2. CA LKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA.

OPERATORY R ´

O ˙

ZNICZKOWE.

1. Obliczy´

c

R

L

(x

2

− y)dx + (3x + y

3

)dy, gdzie L to luk paraboli y = x

2

od punktu (0, 0) do punktu

(1, 1).

2. Obliczy´

c prac

,

e pola si l

→

F = [x + 2y, x

2

, z + 4y] wzd lu˙z cz

,

e´

sci krzywej

K :



x

2

+ y

2

=

1

z

=

8

le˙z

,

acej w pierwszym oktancie i skierowanej zgodnie z ruchem wskaz´

owek zegara dla obserwatora

patrz

,

acego od dodatniej strony osi OZ.

3. Czy ca lka krzywoliniowa

I

L



arctg(xy) +

xy

1 + x

2

y

2



dx +

x

2

1 + x

2

y

2

dy

po dowolnym konturze zamkni

,

etym L r´

owna si

,

e zeru?

4. Obliczy´

c potencja l pola

→

F = [2x cos y + 3y

2

, 6xy − 1 − x

2

sin y].

Nast

,

epnie obliczy´

c prac

,

e pola si l

→

F po skierowanym luku p´

o lelipsy

x

2

25

+

y

2

4

= 1, x ≥ 0,

od punktu (0, −2) do punktu (0, 2).

5. Wykaza´

c, ˙ze ca lka

Z

K



z

x

2

y

−

z

x

2

+ z

2



dx +

z

xy

2

dy +



x

x

2

+ z

2

−

1

xy



dz,

gdzie K jest lukiem zawartym w {(x, y, z) ∈ R

3

: x > 0 i y > 0},

nie zale˙zy od drogi ca lkowania. Wyznaczy´

c potencja l pola.

6. Stosuj

,

ac twierdzenie Greena obliczy´

c ca lk

,

e

H

L

e

x

(1−cos y)dx−e

x

(y−sin y)dy, gdzie L jest dodatnio

zorientowanym brzegiem obszaru ograniczonego krzyw

,

a y = sin x, x ∈ [0, π] i osi

,

a OX.

7. Korzystaj

,

ac z twierdzenia Greena wyprowadzi´

c wz´

or na pole powierzchni elipsy.

8. Stosuj

,

ac ca lk

,

e krzywoliniow

,

a skierowan

,

a obliczy´

c pole obszaru ograniczonego asteroid

,

a:



x(t)

=

a cos

3

t

y(t)

=

a sin

3

t

t ∈ [0, 2π).

9. Udowodni´

c, ˙ze je´

sli f ∈ C

2

(V ), gdzie V ⊂ R

3

jest otwarty, to rot(gradf ) =

→

0 .

10. Udowodni´

c, ˙ze je´

sli

→

w jest polem wektorowym klasy C

2

na zbiorze otwartym V ⊂ R

3

to

div(rot

→

w) = 0.

11. Udowodni´

c, ˙ze r´

ownanie Laplace’a w R

2

:

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

= 0

we wsp´

o lrz

,

ednych biegunowych ma posta´

c:

∂

2

u

∂r

2

+

1

r

2

∂

2

u

∂ϕ

2

+

1

r

∂u

∂r

= 0.

12. Niech D b

,

edzie obszarem w R

2

ograniczonym regularn

,

a krzyw

,

a zamkni

,

et

,

a Jordana o parame-

tryzacji r : [α, β] → R

2

, r(t) = (x(t), y(t)). Niech

N =

1

|r

0

(t)|

(y

0

(t), −x

0

(t)).

Wykaza´

c, ˙ze je´

sli F jest polem wektorowym klasy C

2

w obszarze zawieraj

,

acym D to

Z

∂D

F · N dl =

Z Z

D

divF dxdy.

13. * Niech D i N b

,

ed

,

a jak w zadaniu 12. Niech f, g b

,

ed

,

a funkcjami klasy C

2

w obszarze zawie-

raj

,

acym D. Wykaza´

c, ˙ze

a)

Z Z

D

(f ∆g + ∇f · ∇g)dxdy =

Z

∂D

f

∂g

∂n

dl

b)

Z Z

D

(f ∆g − g∆f )dxdy =

Z

∂D



f

∂g

∂n

− g

∂f

∂n



dl,

gdzie

∂f
∂n

= ∇f · N

(tj. pochodna normalna).