Egzamin dla Aktuariuszy z 9 grudnia 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
=
+
+
≤
+
+
≤
+
+
≤
2
,
2
,
2
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
P
(
)
)
(0;
ustalone
,
,
1
2
1
3
3
1
2
3
2
1
∞
+
≤
+
≤
+
≤
=
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
P
WARUNKI:
2
1
3
1
2
3
2
1
3
,
,
X
X
X
X
X
X
X
X
X
+
≤
−
≥
−
≥
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∞
+
−
∞ +
−
−
−
−
−
−
−
=
+
0
0
1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
dx
dx
dx
e
e
e
λ
dx
dx
dx
e
e
e
λ
(
)
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
∫
∞
∞
−
−
+
−
−
−
−
−
+
−
−
−
=
+
−
+
+
−
=
0
1
0
2
3
2
3
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
dx
dx
e
λ
e
λ
e
e
λ
dx
e
λ
e
λ
e
e
λ
x
x
x
x
λ
x
x
λ
x
λ
x
λ
x
x
λ
x
x
λ
x
λ
x
λ
∫ ∫
∫
∞
∞
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
=
0
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
dx
dx
e
e
λ
e
λ
dx
e
e
λ
e
λ
x
x
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
∫
∞
−
−
−
−
−
−
=
−
+
+
−
−
=
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
dx
e
λ
e
λ
e
λ
λ
e
λ
e
λ
e
λ
x
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
x
λ
∫
∞
−
=
=
=
0
2
2
1
4
1
2
1
2
1
λ
λ
e
λ
x
x
λ
4
3
4
1
1
=
−
=
ODP
Zadanie 2
2
sin
2
φ
r
a
=
)
2
;
0
(
Π
≅
J
φ
Π
Π
∈
−
Π
Π
∈
=
)
2
;
(
2
2
sin
2
)
;
0
(
2
sin
2
φ
φ
r
φ
φ
r
a
∫
∫
Π
Π
Π
=
=
−
Π
=
−
Π
Π
+
Π
=
0
2
2
2
2
sin
2
2
1
2
sin
2
2
1
x
φ
φ
d
φ
φ
d
φ
ODP
∫
Π
Π
Π
Π
=
Π
+
Π
=
−
Π
+
Π
=
Π
+
−
Π
=
0
0
0
4
2
2
2
cos
2
1
2
2
sin
1
2
cos
2
1
x
x
φ
Zadanie 3
Przy załoŜeniu Ŝe
0
≠
µ
bo wtedy istnieje minimum
nieobciąŜony
1
4
3
2
4
3
2
1
=
+
+
+
→
a
a
a
a
(
)
min
var
2
2
4
2
3
2
2
2
1
→
+
+
+
σ
a
a
a
a
min
4
3
2
4
3
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1
→
−
+
+
+
+
+
+
+
=
λ
a
λ
a
λ
a
λ
a
λ
a
a
a
a
L
=
=
=
=
→
=
−
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
+
15
2
10
1
15
1
30
1
0
1
4
3
2
0
4
2
0
3
2
0
2
2
0
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
λ
a
λ
a
λ
a
λ
a
15
1
0
1
)
2
(
4
2
3
3
)
(
2
2
−
=
=
−
−
+
−
+
−
+
−
λ
λ
λ
λ
λ
Z tego:
30
min
30
1
30
30
30
16
9
4
1
15
2
10
1
15
1
30
1
min
2
2
2
2
2
2
2
σ
=
→
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
Zadanie 6
σ
Y
µ
X
n
Y
Y
X
X
wariancja
X
σ
µ
N
X
n
n
n
n
n
=
=
=
+
=
+
=
−
−
≅
−
−
0
0
1
1
n
0
10
,...,
1
1
4
1
5
2
1
Y
wart.czek.
)
,
(
1
1
1
4
1
4
1
4
1
1
1
4
1
4
1
1
4
1
5
5
5
2
1
2
1
2
1
5
5
2
1
2
1
...
