CAŁKA KRZYWOLINIOWA

CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA W R

3

.

Def.

Zbiór

K

= (x, y, z) ∈ R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β] , x, y, z ∈ C0([α, β]; R)

nazywamy krzywą w przestrzeni R

2

.

Jeżeli krzywa K nie ma punktów wielokrotnych, tzn. punktów odpowiadających
dwom lub więcej różnym wartościom parametru t, to nazywamy ją łukiem zwykłym.

Jeżeli ponadto

x, y , z

∈ C1([α, β; R]) i x (t)

2

+  y (t)

2

+  z (t)

2

> 0 na przedziale [α, β]

to łuk K nazywamy łukiem regularnym (gładkim).

Jeżeli krzywa K daje się "podzielić" na skończoną liczbę łuków regularnych,
to nazywamy ją krzywą regularną.

Krzywą regularną spełniającą warunki :

,

x

(α) = x(β),

y

(α) = y(β)

z

(α) = z(β)

nazywamy krzywą regularną zamkniętą.

Def.

Niech F

będzie funkcją rzeczywistą trzech zmiennych określoną

∈ C0(K, R)

na łuku gładkim K.

Całkę krzywoliniową nieskierowaną funkcji F,ciągłej na łuku regularnym K

,

⊂ R3

zdefiniujmy następująco:

.

K

∫

F

(x, y, z) dK

df

=

β

α

∫

F

(x(t), y(t), z(t)) x (t)

2

+  y (t)

2

+ z (t)

2

dt

Tw.

Całka krzywoliniowa funkcji F(x,y), po krzywej regularnej

K

⊂ R3

będącą sumą skończonej liczby łuków regularnych, które nie mają wspólnych punktów we-
wnętrznych, jest sumą całek krzywoliniowych tej funkcji
po poszczególnych łukach regularnych.

Wybrane własności całki krzywoliniowej nieskierowanej.

Niech

F, G

∈ C0(K, R),

α, β ∈ R,

K

= K1 ∪ K2, intK1 ∩ intK2 = ∅

(iloczyn wnętrz), to

(3)

K

∫

[α F(x, y, z) + β G(x, y, z)] dK = α

K

∫

F

(x, y, z) dK + β

K

∫

G

(x, y, z) dK

(4)

K

∫

F

(x, y, z) dK =

K

1

∫

F

(x, y, z) dK1 +

K

2

∫

F

(x, y, z) dK2

(5)

K

∫

F

(x, y, z) dK ≥ 0

dla

F

(x, y, z) ≥ 0 na K