Całka powierzchniowa zorientowana

(całka powierzchniowa funkcji wektorowej)

Niech S - gładki płat powierzchniowy.

Płat orientujemy czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią
. W każdym punkcie płata zorientowanego prowadzimy wektor normalny
o zwrocie od strony ujemnej do dodatniej.

Orientacja płata S wyznacza jednoznacznie orientację krzywej
.

Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegając krzywą K zgodnie ze wzrostem parametru wektor normalny mamy po stronie lewej.

Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną dodatnią; a wewnętrzna - ujemną.

Niech
- wersor normalny do płata S. Ponieważ
, więc wersor normalny zadany jest wzorem

,

gdzie
są kątami między wektorem
a dodatnimi półosiami
.

Niech
- pole wektorowe określone na płacie S,

,

oraz niech

.

W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny

.

Wartość tego iloczynu jest długością rzutu wektora
na prostą normalną, bo

.

Ponieważ

całka powierzchniowa niezorientowana

Definicja

Całkę powierzchniową niezorientowaną funkcji
, czyli

nazywamy całką powierzchniową zorientowaną funkcji wektorowej
na płacie zorientowanym S i oznaczamy symbolem

.

Uwaga

Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to

czyli

.

Niech S - powierzchnia regularna, tzn. powierzchnia która jest sumą płatów gładkich
.

Uwaga

Istnieją powierzchnie jednostronne (np. wstęga Mbiusa)

Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.

Definicja

Niech
powierzchnia regularna dwustronna,
, gdzie
płat gładki dla
.

Wtedy definiujemy

.

Uwaga

bo

Twierdzenie 1

Niech
płat powierzchniowy zorientowany,

,

.

Wtedy
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

,

całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

.

Dowód

Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej
, więc wektor normalny jest postaci

lub
.

Niech

Wtedy
oraz

Zatem

Dowodzimy analogicznie.

Twierdzenie 2

Niech
płat powierzchniowy zorientowany,

,

.

Wtedy
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

,

całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

.

Twierdzenie 3

Niech
płat powierzchniowy zorientowany,

,

.

Wtedy
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :

,

całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :

.

Przykład

Obliczyć całkę
po zewnętrznej stronie powierzchni

.

Rozłóżmy całkę I na sumę trzech całek
, gdzie

,

,

i dla każdej z całek
skorzystajmy z Twierdzenia k , gdzie
.

Ponieważ powierzchnia S jest płatem powierzchniowym zadanym równaniem

, gdzie

zatem

- bo rzut powierzchni S jest krzywą
(a nie obszarem).

Rzutujemy S na płaszczyznę
. Rzut
powstaje zatem

z rzutowania zarówno części
powierzchni S dla której
oraz z części
dla której
.

Rozłóżmy zatem S na sumę
, gdzie

oraz

.

Stąd

Z
,
,
otrzymujemy
.

Przykład

Obliczyć całkę

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery

I sposób.

Oczywiście

Wystarczy więc obliczyć tylko jedną z tych całek, np.
Sferę S rozbijamy na dwie półsfery: górną (względem płaszczyzny OXY)
i dolną
; a następnie korzystamy z twierdzenia.

II sposób.

Tym razem skorzystamy z definicji całki powierzchniowej zorientowanej, a następnie z twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną.

Sfera S ma następującą parametryzację:

, gdzie

i wtedy wektor normalny jest postaci

dla

gdzie

Stąd

Twierdzenie

Jeśli płat powierzchniowy S zadany jest równaniami parametrycznymi

, gdzie
,

oraz

,

to

.

Dowód

Twierdzenie (Stokesa)

Jeżeli
, gdzie S jest dwustronną

powierzchnią gładką ograniczoną krzywą regularną przestrzenną zamkniętą K,

oraz

orientacja powierzchni S jest zgodna z orientacją krzywej
,

to

Uwaga

Jeśli powierzchnia S jest płaskim obszarem w płaszczyźnie OXY, to
, i z twierdzenia Stokesa otrzymujemy twierdzenie Greena.

Twierdzenie (Gaussa - Ostrogradskiego)

Jeśli S - powierzchnia zamknięta ograniczająca obszar przestrzenny V

oraz

pole wektorowe
,

to

.

1

16

---