5
2
1
3
2
1
3
2
1
+
+
+
=
+
+
=
+
=
+
+
+
=
+
+
=
=
+
=
σ
Y
σ
Y
σ
Y
µ
X
µ
X
µ
X
Z tego:
10
2
10
2
1
1
2
5
2
1
+
−
=
−
⋅
+
=
n
n
n
n
µ
µ
X
3
4
4
3
4
4
1
1
3
4
4
1
+
−
=
−
+
=
n
n
n
n
σ
σ
Y
=
+
−
=
+
−
σ
σ
µ
µ
3
4
4
3
4
10
2
10
10
10
10
10
2
10
2
10
µ
µ
=
+
−
(
)
10
2
1
2
1
10
10
10
=
−
−
=
µ
10
10
4
4
3
4
3
4
σ
σ
=
+
−
(
)
3
4
4
1
4
1
3
4
10
10
=
−
−
=
σ
Zadanie 7
(
) (
)
10
5
10
5
10
K
K
E
K
K
K
E
dr
=
−
5
dr
K
- ilość orłów w drugiej 5
X
X
K
=
−
10
(
) (
)
10
5
10
5
K
K
E
K
K
E
X
dr
=
−
- oczywiste
(
)
2
10
10
5
K
K
K
E
X
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
625
,
0
16
10
16
10
4
5
10
4
1
4
1
5
4
1
2
var
var
var
var
var
10
5
10
5
5
10
5
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
dwum
K
K
K
K
E
K
K
K
E
Zadanie 8
( )
=
>
=
>
=
>
Π
Π
−
+
+
−
+
−
−
−
−
t
e
P
t
e
P
t
e
e
P
x
x
x
x
x
x
x
8
1
4
1
8
3
2
8
1
4
1
8
2
8
1
0
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
(
)
0
)
2
ln(
8
1
2
3
)
2
ln(
8
1
4
1
8
3
2
2
>
−
−
+
=
>
−
+
=
t
x
x
P
t
x
x
P
-2 jest pierwiastkiem z Vieta
3
4
2
3
2
=
=
→
+
−
=
−
→
b
x
x
11
,
0
07725
5
,
0
40824
,
0
5
,
0
2
lub
3
4
≈
−
+
−
=
−
<
>
x
x
P
czyli odpowiedź (E) prawidłowa
Zadanie 9
(
) (
) (
) (
) (
)
3
1
1
3
3
2
2
3
3
3
1
1
1
1
1
1
1
<
=
=
≥
+
<
=
=
≥
=
<
≥
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
X
X
P
X
X
P
X
X
P
X
X
P
X
X
P
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
+
<
=
≥
+
<
=
≥
=
<
=
=
≥
+
−
−
−
−
−
−
−
3
1
3
3
2
3
3
0
0
3
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
X
P
X
P
Y
P
X
P
X
P
Y
P
X
X
P
X
X
P
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
3
3
3
0
,
2
,
1
3
0
3
1
1
1
1
≥
=
≥
<
=
=
<
=
≥
+
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
Y
P
Y
P
X
P
X
P
X
P
X
P
Y
P
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
=
−
−
−
−
−
−
=
=
≥
=
=
=
+
≥
=
=
<
=
≥
<
9
3
1
1
1
1
1
1
0
3
0
...
3
3
3
3
3
3
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Y
P
X
P
k
X
P
Y
P
X
X
P
X
X
P
X
X
P
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
≥
≥
≥
+
<
<
≥
=
≥
−
−
−
−
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
X
P
X
X
P
X
P
X
X
P
X
P
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
=
≥
−
≥
+
<
=
≥
=
−
+
<
≥
=
−
−
−
−
−
3
10
1
3
3
10
7
3
0
1
3
3
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
X
P
X
P
X
P
X
P
Y
P
X
P
Y
P
(
)
(
)
(
)
3
10
2
10
7
3
10
9
3
10
7
1
1
1
≥
+
=
≥
+
<
=
−
−
−
n
n
n
X
P
X
P
X
P
8
7
8
10
10
7
10
7
10
8
10
2
10
7
10
2
10
7
1
=
=
→
=
→
+
=
→
+
=
−
x
x
x
x
X
X
n
n
Zadanie 10
0
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
>
∩
>
∩
−
>
∩
−
B
A
P
B
A
P
B
P
B
A
P
A
P
BO:
(
)
)
(
\
)
(
)
(
\
B
C
A
C
B
C
A
C
B
C
∩
∩
∩
∩
∩
∩
Z nierówności z treści zadania:
0
)
(
)
(
)
(
bo
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
>
∩
−
+
∩
>
∪
∩
∩
−
∩
+
∩
B
A
P
B
P
A
P
A
P
C
A
P
B
A
P
C
B
A
P
C
B
P
C
A
P
Z TEGO:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
A
P
B
A
P
A
P
C
A
P
C
B
A
P
C
B
P
∩
−
∪
∩
>
∩
∩
−
∩
(
)
>
∩
−
∩
−
∪
∩
>
∩
−
∩
∩
−
∩
=
−
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
C
A
P
B
A
P
A
P
C
A
P
B
A
P
B
P
C
B
A
P
B
C
P
A
B
C
P
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
A
C
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
P
C
A
P
B
A
P
B
P
A
P
C
A
P
A
P
B
A
P
C
A
P
=
∩
−
∩
−
∩
=
∩
−
∩
−
∪
∩
>
