Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA

Łuk gładki, w którym jeden z dwóch kooców nazwano początkiem, a drugi koocem,
nazywamy łukiem gładkim skierowanym (zorientowanym).

Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA

Łuk gładki opisany równaniami parametrycznymi 𝐾: 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝛼, 𝛽 jest:

- skierowany zgodnie z jego parametryzacją, gdy jego początkiem jest punkt A= 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛼 ,

a koocem jest punkt 𝐵 = 𝑥 𝛽 , 𝑦 𝛽 ; oznaczamy 𝐴𝐵

- skierowany przeciwnie z jego parametryzacją, gdy jego początkiem jest punkt

𝐵 = 𝑥 𝛽 , 𝑦 𝛽 , a koocem jest punkt A= 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛼 ; oznaczamy 𝐵𝐴

UWAGA

Łuki 𝐴𝐵

i 𝐵𝐴

nazywamy przeciwnie skierowanymi; 𝐴𝐵

= −𝐵𝐴

.

Łuk przeciwnie skierowany do łuku 𝐾 oznaczamy – 𝐾.

Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA

Krzywa zamknięta kawałkami gładka jest skierowana dodatnio, gdy poruszając się po tej
krzywej zgodnie z jej skierowaniem najbliższe punkty wnętrza tej krzywej mamy z lewej
strony.

Krzywa zamknięta kawałkami gładka jest skierowana ujemnie, gdy poruszając się po tej
krzywej zgodnie z jej skierowaniem najbliższe punkty wnętrza tej krzywej mamy z prawej
strony.

Całka krzywoliniowa skierowana

DEFINICJA (CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA)

Rozważmy dwie funkcje 𝑃 i 𝑄 określone w każdym punkcie 𝑥, 𝑦 łuku gładkiego
skierowanego 𝐾 o początku 𝐴 i koocu B.

Dzielimy łuk 𝐾 punktami 𝐴 = 𝐴

0

, 𝐴

1

, 𝐴

2

, . . ., 𝐴

𝑛−1

, 𝐴

𝑛

= 𝐵 na 𝑛 łuków częściowych

𝑙

1

, 𝑙

2

, … , 𝑙

𝑛

; 𝑙

𝑖

= 𝐴

𝑖−1

𝐴

𝑖

dla 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Niech 𝑙

𝑖

oznacza długośd łuku 𝑙

𝑖

dla 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Niech 𝛿

𝑛

= 𝑚𝑎𝑥 𝑙

1

, 𝑙

2

, … , 𝑙

𝑛

oznacza średnicę danego podziału.

Niech 𝐴

𝑖

= 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

, ∆𝑥

𝑖

= 𝑥

𝑖

− 𝑥

𝑖−1

, ∆𝑦

𝑖

= 𝑦

𝑖

− 𝑦

𝑖−1

dla 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Całka krzywoliniowa skierowana

Na każdym łuku częściowym 𝑙

𝑖

wybieramy punkt pośredni 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

i tworzymy sumę

𝑆

𝑛

=

𝑃 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

∆𝑥

𝑖

+ 𝑄 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

∆𝑦

𝑖

𝑛

𝑖=1

.

Tworzymy normalny ciąg podziałów łuku 𝐾 na łuki częściowe (tzn. → 0 dla 𝑛 → ∞) i
odpowiadający mu ciąg 𝑆

𝑛

.

Rozważmy granicę lim

𝑛→∞

𝑆

𝑛

= lim

𝑛→∞

𝑃 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

∆𝑥

𝑖

+ 𝑄 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

∆𝑦

𝑖

𝑛

𝑖=1

.

Całka krzywoliniowa skierowana

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów łuku 𝐾 i każdego wyboru punktów
pośrednich 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

na łukach częściowych istnieje ta sama skooczona granica ciągu 𝑆

𝑛

, to

tę granicę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną) pary funkcji 𝑃 i 𝑄 po
łuku gładkim skierowanym 𝐾 o początku w punkcie 𝐴 i koocu w punkcie 𝐵 i oznaczamy

symbolem

𝑃 𝑥, 𝑦

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 lub 𝑃 𝑥, 𝑦

𝐴𝐵

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦.

𝑃 𝑥, 𝑦

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 ≝ lim

𝑛→∞

𝑃 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

∆𝑥

𝑖

+ 𝑄 𝑥

𝑖

, 𝑦

𝑖

∆𝑦

𝑖

𝑛

𝑖=1

.

