CAŁKA KRZYWOLINIOWA
Zad. 1 Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane:
a)
∫
+
−
K
xdy
dx
y
, gdzie K jest łukiem elipsy
t
x
cos
2
=
,
t
y
sin
=
,
2
0
π
≤
≤
t
, skierowanym
zgodnie ze wzrostem parametru t;
b)
∫
+
K
dx
x
dy
xy
2
, gdzie K jest łukiem hiperboli
x
y
1
=
,
4
1
≤
≤
x
, skierowanym zgodnie ze
wzrostem zmiennej x;
c)
(
) (
)
∫
−
+
−
AB
dy
y
x
x
dx
xy
y
2
2
3
9
2
6
2
, gdzie
AB,
( )
0
,
0
=
A
,
( )
2
,
2
=
B
, jest
0
1 . odcinkiem,
0
2 .
łukiem paraboli
2
2
1
x
y
=
,
0
3 . łukiem paraboli
2
2
1
y
x
=
,
0
4 . łukiem krzywej
3
4
1
x
y
=
;
d)
xdz
zdy
dx
y
K
−
+
∫
, gdzie
K:
2
t
x
=
,
3
t
y
=
,
t
z
=
,
1
0
≤
≤
t
, skierowana zgodnie ze wzrostem
parametru
t;
e)
(
)
dz
y
x
ydy
dx
x
AB
∫
−
+
+
+
1
, gdzie
AB jest odcinkiem o końcach
( )
1
,
1
,
1
=
A
,
(
)
4
,
3
,
2
=
B
,
skierowanym od
A do B.
Zad. 2 Obliczyć całki krzywoliniowe nieskierowane:
a)
(
)
∫
+
L
dl
y
x
2
, gdzie
L jest odcinkiem prostej
2
+
=
x
y
,
2
0
≤
≤
x
;
b)
(
)
∫
+
L
dl
y
x
2
2
, gdzie
L:
(
)
t
t
t
a
x
sin
cos
+
=
,
(
)
t
t
t
a
y
cos
sin
−
=
,
π
2
0
≤
≤
t
;
c)
∫
L
dl
xy
, gdzie
L jest obwodem kwadratu
a
y
x
=
+
,
0
>
a
;
d)
(
)
∫
+
+
L
dl
z
y
x
2
2
2
, gdzie
L:
t
a
x
cos
=
,
t
a
y
sin
=
,
bt
z
=
,
π
2
0
≤
≤
t
.
Zad. 3 Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć:
a)
( )
(
)
∫
+
+
−
K
dy
y
x
ydx
x
2
2
1
1
, gdzie
K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu
2
2
2
a
y
x
=
+
,
b)
∫
+
K
xydy
xydx
, gdzie
K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
,
c)
∫
+
K
xydy
xydx
, gdzie
K jest dodatnio skierowaną krzywą o równaniu
ax
y
x
=
+
2
2
.