CAŁKA KRZYWOLINIOWA
CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA W R
2
.
Def.
Zbiór
(1)
K
= (x, y) ∈ R2 : x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β] , x, y ∈ C0([α, β]; R)
nazywamy krzywą w przestrzeni R
2
.
................................................................................................................................
Jeżeli krzywa K nie ma punktów wielokrotnych, tzn. punktów odpowiadających
dwom lub więcej różnym wartościom parametru t, to nazywamy ją łukiem zwykłym.
...........................................................................................................................
Jeżeli ponadto x, y
∈ C1([α, β; R]) i x (t)
2 + y (t)2 > 0na przedziale[α,β]
to łuk K nazywamy łukiem regularnym (gładkim).
............................................................................................................................
Jeżeli krzywa K daje się "podzielić" na skończoną liczbę łuków regularnych,
to nazywamy ją krzywą regularną.
........................................................................................................................
Krzywą regularną spełniającą warunki :
x
(α) = x(β),
y
(α) = y(β)
nazywamy krzywą regularną zamkniętą.
.........................................................................................................................
Obszar D ograniczony krzywą regularną nazywamy obszarem regularnym.
..........................................................................................................................
Def.
Niech F
będzie funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych określoną
∈ C0(K, R)
na łuku gładkim K.
Całkę krzywoliniową nieskierowaną funkcji F, ciągłej na łuku regularnym K,
zdefiniujmy następująco:
.
(2)
K
∫
F
(x, y) dK
df
=
β
α
∫
F
(x(t), y(t)) • x (t)
2 + y (t)2 dt
.............................................................................................................................
Tw.
Całka krzywoliniowa funkcji F(x,y), po krzywej regularnej
K
⊂ R2
będącą sumą skończonej liczby łuków regularnych, które nie mają wspólnych punktów we-
wnętrznych, jest sumą całek krzywoliniowych tej funkcji
po poszczególnych łukach regularnych.
Wybrane własności całki krzywoliniowej nieskierowanej.
Niech
F, G
∈ C0(K, R),
α, β ∈ R,
K
= K1 ∪ K2, intK1 ∩ intK2 = ∅
(iloczyn wnętrz), to
(3)
K
∫
[α F(x, y) + β G(x, y)] dK = α
K
∫
F
(x, y) dK + β
K
∫
G
(x, y) dK
(4)
K
∫
F
(x, y) dK =
K
1
∫
F
(x, y) dK1 +
K
2
∫
F
(x, y) dK2
(5)
K
∫
F
(x, y) dK ≥ 0
dla
F
(x, y) ≥ 0 na K
.................................................................................................................................
Tw.
Niech
,
K
= (x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b],
y
=
f
(x), f ∈ C1([a, b]; R)
F
∈ C0([a, b]; R)
Wówczas całkę funkcji F dwóch zmiennych, ciągłej na łuku regularnym K
wyraża wzór:
(6)
K
∫
F
(x, y) dK =
b
a
∫
F
(x, f(x)) 1 + f (x)
2
dx
..............................................................................................
W przypadku, gdy obszar K jest okręgiem o promieniu R (lub jego częścią),
a także w niektórych innych przypadkach, wygodnie jest
przy obliczaniu całki krzywoliniowej wprowadzić współrzędne biegunowe:
.
x
= R cos ϕ,
y
= R sin ϕ,
ϕ ∈ [α, β],
R
> 0
W tym przypadku wzór (2) ma postać
.
K
∫
F
(x, y)dK
df
=
β
α
∫
F
(R cos ϕ, R sin ϕ ) R dϕ
Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej.
1.
Obliczanie masy krzywej.
Jeżeli F(x,y) jest gęstością liniową masy krzywej regularnej K i
,
F
∈ C0(K; R)
to masę tej krzywej wyraża wzór:
m
=
K
∫
F
(x, y) dK
2.
Obliczanie momentów statycznych.