Całka krzywoliniowa skierowana

UWAGA

𝑃 𝑥, 𝑦

−𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = − 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐾

Całka krzywoliniowa skierowana

TWIERDZENIE

Jeżeli krzywą skierowaną kawałkami gładką 𝐾 można podzielid na 𝑛 łuków gładkich
𝐾

1

, … , 𝐾

𝑛

, to

𝑃 𝑥, 𝑦

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐾

𝑖

𝑛

𝑖=1

Całka krzywoliniowa skierowana

UWAGA

Całkę krzywoliniową skierowaną funkcji 𝑃 i 𝑄 po krzywej zamkniętej oznaczamy

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦

𝐾

𝑑𝑦

Całka krzywoliniowa skierowana

TWIERDZENIE

Jeżeli funkcje 𝑃, 𝑄 są ciągłe na łuku gładkim skierowanym 𝐾, to są całkowalne na tym łuku.

Całka krzywoliniowa skierowana

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ KIEROWANEJ

Całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji 𝑃, 𝑄 ciągłych na gładkim łuku skierowanym 𝐾

jest równa pracy zmiennej siły 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 na łuku 𝐾 .

𝑊 = 𝑃 𝑥, 𝑦

𝐾

𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

Całka krzywoliniowa skierowana

ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ NA OZNACZONĄ

TWIERDZENIE

Jeżeli funkcje 𝑃, 𝑄 są ciągłe na łuku gładkim

𝐾: 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝛼, 𝛽

skierowanym zgodnie z jego parametryzacją, to

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑃 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑥

′

𝑡 + 𝑄 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑦′ 𝑡 𝑑𝑡

𝛽

𝛼

𝐾

.

Całka krzywoliniowa skierowana

UWAGA

Jeżeli łuk 𝐾 ma początek w punkcie 𝑥 𝛽 , 𝑦 𝛽 a koniec w punkcie 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛼 , to

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑃 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑥

′

𝑡 + 𝑄 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑦′ 𝑡 𝑑𝑡

𝛼

𝛽

𝐾

.

Całka krzywoliniowa skierowana

ZWIĄZEK CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ Z CAŁKĄ PODWÓJNĄ

TWIERDZENIE GREENA

Jeżeli funkcje 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 oraz ich pochodne 𝑃

𝑦

′

, 𝑄

𝑥

′

są ciągłe na obszarze 𝐷 normalnym

względem obu osi układu współrzędnych, a brzegiem obszaru 𝐷 jest skierowana dodatnio
krzywa kawałkami gładka 𝐾, to

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑄

𝑥

′

𝑥, 𝑦 − 𝑃

𝑦

′

𝑥, 𝑦

𝐷

𝐾

𝑑𝑥𝑑𝑦.

Całka krzywoliniowa skierowana

NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ OD DROGI CAŁKOWANIA

DEFINICJA

Obszar 𝐷 nazywamy jednospójnym, gdy wnętrze każdej krzywej zamkniętej zawartej w
obszarze 𝐷 również zawiera się w tym obszarze.

Całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji 𝑷, 𝑸 nie zależy od wyboru drogi całkowania
w jednospójnym obszarze 𝐷, jeżeli dla każdych dwóch krzywych kawałkami gładkich 𝐾

1

, 𝐾

2

o

wspólnym początku i wspólnym koocu, zawartych w obszarze 𝐷 zachodzi równośd:

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 =

𝐾

1

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐾

2

.

Całka krzywoliniowa skierowana

UWAGA

Jeżeli całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji 𝑃, 𝑄 nie zależy od wyboru drogi
całkowania, to

𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝐵

𝐴

oznacza całkę krzywoliniową skierowaną funkcji 𝑃, 𝑄 po dowolnej krzywej kawałkami
gładkiej zawartej w obszarze 𝐷, o początku w punkcie 𝐴 i koocu w punkcie 𝐵.

Całka krzywoliniowa skierowana

TWIERDZENIE

Jeżeli funkcje 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 oraz ich pochodne 𝑃

𝑦

′

i 𝑄

𝑥

′

są ciągłe na jednospójnym obszarze

𝐷, to równoważne są następujące warunki:

1) 𝑄

𝑥

′

𝑥, 𝑦 = 𝑃

𝑦

′

𝑥, 𝑦 dla 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷,

2) wyrażenie 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 jest różniczką zupełną pewnej funkcji na

obszarze 𝐷,

3) całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji 𝑃, 𝑄 nie zależy od drogi całkowania w

obszarze 𝐷.

Całka krzywoliniowa skierowana

Całka krzywoliniowa skierowana