C

ał

k

a powierz

c

hniowa

.

funkcji skalarnej

Niech będą dane w przestrzeni Oxyz: płat powierzchniowy (S) określony

r

ównaniem

z = z(x, y) (x

,

y) (G)

gdzie z(x, y) jest funk

c

ją klasy C

1

w ob

s

zarze regularnym domkniętym (G) oraz fu

n

kcja f

,

która

k

a

żdemu punktow

i P

= (x, y, z

)

pł

a

ta (S) przyporządkowuje lic

z

bę

f

(P)

= f (x, y

,

z)

Zakładamy,

ż

e funkcja f jest ograniczona na (S).

Całka powierzchniowa funkcji f po płacie (S) jest oznaczana symbolami

(S) - powierzchnia całkowania, f (P) - funkcja podcałkowa, P

=

(x, y, z) - punkt przebiegający

powierzchnię całkowania, dS

-

różniczka pola płata

.

Dzielimy obszar (G) na elementy

. W każdym elemencie obieramy argument (x

i

, y

i

).

Każdemu argumentowi odpowiada na płacie punkt

P

i

= (x

i

, y

i

z (x

i

, y

i

))

i płaszczyzna styczna w tym punkcie do płata, a na tej płaszczyźnie element styczny

, którego

rzutem na płaszczyznę Oxy jest element

- każdemu punktowi P

i

, odpowiada pewna wartość funkcji f (P

i

);

- wartość funkcji f (P

i

) mnożymy przez pole elementu stycznego

, i tworzymy sumę takich

iloczynów

Całkę powierzchniową definiujemy jako granicę tej sumy, gdy (największa ze średnic
elementów stycznych).

Sens geometryczny. Jeśli f (P)

=

1 wszędzie na (S), to powyższa całka jest polem płata (S)

Sens fizyczny. Jeśli (S) jest płatem materialnym, a oznacza gęstość w dowolnym punkcie
P płata, to całka

jest masą płata.

Obliczenie całki powierzchniowej funkcji skalarnej
Jeśli funkcja f punktu P

=

(x, y, z) jest ciągła i ograniczona na płacie (S) o równaniu

z = z(x, y) (x

,

y) (G)

to całka powierzchniowa funkcji f po płacie (S) istnieje i

z

achodzi równość