Całka krzywoliniowa nieskierowana

(całka krzywoliniowa funkcji skalarnej)

Niech

K - krzywa regularna w R³

f - pole skalarne, tzn

Wtedy

• krzywą K dzielimy na n części o długościach
  

• w każdej z krzywych cząstkowych wybieramy po jednym punkcie
  

• tworzymy sumę
  

Definicja

Jeśli przy
i
istnieje granica
niezależna od sposobu podziału krzywej i od wyboru punktu M_i, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną i oznaczamy
.

Uwaga

Gdy zmienimy zwrot krzywej na przeciwny przy tym samym podziale krzywej i tych samych wybranych punktach, to nie zmienią się sumy
, a zatem nie zmieni się całka krzywoliniowa nieskierowana

.

Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną)

Jeżeli K - krzywa regularna,

to

.

Przykład

Obliczyć całkę
, gdzie K:
dla
.

Oczywiście krzywa K jest regularna oraz
. Zatem można zastosować twierdzenie o

zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną.

Stąd

Uwaga

1. Jeśli krzywa K leży w płaszczyźnie OXY,
,

, gdzie

oraz

,

to

.

2. Jeśli krzywa K leż w płaszczyźnie OXY i zadana jest w sposób jawny, tzn.

to K możemy sparametryzować:

K:

i wtedy

Przykład

Obliczyć
, gdzie
,
.

Funkcja
dla
określa krzywą K.

Obliczamy
i korzystamy z uwagi 2.

Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej niekierowanej

1. Niech
   na K.

Wtedy

- długość krzywej K.

2. Niech K - krzywa płaska,
   

Wtedy

- pole części powierzchni walcowej znajdujące się pod wykresem funkcji f.

Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej nieskierowanej

1. Jeśli ρ - gęstość liniowa masy rozmieszczonej wzdłuż krzywej K, to

- masa krzywej K

2. Jeśli d - funkcja określającą odległość punktu krzywej K od pewnej prostej, to

- moment bezwładności krzywej K względem tej prostej.

Uwaga

Niech
, gdzie
krzywa regularna dla i=1,…,n.

Wtedy definiujemy

.

4