2. CA LKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA.
OPERATORY R Ó ŻNICZKOWE.
1. Obliczyć R (x2 − y)dx + (3x + y3)dy, gdzie L to luk paraboli y = x2 od punktu (0, 0) do punktu L
(1, 1).
→
2. Obliczyć prace pola si l eści krzywej
,
F = [x + 2y, x2, z + 4y] wzd luż cz ,
x2 + y2
=
1
K :
z
=
8
leżacej w pierwszym oktancie i skierowanej zgodnie z ruchem wskazówek zegara dla obserwatora
,
patrzacego od dodatniej strony osi OZ.
,
3. Czy ca lka krzywoliniowa I
xy
x2
arctg(xy) +
dx +
dy
L
1 + x2y2
1 + x2y2
po dowolnym konturze zamknietym L równa sie zeru?
,
,
→
4. Obliczyć potencja l pola F = [2x cos y + 3y2, 6xy − 1 − x2 sin y].
→
Nastepnie obliczyć prace pola si l
+ y2 = 1, x ≥ 0,
,
,
F po skierowanym luku pó lelipsy x2
25
4
od punktu (0, −2) do punktu (0, 2).
5. Wykazać, że ca lka
Z
z
z
z
x
1
−
dx +
dy +
−
dz,
K
x2y
x2 + z2
xy2
x2 + z2
xy
gdzie K jest lukiem zawartym w {(x, y, z) ∈
3
R : x > 0 i y > 0},
nie zależy od drogi ca lkowania. Wyznaczyć potencja l pola.
6. Stosujac twierdzenie Greena obliczyć ca lke H ex(1−cos y)dx−ex(y−sin y)dy, gdzie L jest dodatnio
,
,
L
zorientowanym brzegiem obszaru ograniczonego krzywa y = sin x, x ∈ [0, π] i osia OX.
,
,
7. Korzystajac z twierdzenia Greena wyprowadzić wzór na pole powierzchni elipsy.
,
8. Stosujac ca lke krzywoliniowa skierowana obliczyć pole obszaru ograniczonego asteroida:
,
,
,
,
,
x(t)
=
a cos3 t
t ∈ [0, 2π).
y(t)
=
a sin3 t
→
9. Udowodnić, że jeśli f ∈ C2(V ), gdzie V ⊂
3
R jest otwarty, to rot(gradf ) = 0 .
→
10. Udowodnić, że jeśli w jest polem wektorowym klasy C2 na zbiorze otwartym V ⊂
3
R to
→
div(rot w) = 0.
11. Udowodnić, że równanie Laplace’a w 2
R :
∂2u
∂2u
+
= 0
∂x2
∂y2
we wspó lrzednych biegunowych ma postać:
,
∂2u
1 ∂2u
1 ∂u
+
+
= 0.
∂r2
r2 ∂ϕ2
r ∂r
12. Niech D bedzie obszarem w 2 ograniczonym regularna krzywa zamknieta Jordana o parame-
,
R
,
,
,
,
tryzacji r : [α, β] →
2
R , r(t) = (x(t), y(t)). Niech 1
N =
(y0(t), −x0(t)).
|r0(t)|
Wykazać, że jeśli F jest polem wektorowym klasy C2 w obszarze zawierajacym D to
,
Z
Z Z
F · N dl =
divF dxdy.
∂D
D
13. * Niech D i N beda jak w zadaniu 12. Niech f, g beda funkcjami klasy C2 w obszarze zawie-
,
,
,
,
rajacym D. Wykazać, że
,
Z Z
Z
∂g
a)
(f ∆g + ∇f · ∇g)dxdy =
f
dl
D
∂D
∂n
Z Z
Z
∂g
∂f
b)
(f ∆g − g∆f )dxdy =
f
− g
dl,
D
∂D
∂n
∂n
gdzie ∂f = ∇f · N
(tj. pochodna normalna).
∂n