Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
[
]
[
]
y
x
y
F
y
f
x
F
y
F
x
f
x
F
s
n
r
s
r
n
y
x
f
s
n
r
s
r
rs
≤
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)!
(
)!
1
(
)!
1
(
!
)
,
(
1
1
∫
≥
−
=
=
x
x
x
t
x
F
1
2
3
1
1
1
2
)
(
n=4
1
,
2
1
1
2
12
)
,
(
3
2
2
2
3
14
>
≤
−
=
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
f
∫ ∫
∫ ∫
∞ ∞
∞ ∞
=
+
−
=
−
=
1
1
4
2
2
4
4
2
2
2
2
3
3
1
2
1
48
1
1
2
2
12
x
x
dydx
y
y
x
x
y
x
dydx
y
x
y
x
y
x
ODP
∫
∞
=
=
+
−
=
+
−
⋅
=
+
−
=
1
7
2
5
4
3
6
35
16
35
128
8
1
35
240
672
560
8
1
8
1
7
48
8
1
5
96
8
1
16
7
1
48
5
1
96
3
1
48
x
x
x
x
x
x
Zadanie 2
(
)
(
)
∑
∞
=
=
=
0
0
)
(
,...,
min
n
n
N
n
N
P
X
X
E
EM
dla
)
1
(
1
1
)
(
1
)
(min
1
)
(min
1
+
−
+
−
=
>
−
=
>
−
=
<
≥
n
t
n
n
e
t
X
P
t
P
t
P
n
)
1
(
min
)
1
(
)
(
+
−
+
=
n
t
e
n
t
f
=
=
−
=
+
+
=
+
+
=
=
−
∞
=
∞
=
−
−
∑
∑
m
n
e
n
λ
e
e
n
λ
n
N
P
EM
λ
n
n
n
λ
λ
n
N
1
)!
1
(
!
1
1
)
0
(
1
1
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
+
−
−
+
−
−
−
+
=
+
+
=
+
+
=
0
0
2
1
1
1
)!
2
(
1
)!
2
(
m
m
λ
λ
λ
λ
m
λ
λ
m
λ
e
λ
e
λ
e
e
m
λ
λ
e
e
m
λ
e
λ
EN
=
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
)
(
)
(
n
n
N
N
N
n
N
P
n
N
M
nE
n
N
P
n
N
N
M
E
N
M
E
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
+
=
1
1
1
1
1
!
1
1
1
!
1
n
n
λ
λ
λ
λ
n
λ
λ
n
e
λ
e
λ
e
e
n
λ
n
e
e
n
λ
n
n
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
e
λ
λ
λ
e
λ
e
e
λ
e
e
λ
e
e
λ
λ
e
ODP
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
+
=
+
+
−
−
+
+
−
−
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Zadanie 3
(
)
∑
∑∫
∞
=
∞
=
−
−
=
−
Γ
+
=
=
=
=
≤
=
≤
0
1 0
1
)
1
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
n
n
x
n
t
λ
n
n
q
q
dt
e
t
n
λ
N
P
n
N
P
n
N
x
S
P
x
S
P
∫∑
∞
=
−
−
−
−
+
=
=
x
A
n
n
t
λ
n
n
dx
q
e
t
n
λ
q
N
P
0
1
1
)!
1
(
)
1
(
)
0
(
4
4
4
3
4
4
4
2
1
∑
∑
∞
=
∞
=
−
−
−
−
+
−
+
=
=
=
=
−
=
0
0
)
1
(
1
1
!
)
(
!
1
m
m
q
t
λ
t
λ
tq
λ
tq
λ
m
m
t
λ
m
m
qe
λ
e
e
e
m
tq
λ
q
λ
q
e
t
m
λ
m
n
A
∫
=
−
+
−
=
−
−
x
q
t
λ
dt
qe
λ
q
q
ODP
0
)
1
(
...
)
1
(
1
(
)
x
q
λ
q
x
λ
qe
e
q
q
ODP
)
1
(
)
1
(
1
1
1
−
−
−
−
−
=
−
+
−
=
Zadanie 4
Musi być:
(
)
X
X
EN
N
N
EE
=
2
9
30
18
15
=
⋅
=
hiper
X
EN
6
30
12
15
2
=
⋅
=
EN
i sprawdzamy:
9
6
36
5
8
)
(
≠
−
=
A
E
9
6
9
1
3
25
)
(
≠
−
=
B
E
9
3
2
3
25
9
6
3
25
)
(
=
+
=
+
=
C
E
9
6
3
1
3
25
)
(
≠
+
=
D
E
9
6
36
5
8
)
(
≠
+
=
E
E
czyli odpowiedź C prawidłowa
Zadanie 5
(
)
(
)
∫
=
>
=
=
>
1
0
6
8
6
8
)
(
0
,
0
0
,
0
θ
f
θ
S
S
P
S
S
P
(
) (
) (
)
[
]
2
6
2
1
6
6
8
)
1
(
1
)
1
(
0
0
0
,
0
θ
θ
θ
X
X
P
θ
S
P
θ
S
S
P
−
−
−
=
>
+
=
=
=
>
(
)
(
)
6
6
6
)
1
(
0
0
θ
θ
X
P
θ
S
P
−
=
=
=
=
(
)
2
2
1
)
1
(
1
0
θ
θ
X
X
P
−
−
=
>
+
(
)
[
]
∫
=
−
−
−
−
=
=
>
=
1
0
2
8
6
6
8
..