Jeżeli F(x,y) jest gęstością liniową masy krzywej regularnej
i
,
K
⊂ R2
F
∈ C0(K; R)
to momenty statyczne
(względem osi OX) i
(względem osi Oy)
Mx
My
wyrażają wzory:
Mx =
K
∫
y F
(x, y) dK
oraz
My
=
K
∫
x F
(x, y) dK
3.
Obliczanie momentów bezwładności.
Momenty bezwładności
(względem osi OX) ,
(względem osi OY)
Bx
By
oraz
(względem osi OZ) krzywej K, wyrażają wzory:
Bz
,
Bx =
K
∫ ∫
y2 F
(x, y) dK
,
By =
K
∫ ∫
x2 F
(x, y) dK
.
Bz
=
K
∫ ∫
(x2 + y2) F(x, y) dK
4.
Obliczanie środka ciężkości.
Współrzędne
środka ciężkości
masy krzywej K wyrażają wzory:
ξ, η
S
(ξ, η)
.
ξ =
My
m ,
η =
Mx
m
Przykład.
Oblicz całę:
K
∫
[x − y] dK ,
gdzie K
=
K jest brzegiem
obszaru ograniczonego. linia
x2
+ y2 = 2x
K jest okręgiem o równaniu:
1
o
. kanonicznym (uwikłanym):
,
(x − 1)2 + y2 = 1
2
o
. w opisie jawnym :
K
= K1 ∪ K2
K1 : y1 = 2x − x
2
0
≤ x ≤ 2
,
K2 : y = − 2x − x
2
0
≤ x ≤ 2
y
1
=
2
− 2x
2 2x
− x2
=
1
− x
2x
− x2
3
o
.
w opisie biegunowym:
,
x
= r cos ϕ
y
= r sin ϕ
r
= 2 cos ϕ
−π
2
≤ ϕ ≤ π
2
x = 2 cos
2ϕ
y
= sin 2ϕ
−
π
2
≤ ϕ ≤ π
2
lub
x
− 1 = r cos ϕ
y
= r sin ϕ
r
= 1
0
≤ ϕ ≤ 2π
x
= 1 + cos ϕ
y
= sin ϕ
0
≤ ϕ ≤ 2π
x
y
K1
K2
Metoda I.
=
K
∫
[x − y] dK =
K
1
∪K
2
∫
[x − y] dK =
K
1
∫
[x − y] dK1
K
2
+
∫
[x − y] dK2
=
+
=
2
0
∫
x − 2x − x2
1 +
1
−x
2x
−x
2
2
dx
2
0
∫
x + 2x − x2
1 +
−
1
−x
2x
−x
2
2
dx
=
=
=
=
2
0
∫
2x 1
+
1
−x
2x
−x
2
2
dx
2
0
∫
2x
2x
− x2
dx
1
0
∫
2x
2x
− x2
dx
+
2
1
∫
2x
2x
− x2
dx
=
=
ε
1
→0
lim
1
ε
1
∫
2x
2x
− x2
dx
+
ε
2
→0
lim
2
−ε
2
1
∫
2x
2x
− x2
dx
=
+
=
ε→0
lim
− 2x − x2 +
∫
2
2x
− x2
dx
ε
1
ε→0
lim
− 2x − x2 +
∫
2
2x
− x2
dx
1
2
−ε
=
+
=
ε→0
lim
− 2x − x2 + 2 arcsin (x − 1)
ε
1
ε→0
lim
− 2x − x2 + 2 arcsin (x − 1)
1
2
−ε
=
+
ε→0
lim
− 2 − 1 + 2 arcsin (1 − 1)
−
− 2ε − ε2 + 2 arcsin (ε − 1)
+
=
ε→0
lim
− 2(2 − ε) − (2 − ε)2 + 2 arcsin (2 − ε − 1)
− − 2 − 1 + 2 arcsin (1 − 1)
=
+
=
ε→0
lim {
−1 − [2 arcsin (ε − 1)]}
ε→0
lim
− (2 − ε) ⋅ ε + 2 arcsin (1 − ε)
+ 1
=
=
=
[−1 − 2 arcsin (−1)] + [2 arcsin 1 + 1]
−2 arcsin (−1) + 2 arcsin 1
=
.
