Całka krzywoliniowa

DEFINICJA

KRZYW K W PRZESTRZENI

m

nazywa si wykres ci głej funkcji wektorowej

[[[[ ]]]]

(((( ))))

m

r : ,

t

r t

α β ∋ →

∈

∋ →

∈

∋ →

∈

∋ →

∈

Warto ci funkcji

r traktuje si jak wektory wodz ce punktów krzywej wzgl dem pocz tku

układu współrz dnych.
Równanie

(((( ))))

r r t

====

nazywa si

RÓWNANIEM PARAMETRYCZNYM KRZYWEJ K

W POSTACI WEKTOROWEJ.

Funkcj

r nazywa si

PARAMETRYZACJ KRZYWEJ K.

DEFINICJA

Krzyw

K nazywa si

ŁUKIEM REGULARNYM, gdy

(i) nie ma punktów wielokrotnych, tzn.

[ ]

( ) ( )

1

2

1

2

1

2

t ,t

,

t

t

r t

r t

∀

∈ α β

≠

≠

(ii) funkcja

r jest kl.

1

C w przedziale

[[[[ ]]]]

,

α β

(iii)

[[[[ ]]]]

(((( ))))

0

dr

t

,

t

dt

α β

∀ ∈

≠

∀ ∈

≠

∀ ∈

≠

∀ ∈

≠

UWAGA

Je eli krzywa

K jest łukiem regularnym, to jej długo

(((( ))))

dr

d

t dt

dt

β

α

====

DEFINICJA
Niech

K b dzie łukiem regularnym w

((((

))))

2 3

m

m

,

====

o równaniu

(((( ))))

[[[[ ]]]]

r r t , t

,

α β

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

.

Niech

P b dzie podziałem przedziału

[[[[ ]]]]

,

α β na n cz ci

((((

))))

n ∈

∈

∈

∈

0

1

n

P :

t

t

... t

α

β

= < < < =

= < < < =

= < < < =

= < < < =

Niech

(((( ))))

{{{{

}}}}

1

1

k

k

k

k

P : max t : t

t

t , k

,..,n

δ

∆

∆

−−−−

=

= −

=

=

= −

=

=

= −

=

=

= −

=

b dzie rednic podziału

P oraz

(((( ))))

0

n

lim P

δ

→∞

→∞

→∞

→∞

====

Niech

1

1

k

k

k

t ,t , k

,...,n

ξ

−−−−

∈

=

∈

=

∈

=

∈

=

b dzie punktem po rednim.

Punktom podziału

0 1

k

t , k

, ,...,n

====

odpowiadaj na krzywej

K punkty

0 1

k

A , k

, ,...,n

====

o wektorach wodz cych

(((( ))))

0 1

k

k

r t

OA , k

, ,...,n

=

=

=

=

=

=

=

=

.

Niech

(((( ))))

1

k

k

t

k

t

dr

l

t dt

dt

∆

−−−−

====

oznacza długo łuku

1

1

k

k

A A , k

,...,n

−−−−

====

Niech

(((( ))))

1

k

k

k

B , OB

r

, k

,...,n

ξ

=

=

=

=

=

=

=

=

oznacza punkt po redni łuku

1

k

k

A A

−−−−

CAŁK KRZYWOLINIOW NIEZORIENTOWAN (NIESKIEROWAN ) z funkcji

((((

))))

2 3

m

f :

K

m

,

⊃

→

=

⊃

→

=

⊃

→

=

⊃

→

=

po krzywej

K definiuje si wzorem

(((( ))))

(((( ))))

1

n

k

k

n

k

K

f M dl : lim

f B

l

∆

→∞

→∞

→∞

→∞ ====

====

o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału

P i punktów po rednich

1

k

B , k

,...,n

====

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ

NIEZORIENTOWANEJ

(((( ))))

K

m

M dl

ρ

====

Całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji g sto ci

ρ

po krzywej

K jest liczbowo

równa masie

m krzywej K o g sto ci

ρ

TWIERDZENIE
Je eli funkcja

((((

))))

2 3

m

f :

K

m

,

⊃ →

=

⊃ →

=

⊃ →

=

⊃ →

=

jest ci gła na łuku regularnym

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

x x t

K : r r t : y y t , t

,

z z t

α β

====

=

=

∈

=

=

∈

=

=

∈

=

=

∈

====

to całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji

f po krzywej K istnieje i zachodzi wzór

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

2

2

2

K

dr

f M dl

f r t

t dt

f x t , y t ,z t

x t

y t

z t

dt

dt

β

β

α

α

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=

+

+

TWIERDZENIE

(i) Je eli

f i g s funkcjami całkowalnymi na krzywej K, to dla dowolnych

,

α β ∈

∈

∈

∈

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

K

K

K

f M

g M dl

f M dl

g M dl

α

β

α

β

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

(ii) Je eli

f jest całkowalna na krzywej

K AB

====

i

C jest dowolnym punktem krzywej K, to

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

AB

AC

CB

f M dl

f M dl

f M dl

=

+

=

+

=

+

=

+

UWAGA
(i) Niech krzywa

2

K ⊂

⊂

⊂

⊂

b dzie wykresem funkcji

y = y(x),

[[[[ ]]]]

x

a,b .

