3. CA LKA POWIERZCHNIOWA NIESKIEROWANA

1. Obliczy´

c:

a)

Z Z

S

x + arctgz

√

1 + 4z

dS,

gdzie S to powierzchnia paraboloidy z = x

2

+ y

2

, 0 ≤ z ≤ h, h > 0;

b)

Z Z

S

(x

2

+ y

2

)dS,

gdzie S jest brzegiem obszaru {(x, y, z) ∈ R

3

:

px

2

+ y

2

< z < 1}.

2. Naszkicowa´

c powierzchni

,

e dan

,

a r´

ownaniem

z =

p

2xy,

gdzie

0 < x < 2,

0 < y < 4.

i obliczy´

c jej pole.

3. Obliczy´

c mas

,

e

a) jednorodnej powierzchni danej w postaci parametrycznej







x(t, s) = t cos s
y(t, s) = t sin s ,

t ∈ (0, 1), s ∈ (0, 2π);

z(t, s) = s

b) powierzchni sto˙zka z

2

= x

2

+ y

2

, 0 ≤ z ≤ h, wiedz

,

ac, ˙ze g

,

esto´s´

c powierzchniowa w

dowolnym punkcie jest wprost proporcjonalna do odleg lo´sci tego punktu od p laszczyzny
XY .

4. Wyznaczy´

c wsp´

o lrz

,

edne ´srodka masy jednorodnej powierzchni paraboloidy z = x

2

+ y

2

dla 0 ≤ z ≤ 1.

5. Obliczy´

c moment bezw ladno´sci jednorodnej powierzchni sze´scianu

{(x, y, z) ∈ R

3

: max{|x|, |y, |z|} = a}

wzgl

,

edem pocz

,

atku uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych.