Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej na płaszczyźnie. Niech będą dane na płaszczyźnie Oxy
łuk gładki (l

)

o początku A i końcu B oraz funkcja f, która każdemu punktowi P

=

(x, y) krzywej

(I) przyporządkowuje

l

iczbę f (P) = f (x, y). Funkcję tę nazywam

y

funkcją skala

r

ną

,

a

b

y

odróżnić ją od funkcji wektorowej. Zakładamy, że funkcja f jest ograniczona na (I)

.

Całka krzywoliniowa funk

c

ji f po krzywej (I)

, j

est oznaczan

a

symbolami

l - dr

o

ga

c

ałko

w

ania

.

- funk

c

ja podcałkowa,

d

l - ró

ż

ni

c

zka ł

u

k

u

.

Łuk (I) = AB dzielim

y

za pomocą punktó

w

podziału A = A

o

, A

1

,

.

.

.

, A

n

-1

,

A

n

=

B

Tworzymy cięc

i

wy

odpo

w

iadają

ce tym ł

u

ko

m

a długości tych cięciw oznacz

a

my

Średnicą podziału nazywamy długość najdłuższego z łuków częściowych w danym podziale.

Na każdym z łuków częściowych obieramy po

jednym punkcie

i tworzymy

Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f na drodze (I).

Normalny ciąg podziałów jest to ciąg podziałów

,

których średnice twor

z

ą ciąg zbieżny do 0

(a liczby łuków częściowych

ciąg rozbieżny do ).

G

r

anica sumy całkowej. Jeśli każdemu normalnemu ciągowi podziałów, pr

z

y dowo

l

nym

wyborze argumentów

,

odpowiada ciąg sum całkowych zbieżny do pewnej granicy

,

to tę

granicę nazywamy całką krzywoliniową funkcji f po krzywej (l), co zapisujemy

Sens geometr

y

czny

.

Jeśli f (P) = 1 wszędzie na (l)

,

to całka

jest długością łuku (l)

Sens

fi

z

yc

z

ny.

Jeśli (l) oznacza krzywą materialną, a f(P) gę

s

tość w dowolnym p

u

nkcie P tej

krzywej, to całka

jest masą tej krzywej.

Obliczenie całki krzywoliniowej funkcji skalarnej na płaszcz

y

źnie

J

eś

li łuk gładki (

I

) jest dan

y

na pła

szczyź

nie Ox

y

ja

w

n

ie

y=y(x),

a funk

cj

a f j

es

t c

ią

gła na (I)

, t

o c

a

łka kr

zyw

olini

ow

a f

u

nk

cj

i f

p

o

kr

zywej (

I

)

i

s

tnieje i

z

a

c

hod

z

i równoś

ć

J

eś

li łuk gładki (I

)

j

es

t dan

y

n

a

pła

szczyź

n

ie

O

xy

par

a

m

et

r

ycz

ni

e

x

=

x (t),

y

=

y (

t)

,

a funk

cj

a f j

es

t c

ią

gła na (I)

, t

o c

a

łka kr

zyw

olini

ow

a f

u

nk

cj

i f

p

o

kr

zywej (

I

)

i

s

tnieje i

z

a

c

hod

z

i równoś

ć

Całka

k

rzywolini

owa

f

u

nkc

j

i sk

alar

nej w

prze

s

tr

ze

ni.

Nie

c

h będ

ą

dane w pr

z

estrzeni Oxyz

:

ł

uk

gł

adki (

l) o

raz f

u

n

k

cja sk

a

larna f punktu P

=

(x

,

y

, z

)

,

o

k

reślona

i

ogranic

z

ona na (I). Całkę

krzywoli

ni

o

w

ą f

un

k

c

j

i

f

p

o krzywej (l) w p

r

zestrz

e

ni

O

xy

z

def

ini

uje

m

y

.

analogicznie jak

n

a

p

łaszczy

źn

ie

O

xy

i

oznac

za

my sy

m

bo

la

m

i

J

eś

li łuk gładki (I

)

j

es

t dan

y

w przestrzeni

O

xyz

par

a

m

et

r

ycz

ni

e

x

=

x (t),

y

=

y (

t)

, z=z(t)

a funk

cj

a f j

es

t c

ią

gła na (I)

, t

o c

a

łka kr

zyw

olini

ow

a f

u

nk

cj

i f

p

o

kr

zywej (

I

)

i

s

tnieje i

z

a

c

hod

z

i równoś

ć