1

Całka nieoznaczona

Definicja Założmy, że funkcja

f

jest funkcją rzeczywistą określoną

na pewnym przedziale. Każdą funkcję

F

, która spełnia w tym

przedziale warunek

F

0

(x) = f (x),

nazywamy funkcją pierwotną do funkcji

f

.

Przykład

Wyznacz funkcję pierwotną do funkcji

f (x) = cos x.

Ile różnych funkcji pierwotnych do funkcji

f

potrafisz wskazać?

2

Fakt

• Jeżeli

F

jest funkcją pierwotną funkcji

f

w pewnym przedziale,

to dla dowolnej stałej

C ∈ R

funkcja

F + C

jest funkcją

pierwotną funkcji

f

.

• Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji

f

, określonej w

pewnym przedziale, jest złożony z funkcji

Φ = F + C

, gdzie

C ∈ R

a

F

jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji

f

.

3

Definicja

(Całki nieoznaczonej)

Jeżeli

F

jest funkcją pierwotną funkcji

f

w pewnym przedziale, to

zbiór wszystkich funkcji pierotnych nazywamy całką nieoznaczoną

funkcji

f

i oznaczamy symbolem

Z

f (x) dx.

Zatem

Z

f (x) dx = F (x) + C ,

gdzie

C ∈ R

a

F

jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji

f

.

Funkcję

f

nazywamy funkcją podcałkową, a

f (x) dx

wyrażeniem

podcałkowym.

Twierdzenie

Każda funkcja ciągła w pewnym przedziałe jest

całkowalna w tym przedziale (istnieje całka nieoznaczona tej funkcji).

4

Własności Całki nieoznaczonej

Załóżmy, że funkcje

f

i

g

są ciągłe w pewnym przedziale.

Wówczas

•






Z

f (x) dx






0

= f (x) ,

•

Z

f

0

(x) dx = f (x) + C ,

•

Z

a · f (x) dx = a ·

Z

f (x) dx ,

a ∈ R,

•

Z

f (x) + g(x)

!

dx =

Z

f (x) dx +

Z

g(x) dx.

5

Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych

Z

0 dx = C

Z

a dx = ax + C

Z

x

α

dx =

x

α+1

α + 1

+ C

α 6= −1

Z

1

x

dx = ln |x| + C

Z

e

x

dx = e

x

+ C

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

6

Z

sin x dx = − cos x + C

Z

cos x dx = sin x + C

Z

1

cos

2

x

dx = tg x + C

Z

1

sin

2

x

dx = −ctg x + C

Z

1

1 + x

2

dx = arctg x + C

Z

1

√

1 − x

2

dx = arcsin x + C

7

Przykłady

Z

−3x

4

+ 2x

3

− 5x

2

+ 1

x

3

dx

Z

(2x

2

− 3)

√

x dx

Z

( 5 cos x + 3 sin x) dx

Z

ctg

2

x dx

Z








3e

x

−

4

1 + x

2

−

1

√

1 − x

2








dx

8

Całkowanie przez podstawianie

Twierdzenie

Jeżeli

F

jest funkcją pierwotną funkcji

f

, to

Z

f ( ϕ(x) ) ϕ

0

(x) dx = F ( ϕ(x) ) + C,

gdzie o funkcjach

f, ϕ

i

ϕ

0

zakładamy, że są ciągłe i funkcja

t = ϕ(x)

jest odwracalna.

Zatem dla

t = ϕ(x)

mamy

Z

f ( ϕ(x) ) ϕ

0

(x) dx =

Z

f ( t ) dt = F ( t ) + C = F ( ϕ(x) ) + C.

Przykład

Oblicz całki:

9

a)

Z

sin ax dx

b)

Z

cos ax dx

c)

Z

f

0

(x)

f (x)

dx

d)

Z

tg x dx

e)

Z

x

1 + x

2

dx

f )

Z

(ax + b)

n

dx

g)

Z

sin

2

x dx

h)

Z

1

x ln x

dx

i)

Z

e

cos x

sin x dx

j)

Z

x

3

s

4 − x

4

dx

k)

Z

arcsin x

√

1 − x

2

dx

l)

Z

e

2x

1 + e

4x

dx

10

Całkowanie przez części

Twierdzenie

Załóżmy, że funkcje

f

i

g

są różniczkowalne w

pewnym przedziale. Wówczas

Z

f (x) · g

0

(x) dx = f (x) · g(x) −

Z

f

0

(x) · g(x) dx.

Przykład

Oblicz całki:

a)

Z

x e

−x

dx

b)

Z

x

2

cos 2x dx

c)

Z

ln x dx

d)

Z

arctg x dx

e)

Z

5x + 1

sin

2

x

dx

f )

Z

e

ax

sin bx dx

g)

Z

e

ax

cos bx dx