)
1
(
12
)
1
(
)
1
(
0
,
0
θ
θ
θ
θ
S
S
P
LICZ
(
)
(
)
∫
∫
=
−
−
=
=
=
=
1
0
1
0
2
6
6
6
)
1
(
12
)
1
(
)
(
0
0
MIAN
θ
θ
θ
θ
f
θ
S
P
S
P
(
)
(
)(
)
∫
∫
=
+
−
−
=
−
−
=
=
−
=
1
0
1
0
2
9
7
2
8
6
2
1
12
12
)
1
(
12
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
θ
LICZ
∫
=
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
1
0
1
0
12
11
9
8
11
10
9
9
8
7
12
12
11
24
9
24
8
12
12
24
12
12
24
12
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
66
1
66
66
144
176
99
1
11
24
3
8
2
3
=
−
+
−
=
−
+
−
=
(
)
∫
∫
∫
=
+
−
=
+
−
=
−
=
1
0
1
0
1
0
9
8
7
2
7
2
6
12
24
12
2
1
12
)
1
(
12
t
t
t
t
t
t
t
t
t
MIAN
30
1
10
12
9
24
8
12
1
0
10
9
8
=
+
−
=
t
t
t
11
5
30
66
1
=
=
ODP
Zadanie 6
(
)
∑
=
−
=
6
1
2
2
i
i
i
i
np
np
N
χ
n=6
(
)
∑
∑
∑
∑
=
−
=
+
−
=
−
=
6
1
2
2
2
2
6
6
2
1
i
i
i
i
i
n
n
n
n
χ
(
) (
)
∑
>
=
>
0863
,
21
0863
,
15
2
2
i
n
P
χ
P
moŜliwe tylko gdy któreś 6 lub któreś 5
=P(jakaś liczba wypadła 6 razy)+P(jakaś wypadła 5 razy i raz inna)=
}
}
}
5
5
5
6
6
liczby
wybor
6
31
6
30
6
1
6
5
6
6
6
6
=
+
=
⋅
⋅
+
=
miejsce
liczba
Zadanie 7
(
)
∑
∑
∑
=
=
=
→
=
−
−
=
∂
∂
5
1
5
1
2
var
var
0
var
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ε
x
β
ε
Y
x
ε
x
β
Y
x
β
∑
∑
=
i
i
i
i
i
ε
x
ε
Y
x
β
var
var
2
jeśli
6
8
7
>
θ
to tak samo, bo prawy przedział ma niŜsze prawdopodobieństwo
Z tego:
2
2
max
lub
1
max
:
0
,
8
1
<
>
→
=
=
K
α
β
czyli odpowiedź (B) prawidłowa
Zadanie 9
λ
e
X
P
Z
P
−
−
=
<
=
=
1
)
1
(
)
1
(
λ
λ
λ
λ
e
e
e
e
X
P
Z
P
2
2
1
1
)
2
1
(
)
2
(
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
<
<
=
=
...
...
λ
k
λ
k
e
e
k
Z
P
−
−
−
−
=
=
)
1
(
)
(
(
)
( )
(
)
( )
( )
∏
∏
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
=
−
=
∑
n
i
S
λ
n
λ
Z
λ
n
λ
λ
λ
Z
λ
Z
λ
Z
e
e
e
e
e
e
e
e
L
i
i
i
i
1
1
1
1
1
( )
S
λ
e
n
L
λ
−
−
=
1
ln
ln
S
S
n
e
e
S
Se
ne
S
e
ne
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
=
−
→
=
−
+
−
→
=
−
−
=
∂
∂
)
(
0
1
0
1
n
S
S
e
λ
−
=
−
=
−
=
S
n
n
S
S
λ
1
1
ln
ln
−
−
=
S
n
λ
1
ln
ˆ
Zadanie 10
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
>
>
+
<
<
=
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
W
P
W
W
E
W
P
W
W
E
W
E
(
)
3
1
1
4
1
1
4
1
1
=
−
=
=
=
=
<
−
v
α
W
W
E
n
n
(
)
2
1
1
3
1
1
3
1
1
=
−
=
=
=
=
>
−
v
α
W
W
E
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
.
1
1
1
1
1
>
>
<
+
<
<
<
=
<
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
W
P
W
W
P
W
P
W
W
P
W
P
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
.
2
1
1
1
1
>
>
>
+
<
<
>
=
>
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
W
P
W
W
P
W
P
W
W
P
W
P