2[arcsin 1
− arcsin (−1)] = 2
π
2
− −
π
2
= 2π
Metoda II.
x = 2 cos
2ϕ
y
= sin 2ϕ
−
π
2
≤ ϕ ≤ π
2
lub
x
= 1 + cos ϕ
y
= sin ϕ
0
≤ ϕ ≤ 2π
=
K
∫
[x − y] dK =
0
2
π
∫
[1 + cos ϕ − sin ϕ] (−sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 dϕ
=
=
=
0
2
π
∫
[1 + cos ϕ − sin ϕ]dϕ
[ϕ + sin ϕ + cos ϕ]
0
2
π
=
=
.
[2π + sin 2π + cos 2π] − [0 + sin 0 + cos 0]
2
π + 1 − 1 = 2π.
Przykład.
.
K
∫
[x ⋅ y] dK ,
gdzie K
=
K jest brzegiem
obszaru D ograniczonego liniami :
K1 :
K3 :
K2 :
y
= 0
x
= 0
x
+ y = 1
x
y
1
1
D
K
K
K
2
1
3
gdzie
K
= K1 ∪ K2 ∪ K3
K1: y = 0 dla 0 ≤ x ≤ 1
K2 : y = 1 − x dla 0 ≤ x ≤ 1
K3: x = 0 dla 0 ≤ y ≤ 1
=
K
∫
F
(x, y) dK =
K
1
∪
K
2
∪
K
3
∫
F
(x, y) dK1∪K2 ∪ K3
=
=
K
1
∫
F
(x, y) dK1 +
K
2
∫
F
(x, y) dK2 +
K
3
∫
F
(x, y) dK3
=
=
1
0
∫
x
⋅ 0 ⋅ 1 + 02 dx +
1
0
∫
x
⋅ (1 − x) 1 + [−1]2 dx +
1
0
∫
0
⋅ y ⋅ 1 + [0]2 dy
=
.
2
⋅
1
0
∫
x
⋅ (1 − x) dx
= 2⋅
x
2
2
− x
3
3
1
0
= 2 ⋅
1
2
− 1
3
=
2
6
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
1.
, gdzie
,
K
∫
ex dK
K
=
K jest linia
x
= ln y dla y ∈ [1, e]
2.
,
K
∫
2y dK ,
gdzie K
=
K jest brzegiem
obszaru ograniczonego liniami
y
= x ,
y
= 0,
x
+ y = 2
3.
,
K
∫
x
2 + y2 dK, gdzie K =
K jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x2
+ y2 = 4
4.
,
K
∫
2 dK ,
gdzie K
=
K jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x2
+ y2 = 2x
5.
K
∫
dK ,
gdzie K
=
K jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x2
+ y2 = −2y
6.
K
∫
dK ,
gdzie K
=
K jest brzegiem
obszaru ograniczonego linia
x2
+ y2 = −2x + 2y
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1 całka krzywoliniowa nieskierowanaid 8472
1. całka krzywoliniowa nieskierowana
Całka krzywoliniowa, skierowana w R2
2.Całka krzywoliniowa nieskierowana, MATEMATYKA, CAŁKI, CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE, 01Całk
Całka krzywoliniowa, nieskierowana R3
całka krzywoliniowa nieskierowana
2 Całka krzywoliniowa nieskierowana
Calka krzywoliniowa
01Całki krzywoliniowe, 3.Całka krzywoliniowa skierowana, Całka krzywoliniowa skierowana
3.Całka krzywoliniowa skierowana
Microsoft Word W21 Calka krzywoliniowa
C 10 Całka krzywoliniowa
02 Calka Krzywoliniowa N odpowiedzi
2 całka krzywoliniowa skierowana, operatory różniczkoweid 19468
calka krzywoliniowa skierowana Nieznany
3 Całka krzywoliniowa skierowana
2. całka krzywoliniowa skierowana, operatory różniczkowe
08 Rozdział 06 Całka krzywoliniowa na płaszczyźnie
więcej podobnych podstron