Egzamin dla Aktuariuszy z 25 stycznia 2003 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

Innymi słowami: losujemy do momentu pierwszej czarnej, ile średnio będzie białych (patrząc z drugiej strony)

b,c i dalej

 23

 22

10

9













 

9 

9 

9 

9

P )

1

(

=

, P(2) =

,..., P 1

( 4) =

, P 1

( )

5 =

 25

 25

 25

 25

















15 

15 

15 

15 

15

liczymy na piechotę: EX =

11

Zadanie 2



∈

t (0 )

1

,



 4

6

4

7 8 



X



1

P

≤ t = P( X ≤ t( X + Y)) = P( X 1

( − t) ≤ tY )



− t 

= P Y ≥

X  =

 X + Y





t











t

−

1 x

t

t



2 x 



2 

2

= ∫ ∫ 2 dydx = ∫

x

t

 2 −

 dx = 2 x −

 = t

2 −

= t

0 −



t 

t

t

1 t

0





x

0

t

g(z)=1 dla 0 ≤ z ≤ 1

Zadanie 3

µ = 0 dla symetrycznych 3

3

µ = m − 3 µm + 2 µ

3

3

2

ODP = E[

3

2

nX + 3 n( n − ) 1 X X

+ n( n − )

1 ( n − 2) X X X

=

+

−

+

−

−

i

j

i

j

k ]

3

2

3

nEX

3 n( n

)

1 EXEX

n( n

)

1 ( n

2)( EX )

}

=0

3

3

EX

= µ + 3 m

µ

− 2 µ = 3 µ σ + µ − 2 µ = µ + 3 µσ

3

2

( 2 2) 3 3

2

2

2

2

EX

= σ + µ

ODP = n( 3

µ +

2

3 µσ )+ 3 n( n − ) 1 µ( 2

σ + 2

µ )+ n( n − ) 1 ( n −

3

2) µ =

=

3

nµ +

2

3 nµσ + ( 2

3 n − 3 n)( 2

µσ + 3

µ )+ ( 3

n −

2

2 n − 2

n + 2 n) 3

µ =

3

2

2

2

2

3

2

3

3

3

2

3

3

2

= nµ + 3 nµσ + 3 n µσ + 3 n µ − 3 nµσ − 3 nµ + n µ − 3 n µ + 2 nµ = n µ( 2

2

3 σ + nµ )

Zadanie 4

∑( Xi− µ)2 i

1 !

0

−

2

L =

e

2Π

2

 1 !

0 

∑( Xi − µ) i ln L = ln

 −





 2Π

2



∂

10

= 1 ∑ 2 i( X

µ

i X

µ

i −

) = ∑ ( i − ) = 0

∂ µ 2 i=1

∂∂ < 0 → max

2

∂ µ

∑ iX

i − 55 µ = 0

∑ iX

ˆ µ =

i

55

1

Eµˆ =

∑ iµ = µ

55

var µ = 1

ˆ

∑ 2 1

i

= 1

552

i

55

P( ˆ µ − d ≤ µ ≤ ˆ µ + d ) = P( ˆ µ − µ ≤ d ) = P( X ≤ d 55) = 9

,

0 5 → 9

,

1 6 = d 55 → d ≈ , 0 2643

Zadanie 5

Y + Z = X

i

i

i

≅ Poisson( λ, X )







4

6

4

7 8 

var

( Y )

( Z )

 S

+ S

 = var( ( Y)

S

)+ var( ( Z)

S

)+2cov









( )

2

var S Y = λEY

( )

2

var S Z = λEZ

var( ( Y )

( Z )

S

+ S

)

2

= λEX

2

2

2

EZ

= EX − 2 E( XY ) + EY

c

x

∞

−

− x

1

1

EY 2 = ∫ 2

µ

x

e

+ ∫ 2

µ

c

e

µ

µ

0

c

c

x

∞

−

− x

1

1

E( XY ) = ∫ 2

µ

x

e

+ ∫

µ

cx

e

µ

µ

0

c

 ∞

x

∞

x



−

−

2

2 1

µ

1



→ E

λ X

= λ 2∫ c

e

− 2

µ

2 

∫ cx e + EX + 2cov



µ

µ



 c

c



 c

x

∞

x

∞

x

c

x

∞

x 

−

−

−

−

−

( Y )

( Z )



