CAŁKA KRZYWOLINIOWA

Zad. 1 Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane:

a)

∫

+

−

K

xdy

dx

y

, gdzie K jest łukiem elipsy

t

x

cos

2

=

,

t

y

sin

=

,

2

0

π

≤

≤

t

, skierowanym

zgodnie ze wzrostem parametru t;

b)

∫

+

K

dx

x

dy

xy

2

, gdzie K jest łukiem hiperboli

x

y

1

=

,

4

1

≤

≤

x

, skierowanym zgodnie ze

wzrostem zmiennej x;

c)

(

) (

)

∫

−

+

−

AB

dy

y

x

x

dx

xy

y

2

2

3

9

2

6

2

, gdzie

AB,

( )

0

,

0

=

A

,

( )

2

,

2

=

B

, jest

0

1 . odcinkiem,

0

2 .

łukiem paraboli

2

2

1

x

y

=

,

0

3 . łukiem paraboli

2

2

1

y

x

=

,

0

4 . łukiem krzywej

3

4

1

x

y

=

;

d)

xdz

zdy

dx

y

K

−

+

∫

, gdzie

K:

2

t

x

=

,

3

t

y

=

,

t

z

=

,

1

0

≤

≤

t

, skierowana zgodnie ze wzrostem

parametru

t;

e)

(

)

dz

y

x

ydy

dx

x

AB

∫

−

+

+

+

1

, gdzie

AB jest odcinkiem o końcach

( )

1

,

1

,

1

=

A

,

(

)

4

,

3

,

2

=

B

,

skierowanym od

A do B.

Zad. 2 Obliczyć całki krzywoliniowe nieskierowane:

a)

(

)

∫

+

L

dl

y

x

2

, gdzie

L jest odcinkiem prostej

2

+

=

x

y

,

2

0

≤

≤

x

;

b)

(

)

∫

+

L

dl

y

x

2

2

, gdzie

L:

(

)

t

t

t

a

x

sin

cos

+

=

,

(

)

t

t

t

a

y

cos

sin

−

=

,

π

2

0

≤

≤

t

;

c)

∫

L

dl

xy

, gdzie

L jest obwodem kwadratu

a

y

x

=

+

,

0

>

a

;

d)

(

)

∫

+

+

L

dl

z

y

x

2

2

2

, gdzie

L:

t

a

x

cos

=

,

t

a

y

sin

=

,

bt

z

=

,

π

2

0

≤

≤

t

.

Zad. 3 Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć:

a)

( )

(

)

∫

+

+

−

K

dy

y

x

ydx

x

2

2

1

1

, gdzie

K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu

2

2

2

a

y

x

=

+

,

b)

∫

+

K

xydy

xydx

, gdzie

K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

,

c)

∫

+

K

xydy

xydx

, gdzie

K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu

ax

y

x

=

+

2

2

.