nt
tnt
E
n
n
∫ ∫
∫ ∫
−
−
−
=
−
+
=
=
−
=
−
−
=
⋅
1
0
1
1
0
1
0
2
2
)
1
(
)
(
)
)(
1
(
max)
(min
x
x
n
n
dtdx
t
n
n
x
t
x
t
x
y
dydx
x
y
n
xyn
E
∫
∫
=
=
−
=
−
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
−
−
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
t
x
n
x
x
n
x
n
xn
n
xt
n
t
n
xn
n
n
x
n
n
∫
=
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
=
−
−
+
−
−
=
+
+
+
+
−
1
0
2
1
2
1
1
)
1
)(
2
(
)
1
)(
1
(
2
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
n
n
t
n
n
t
n
n
t
n
n
t
n
n
t
n
n
n
t
t
n
t
n
n
t
n
n
n
n
n
n
n
=
+
+
+
−
+
+
−
−
+
−
=
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
=
2
1
2
1
2
1
1
1
)
1
)(
2
(
1
)
1
)(
1
(
2
)
1
(
1
)
2
(
1
)
1
(
1
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
2
1
1
1
1
+
=
+
+
−
+
+
+
−
−
=
n
n
n
n
n
n
(
)
∫
∫
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
−
=
=
−
=
−
=
+
+
−
−
1
0
1
0
1
0
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
)
1
(
min
n
n
n
n
n
u
n
n
nu
u
nu
u
u
u
t
t
n
t
E
n
n
n
n
n
)
2
)(
1
(
2
)
2
)(
1
(
4
2
2
3
2
2
2
+
+
=
+
+
+
+
−
−
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
∫
+
=
+
=
=
+
−
1
0
1
0
2
1
2
2
2
2
max
n
n
n
nt
nt
t
E
n
n
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
2
2
)
1
(
1
)
2
)(
1
(
2
min
var
2
2
2
+
+
=
+
+
−
−
+
=
+
−
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
2
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
2
max
var
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
+
+
=
+
+
−
−
+
+
=
+
+
+
−
+
=
+
−
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
corr
1
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
1
2
)
2
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
−
−
+
+
=
+
+
+
−
+
=
Zadanie 7
Dla pierwszej grupy:
(
)
(
)
(
)
x
i
x
x
i
q
Z
P
q
q
Z
P
3
1
3
2
0
q
3
1
3
1
3
1
1
3
2
1
x
−
=
=
+
=
−
+
=
=
dla II grupy:
(
)
(
)
x
i
x
i
q
Z
P
q
Z
P
3
1
3
1
0
3
1
3
2
1
+
=
=
−
=
=
1
n
- ilość 1 dla I grupy =
1
100
Z
2
n
- ilość 1 dla II grupy =
2
100
Z
2
2
1
1
100
100
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
n
x
n
x
n
x
n
x
q
q
q
q
L
−
−
+
−
−
+
=
(
)
(
)
+
−
+
−
+
−
−
+
+
=
x
x
x
x
q
Z
q
Z
q
Z
q
Z
L
3
1
3
1
ln
1
100
3
1
3
2
ln
100
3
1
3
2
ln
1
100
3
1
3
1
ln
100
ln
2
2
1
1
(
)
(
)
−
+
⋅
=
+
−
+
−
−
−
−
−
+
=
∂
∂
x
x
x
x
x
x
x
q
q
q
Z
q
Z
q
Z
q
Z
q
3
1
3
2
3
1
3
1
3
0
3
1
3
1
3
1
1
100
3
1
3
1
3
2
100
3
1
3
1
3
2
1
100
3
1
3
1
3
1
100
2
2
1
1
(
)
(
)
0
3
1
3
1
100
100
100
3
1
3
2
100
100
100
2
1
2
1
=
+
+
−
−
−
−
+
x
x
q
Z
Z
q
Z
Z
(
) (
) (
)
2
1
2
1
2
1
1
2
100
100
100
3
2
100
100
100
3
1
100
100
100
100
100
100
3
1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
q
x
−
+
−
+
−
=
−
+
−
−
−
3
100
100
100
3
200
2
1
−
+
−
=
−
Z
Z
q
x
−
→
−
+
=
2
3
;
2
3
;
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
Z
Z
q
x
Zadanie 8
≅
≅
2
2
2
1
2
1
2
;
;
n
σ
µ
N
X
n
σ
µ
N
X
+
=
+
+
+
=
=
2
2
2
2
2
~
var
~
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
n
n
σ
n
σ
n
n
n
n
σ
n
n
n
X
µ
X
E
+
≅
2
;
~
2
1
2
n
n
σ
µ
N
X
(
)
(
)
+
−
+
+
−
=
−
+
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
2
,
2
2
,
2
2
1
,
1
2
,
1
1
1
2
,
2
2
,
1
~
~
2
5
,
0
~
~
2
~
2
1
~
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
n
i
i
i
X
n
X
X
X
X
n
X
X
X
E
X
X
X
X
E
(
)
∑
∑
∑
=
=
=
+
=
=
+
−
+
+
−
=
1
1
2
1
2
2
1
2
,
1
1
1
2
2
2
2
2
,
2
2
1
1
1
2
,
1
~
5
,
0
~
5
,
0
~
~
2
n
i
i
n
i
n
i
i
i
µ
σ
n
X
E
X
n
X
n
X
X
X
n
X
n
X
X
E
( )
( )
(
)
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
~
X
X
E
n
n
n
X
E
n
n
n
X
n
n
X
n
X
n
E
X
X
E
+
+
+
=
+
+
=
(
)
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