∈

∈

∈

∈

Krzywa K

po parametryzacji ma posta :

(((( ))))

[[[[ ]]]]

x x

K :

, x

a,b .

y y x

====

∈

∈

∈

∈

====

Wtedy

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

2

1

b

K

a

f x, y dl

f x, y x

y x

dx

′′′′

=

+

=

+

=

+

=

+

(ii) Długo krzywej

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

x x t

K : y y t , t

,

z z t

α β

====
=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

====

wyra a si wzorem

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

2

2

2

d

x t

y t

z t

dt

β

α

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

DEFINICJA

Punkt

A krzywej K, któremu odpowiada warto t

,

α

==== nazywa si POCZ TKIEM

KRZYWEJ K, natomiast punkt B, któremu odpowiada t

,

β

==== warto parametru

nazywa si

KO CEM KRZYWEJ K. Krzyw K nazywa si wtedy KRZYW

ZORIENTOWAN OD PUNKTU A DO PUNKTU B.

DEFINICJA

Niech

1

2

r ,r b d dwiema ró nymi parametryzacjami krzywej K

(((( ))))

[[[[ ]]]]

(((( ))))

[[[[ ]]]]

1

1

2

2

K : r r t , t

,

K : r

r u , u

a,b

α β

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

Mówimy, e

PARAMETRYZACJE

1

2

r ,r

WYZNACZAJ T SAM ORIENTACJ

KRZYWEJ K, gdy

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1

2

1

2

r

r a

r

r b

α

β

====

====

Gdy

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1

2

1

2

r

r b

r

r a

α

β

====

====

to

PARAMETRYZACJE

1

2

r ,r

WYZNACZAJ PRZECIWNE ORIENTACJE

KRZYWEJ K

DEFINICJA
Niech

m

U ⊂

⊂

⊂

⊂

b dzie zbiorem otwartym. Funkcj wektorow

m

F : U

,

→

→

→

→

która ka demu punktowi

x U

∈

∈

∈

∈ przyporz dkowuje wektor

(((( ))))

F x

o pocz tku w punkcie

x

nazywa si

POLEM WEKTOROWYM.

Niech

K b dzie

KRZYW REGULARN , tzn. jest sum sko czonej ilo ci łuków

regularnych. Niech

K b dzie krzyw zawart w zbiorze

3

U ⊂

⊂

⊂

⊂

w postaci:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

x x t

K : y y t , t

,

z z t

α β

====
=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

====

Niech

3

F : U

K

⊃ →

⊃ →

⊃ →

⊃ →

b dzie polem wektorowym

[[[[

]]]]

F

P ,Q,R

====

Niech

P b dzie podziałem przedziału

[[[[ ]]]]

,

α β

na

n cz ci

((((

))))

n ∈

∈

∈

∈

.

0

1

n

P :

t

t

... t

α

β

= < < < =

= < < < =

= < < < =

= < < < =

Niech

(((( ))))

{{{{

}}}}

1

1

k

k

k

k

P : max t : t

t

t , k

,..,n

δ

∆

∆

−−−−

=

= −

=

=

= −

=

=

= −

=

=

= −

=

b dzie rednic podziału

P oraz

(((( ))))

0

n

lim P

δ

→∞

→∞

→∞

→∞

====

Niech

1

1

k

k

k

t ,t , k

,...,n

ξ

−−−−

∈

=

∈

=

∈

=

∈

=

b dzie punktem po rednim

Punktom podziału

0 1

k

t , k

, ,...,n

====

odpowiadaj na krzywej

K punkty

0 1

k

A , k

, ,...,n

====

o wektorach wodz cych

(((( ))))

0 1

k

k

r t

OA , k

, ,...,n

=

=

=

=

=

=

=

=

Niech

(((( ))))

1

k

k

k

B , OB

r

, k

,...,n

ξ

=

=

=

=

=

=

=

=

oznacza punkt po redni łuku

1

k

k

A A

−−−−

CAŁK KRZYWOLINIOW ZORIENTOWAN (SKIEROWAN ) Z POLA
WEKTOROWEGO

[[[[

]]]]

F

P ,Q,R

====

PO KRZYWEJ K definiuje si wzorem:

((((

))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

1

1

n

k

k

k

n

k

K

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz : lim

F B

A A

−−−−

→∞

→∞

→∞

→∞ ====

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału

P i punktów po rednich

1

k

B , k

,...,n

====

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI

KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ

Całka krzywoliniowa zorientowana wyra a liczbowo prac jak wykonuje siła

[[[[

]]]]

F

P ,Q,R

====

wzdłu krzywej

K zgodnie z jej orientacj .

