Dodatek matematyczny.
Operatory różniczkowe.

Polem pewnej wielkości fizycznej nazywamy przestrzeń, lub część przestrzeni,
w której każdemu punktowi przyporządkowujemy określoną wartość. Jeżeli jest
to wielkość skalarna

)

(

)

(

r

V

r

V

=

r

pole takie nazywamy polem skalarnym; jeżeli

jest to wektor

)

(r

A

r

r

, pole takie nazywamy polem wektorowym.

Powierzchnie pola skalarnego spełniającą równanie

const

r

V

=

)

(

nazywamy

powierzchnią ekwipotencjalną.
Pole wektorowe, które można przedstawić w postaci:

r

r

r

a

r

A

r

r

r

r

)

(

)

(

=

,

nazywamy polem centralnym, np. pole grawitacyjne, pole ładunku punktowego.
Przykłady pola wektorowego:

x

x

2



y

2

3

2

,

y

x

2



y

2

3

2



x

x

2



y

2

3

2

,



y

x

2



y

2

3

2

x, y

 y, x

Rys. Przykłady pól dwuwymiarowych wektorowych.

Pole układu dwóch ładunków dodatniego i ujemnego, równych co do modułu,
ten układ dwóch ładunków nazywamy dipolem elektrycznym.

Rys. Przykład pola

1.

Operator Hamiltona (nabla)

Operator różniczkowy, który formalnie można traktować jako wektor.
W układzie kartezjańskim P(x, y, z) ma postać:













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∇

z

y

x

,

,

(1.1).

W układzie cylindrycznym

)

,

,

(

z

r

P

ϕ

:













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∇

z

r

r

,

1

,

ϕ

(1.2).

Rys. 1. Współrzędne cylindryczne

Zaś w układzie sferycznym

)

,

,

(

θ

ϕ

r

P

:













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∇

ϕ

θ

θ

sin

1

,

1

,

r

r

r

(1.3).

Rys. 2 Współrzędne sferyczne

2.

Gradient

Gradientem pola skalarnego V(r), w układzie współrzędnych kartezjańskich,
nazywamy pole wektorowe:













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∇

=

z

V

y

V

x

V

r

V

r

gradV

,

,

)

(

)

(

(2.1).

Gradient jest wektorem. Iloczyn operatora nabla (wektor) ze skalarem V(r).

Rys. Pole skalarne i gradient.

Na rysunku pole skalarne zaznaczono przez skalę szarości: czerń – wysoka
wartość, biel – oznacza niską wartość pola. Gradient oznaczają niebieskie
strzałki, wskazują one wysokie wartości pola skalarnego.
Gradient tworzy pole wektorowe wskazujące kierunek centrum pola.

3.

Dywergencja

Przykład pola wektorowego:

Rys. Pole wektorowe wypływające.

Pole jakby eksplodowało z punktu położonego w początku układu odniesienia.
Pole wypływa. Ten wypływ pola matematycznie opisuje operator dywergencji
div F. Ponieważ tutaj pole wypływa, więc dywergencja tego pola będzie
dodatnia, div F > 0.
Inny przykład, dla pola wpływającego:

Rys. Pole wektorowe wpływające.

Tutaj pole wpływa, zbiegając się w centrum. Takie zbieganie się pola w centrum
jest zjawiskiem przeciwnym do ekspansji (patrz przykład powyżej), zatem w
tym przypadku div F < 0.
W obu przypadkach mamy pole źródłowe, pole albo wypływa albo wpływa do
ź

ródła, co oznacza, że div F ≠ 0.

Definicja matematyczna: dywergencją pola wektorowego A(r) nazywamy pole
skalarne:

z

A

y

A

x

A

r

A

r

A

div

z

y

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

⋅

∇

=

)

(

)

(

r

r

r

r

(3.1).

Dywergencja to inaczej zbieżność, źródłowość pola wektorowego. Dywergencja
jest skalarem. Jest to iloczyn skalarny dwóch wektorów: operatora nabla i pola
wektorowego A(r).
Oto przykład pola trójwymiarowego, dla którego div F ≠ 0.

Rys. Pole trójwymiarowe.

4.

Rotacja

Rotacja związana z własnością pola wektorowego, które może wirować.
Przykład takiego pola pokazuje rysunek.

Rys. Dwuwymiarowe pole wektorowe, wirujące przeciwnie do ruchu

wskazówek zegara.

Na następnym rysunku pokazano przykład trójwymiarowego, wirującego pola
wektorowego.

pole wektorowe , wirowe

-1

0

1

x

-1

0

1

y

1

1.5

2

2.5

3

z

-1

0

1

x

-1

0

1

y

Rys. Trójwymiarowe wirujące pole wektorowe.

Miarą wirowości, rotacji pola wektorowego jest operator rot F.
Matematyczne, rotację pola wektorowego definiujemy następująco:

z

y

x

z

y

x

A

A

A

z

y

x

e

e

e

r

A

r

A

rot

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

×

∇

=

ˆ

ˆ

ˆ

)

(

)

(

r

r

r

r

(4.1).

Rotacja jest niezerowa (rot F ≠ 0), jeżeli pole wektorowe rotuje, a takie pole
nazywamy polem wirowym. Jeżeli pole wektorowe nie wiruje, to rotacja tego
pola jest równa zero (rot F = 0), a takie pole wektorowe nazywamy polem
bezwirowym.

Przykład:
Obliczyć dywergencję i rotację pola wektorowego: F = [-y, xy, z].

5.

Użyteczne tożsamości

1. Jeżeli dla danego pola wektorowego A istnieje pole skalarne V(r) takie, że

)

(

)

(

r

gradV

r

A

−

=

r

r

, to

0

)

(

=

r

A

rot

r

r

. Takie pole wektorowe nazywamy polem

potencjalnym albo polem bezwirowym, a V(r) – potencjałem skalarnym.

0

))

(

(

)

(

=

∇

×

∇

=

r

V

r

V

grad

rot

r

(5.1).

2. Jeżeli dla danego pola wektorowego A istnieje pole wektorowe B takie, że

)

(

)

(

r

B

rot

r

A

r

r

r

r

=

, to

0

)

(

=

r

A

div

r

r

, i vice versa. Takie pole wektorowe nazywamy

polem wirowym albo polem bezźródłowym, a B – potencjałem wektorowym.

0

))

(

(

)

(

=

×

∇

⋅

∇

=

r

B

r

B

rot

div

r

r

r

(5.2).