µ
n
σ
µ
n
σ
n
n
X
E
+
=
+
=
(
)
2
1
2
1
2
µ
X
E
X
E
X
X
E
=
=
2
2
1
2
2
2
~
µ
n
n
σ
X
E
+
+
=
(
)
∑
=
+
=
2
1
2
2
2
2
,
2
2
n
i
i
µ
σ
n
X
E
( )
+
+
+
+
=
+
+
=
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
~
µ
n
σ
n
n
n
µ
n
n
n
X
n
n
X
n
X
n
E
X
X
E
(
)
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
=
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
µ
n
n
σ
n
µ
n
n
n
µ
n
σ
n
n
n
n
µ
σ
n
c
S
E
(
)
=
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
5
,
0
2
2
2
2
2
5
,
0
µ
n
n
σ
n
µ
n
σ
n
n
n
µ
n
n
n
n
µ
σ
n
+
+
+
+
−
+
+
+
+
−
=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
σ
+
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
5
,
0
2
2
2
5
,
0
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
µ
przy
0
2
2
4
2
4
2
2
2
2
:
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=
+
+
+
−
−
+
+
+
+
−
−
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
µ
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
−
+
=
+
+
−
+
=
+
−
+
+
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
Zadanie 9
∫
∞
+
=
+
=
>
k
f
k
x
k
X
P
1
1
)
1
(
1
)
(
2
0
α
c
f
f
P
f
=
>
0
1
0
(
)
(
)
)
1
(
)
1
(
2
2
1
2
1
1
0
α
c
x
f
P
α
c
x
f
P
f
f
=
≥
+
=
>
+
równość dla każdego k
)
(
)
(
2
0
1
k
X
P
k
X
P
f
f
>
=
>
2
1
1
)
(
1
k
k
X
P
f
+
=
>
2
)
1
(
1
1
)
(
1
k
k
X
P
f
+
−
=
≤
3
)
1
(
2
1
x
f
f
+
=
jak skonstruujemy test najmocniejszy np. dla
{
}
−
<
=
=
1
1
X
K
α
błąd?
Ale chyba jest błąd bo twierdzenie: że dla najmocniejszego testu
α
β
>
chyba że
1
0
P
P
=
1
2
>
→
>
α
α
α
niemożliwe
więc
1
0
P
P
=
Zadanie 10
(
)
)
2
2
;
1
(
95
,
0
2
2
−
−
≅
=
≤
≤
n
n
N
χ
b
χ
a
P
95
,
0
96
,
1
2
2
1
96
,
1
2
=
≤
−
−
−
≤
−
n
n
χ
P
(
)
∑
−
−
=
−
=
2
2
2
2
2
1
1
)
1
(
X
X
n
S
σ
S
n
χ
i
(
)
(
)
(
)
1
2
2
96
,
1
2
2
96
,
1
1
96
,
1
2
2
1
96
,
1
2
2
2
2
2
−
+
−
−
≥
≥
−
−
−
−
→
≤
−
+
−
−
≤
−
∑
∑
∑
n
n
X
X
σ
n
n
X
X
n
n
σ
X
X
i
i
i
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
96
,
1
1
2
2
96
,
1
1
σ
n
n
X
X
n
n
X
X
R
i
i
−
+
−
−
−
−
−
−
−
=
∑
∑
=
−
+
−
−
−
−
−
−
−
=
2
2
2
2
1
2
2
96
,
1
1
)
1
(
2
2
96
,
1
1
)
1
(
σ
n
n
n
σ
n
n
n
σ
ER
(
)
(
)
01
,
0
)
2
2
(
96
,
1
)
1
(
2
2
92
,
3
)
1
(
2
1
)
2
2
(
96
,
1
)
1
(
2
2
96
,
1
1
)
1
(
2
2
96
,
1
1
)
1
(
2
1
2
2
2
2
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(
)
( )
2
2
..
6832
,
8
2
2
92
,
3
96
,
1
2
1
)
1
(
2
2
)
1
(
92
,
3
02
,
0
−
−
=
⋅
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
n
n
2
2
2
2
2
2
92
,
3
2
2
92
,
3
0004
,
0
6832
,
8
00694656
,
0
0004
,
0
)
6832
,
8
(
)
2
2
(
92
,
3
0004
,
0
⋅
−
⋅
=
⋅
+
−
−
−
=
n
n
n
n
n
(
)
2
2
2
2
92
,
3
2
0004
,
0
6832
,
8
2
92
,
3
00694656
,
0
0004
,
0
⋅
−
⋅
+
⋅
+
−
n
n
Z tego:
75000
odpada
0
2
1
≈
<
n
n
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2009.04.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2009 04 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 26658
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.01.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.12.09 prawdopodobie stwo i statystyka
1997.04.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2002.04.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2000 01 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21565
2007 01 08 prawdopodobie stwo i statystykaid 25641
2000 06 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21573
2000 10 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 21578
2002 04 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 21638
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
więcej podobnych podstron