TWIERDZENIE

Je eli krzywa

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

x x t

K : y y t , t

,

z z t

α β

====
=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

====

jest łukiem regularnym oraz funkcja wektorowa

[[[[

]]]]

F

P ,Q,R

====

jest ci gła na krzywej

K, tzn. funkcje

P ,Q,R

s ci głe na krzywej

K,

to całka krzywoliniowa zorientowana z funkcji

F

po krzywej

K istnieje i zachodzi wzór

((((

))))

((((

))))

((((

))))

K

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

((((

))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

((((

))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

((((

))))

(((( ))))

P x t , y t ,z t x t

Q x t , y t ,z t y t dt

R x t , y t ,z t z t dt

β

β

α

α

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

UWAGA

(i) Niech

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

x x t

K :

, t

,

y y t

α β

====

∈

∈

∈

∈

====

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

x x t

K :

, t

,

y y t

β α

====

−

∈

−

∈

−

∈

−

∈

====

Wtedy

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

K

K

P x, y dx Q x, y dy

P x, y dx Q x, y dy

−−−−

+

= −

+

+

= −

+

+

= −

+

+

= −

+

(ii)

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

1

2

1

2

K

K

K

K

P x, y dx Q x, y dy

P x, y dx Q x, y dy

P x, y dx Q x, y dy

∪

∪

∪

∪

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

TWIERDZENIE (WZÓR GREENA)
Niech

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

b dzie obszarem domkni tym daj cym si podzieli krzywymi kl.

1

C

na sko czon liczb obszarów normalnych wzgl dem obu osi układu.

Niech

K krzywa regularna b dzie brzegiem obszaru D zorientowanym dodatnio, tzn. przy

poruszaniu si po krzywej

K obszar D jest po lewej stronie. Je eli funkcje P i Q s kl.

1

C

w pewnym obszarze zawieraj cym obszar

D, to zachodzi wzór

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

K

D

Q

P

P x, y dx Q x, y dy

x, y

x, y dxdy

x

y

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

−

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

DEFINICJA
Niech

3

D ⊂

⊂

⊂

⊂

i

[[[[

]]]]

F

P ,Q,R

====

b dzie polem wektorowym okre lonym na

D.

Mówimy, e

CAŁKA Z

F

NIE ZALE Y OD DROGI CAŁKOWANIA W OBSZARZE

D, gdy dla dowolnych dwóch punktów A i B oraz dowolnych krzywych regularnych

1

2

K , K

,

których pocz tkiem jest punkt A i ko cem punkt B

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

1

2

K

K

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

Pole

F

o takiej własno ci nazywa si

POLEM POTENCJALNYM

Wtedy zapisujemy

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

1

K

AB

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

((((

))))

((((

))))

((((

))))

B

A

P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

TWIERDZENIE (WKW potencjalno ci pola)
Niech

2

D ⊂

⊂

⊂

⊂

b dzie obszarem jednospójnym i funkcje

P, Q niech b d kl.

1

C

w obszarze

D. Równo

((((

))))

((((

))))

Q

P

x, y

x, y

x

y

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

====

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

jest WKW na to, aby całka krzywoliniowa

((((

))))

((((

))))

AB

P x, y dx Q x, y dy

++++

wzdłu łuku

AB

zawartego w obszarze

D nie zale ała od drogi całkowania, a jedynie

od poło enia punktów A i B.

UWAGA
W przypadku obszaru w

3

i

[[[[

]]]]

F

P ,Q,R

====

WKW istnienia pola potencjalnego

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

Q

P

x, y,z

x, y,z

x

y

Q

R

x, y,z

x, y,z

z

y

R

P

x, y,z

x, y,z

x

z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

====

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

====

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

====

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

DEFINICJA (potencjału pola)
Niech

((((

))))

A

A

A

x , y

D.

=

∈

=

∈

=

∈

=

∈

Funkcj

((((

))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

((((

))))

A

A

x ,y

x , y

U x, y :

P x, y dx Q x, y dy,

x, y

D

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

=

+

∈

nazywa si

POTENCJAŁEM POLA

[[[[

]]]]

F

P ,Q

====

. Wtedy

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

)))) ((((

))))

B

B

A

A

x ,y

B

B

A

A

x ,y

P x, y dx Q x, y dy U x , y

U x , y

U( B ) U( A )

+

=

−

=

−

+

=

−

=

−

+

=

−

=

−

+

=

−

=

−

UWAGA (o potencjale pola)

Potencjał spełnia nast puj ce warunki:

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

U

x, y

P x, y

x

U

x, y

Q x, y

y

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