2 1

µ

2 1

µ

2 1

µ

2 1

µ

1

µ 

← var S

+ var S

= λ 2∫ x

e

+ 2∫ c

e

+ ∫ x

e

− 2∫ x

e

− 2∫ cx e



µ

µ

µ

µ

µ



 0

c

0

0

c



− x



1

∞

x

∞

x 

µ

−

−

u = x v

′ =

e



1

µ

2 1

µ 

cov = λ ∫ cx e

− ∫ c

e

=

µ

=



µ

µ



 c

c



− x

u′ =

v

1

= − µ

e

c

c

c

c



−

−

− 

−

2

µ

µ

2

µ

µ

= λ c e

+ c

µ e

− c e  = c

λµ e









Zadanie 6

X = X + X ≅ Γ(

)

1

,

4

1

2

Y = X ≅ Γ(

)

1

,

2

3

P( X + X ≤ , 5 X + X + X > 5

1

2

1

2

3

)

5 ∞

5

5

ODP = ∫ ∫

− y 1 3 − x

ye

x e dydx = ∫ 1 3 − x x e

[ − y −

− ye − y

e

]∞

1 3 x

(5 x)

(5 x)

x e

5

(

x) e

e

5−

=

x

∫

− [

− −

− −

−

+

]=

6

6

6

0 5− x

0

0

5



4

5 5

1 −

=

5

e

∫ 3

1 −5 6 x

x

1 − 3



5

4

4

1 4 1 −5

625 −

x (6 − x) =

e



−

 = e

⋅5 − 5 = 5 ⋅ e =

5





e

6

6

4

5

6

2

6

2

12

0









0

Zadanie 7

2

S ≅ P 1

( 0 λ

) m ( λ) = λ + λ

2

2

2

ES = 10 λ + 100 λ

ES = 10 λ

2

10 λ + 100 λ

9

odpowiedź C prawidłowa bo:

2

2

+

⋅10 λ = 1

,

0 λ + λ + 9

,

0 λ = λ + λ

100

100

Zadanie 8

P( Y

P Z

P X

P X

i =

)1 = ( i = )1 ( i = )1 = 9, 0

( i = )1

P( Y

P X

i = 0) = 1 −

9

,

0

( i = )1

P( Y

Y

P Y

Y

P Y

Y

P Y

n >

n+

=

n =

n+ =

=

n+ =

n =

n =

1 )

(

,

1

0

1

) (

0

1

)1 (

)1

P( Y

Y

P Y

Z

X

P Z

X

Z

X

n+1 = 0 n = )

1 = ( n+1 = 0 n = , 1

n = )

1 = 1 − ( n+1 = ,

1

n+1 = 1

n = ,

1

n =

)1=

1

p 1

6

4

4

4

7

4

4

4

8

= 1− P( Z

P X

X

n+ =

n+ =

n =

= −

⋅

=

1

)1 (

1

1

)1 1 9,

0

8

,

0

,

0 28

P( Y

P Z

P X

P X

n =

)1 = ( n = )1 ( n = )1 = 9, 0

( n = )1

→ 1

4

6

p 4

7 8

lim ,

0 28 ⋅ 9

,

0 ⋅ P( X

n =

)1→ ,028⋅ 9,

0 ⋅ 5

,

0

= 1,

0 26

n→∞

 8

,

0 p + ,

0 2 p = p

0

1

0



→ p = p =

b

5

,

0

o p + p = 1

 ,

0 2 p + 8

,

0

0

1

0

1

p = p

0

1

1

Zadanie 9

µ > µ

2

1

2

n

∑( Xi− µ 2)

 1  −



 e

2

µ 2 n

µ 2

 2Π 

µ 2 ∑ X

2

1

i −

− µ 1∑ Xi + n

= e

2

2

→ STAT =

2

∑ X

n

∑( Xi− µ 1)

i

 1  −



 e

2

 2Π 

.

1 P ∑ X

i > t =

0 (

) 0,

0 25



t − n

3 

t − n

3

P

X



>

 = ,

0 025 →

= 9

,

1 6 → t = 9

,

1 6 n + n

3

0 

n 

n

K = (





X

czyli (A) prawidłowa

n >

9

,

1 6 n + 3 n)

9

,

1 6

= X >

+ 3



 = ( ˆ µ− > 3)



n



Zadanie 10

− p

ES

=

1

EN ⋅ EX =

µ

N

p

P( N > 0) = 1 − P( N = 0) = 1 − p 1

1

E( S

0

0

N

> )

−

=

p

N

µ

= µ → ( S N

n

> )

 p 

≅ wykl 

p

1 − p

p

 µ 

s

1 − µ

e

p 1

( − p)

s

ps

s 1

( − p)

= 1 ( = )

1

− +

−

P(

f S

N

P N

µ

N = 1 S

= s =

=

= e

= e

N

) ( N

)

µ

µ

µ

ps

f

( s)

S

−

N

p

µ

e

1

( − p)

µ

ps

p −

f

( s) = f

>

>

=

−

SN

( s N 0) P( N 0) e µ 1

(

p)

µ