1
Pole trapezu krzywoliniowego
a = x
0
< x
1
< x
2
< . . . < x
i
< x
i+1
< . . . < x
n
= b
∆x
i
= x
i+1
− x
i
x
∗
i
∈ (x
i
, x
i+1
)
2
Pole prostokąta o podstawie ∆x
i
= f (x
∗
i
) · ∆x
i
|P | − Pole trapezu krzywoliniowego
|P | ≈
n−1
X
i=0
f (x
∗
i
) · ∆x
i
Oznaczenie: δ = max { ∆x
i
: i = 0, 1, . . . , n − 1 }
3
Całka oznaczona
Definicja
Założmy, że funkcja
f
jest funkcją ograniczoną na
przedziale
[a, b]
. Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji
f
na
przedziale
[a, b]
definiujemy wzorem:
b
Z
a
f (x) dx = lim
δ→0
n−1
X
i=0
f (x
∗
i
) · ∆x
i
o ile granica ta istnieje i jest niezależna od sposobu podziału odcinka
[a, b]
i wyboru punktów
x
∗
i .
Funkcję
f
nazywamy wówczas funkcją całkowalną w sensie Riemanna.
Krańce przedziału
[a, b]
nazywamy odpowiednio - dolną i górną
granicą całkowania.
4
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
• Jeżeli
f
jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale
[a, b]
, to
b
Z
a
f (x) dx = |P |.
5
• Jeżeli
f
jest funkcją ciągłą i ujemną na przedziale
[a, b]
, to
b
Z
a
f (x) dx = − |P |.
6
Przykład
Oblicz z definicji całkę oznaczoną:
b
Z
a
dx.
Przykład
(Funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna)
Wykaż, że funkcja Dirichleta
D(x) =
1
x ∈ Q
0
x ∈ R r Q
nie jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna w dowolnym przedziale
[a, b]
.
7
Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna
Twierdzenie
Każda funkcja ciągła na przedziale
[a, b]
jest na
tym przedziale całkowalna w sensie Riemanna.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja
f
jest ograniczona na przedziale
[a, b]
i ma w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości
(pierwszego rodzaju), to jest na tym przedziale całkowalna w sensie
Riemanna.
8
Własności całki oznaczonej
Uwaga
Pisząc w poniższych twierdzeniach całkę:
b
Z
a
f (x) dx
zakładamy automatycznie, że funkcja
f
jest funkcją całkowalną w
sensie Riemanna na przedziale
[a, b]
.
•
a
Z
a
f (x) dx = 0
•
b
Z
a
f (x) dx = −
a
Z
b
f (x) dx
9
•
b
Z
a
c · f (x) dx = c ·
b
Z
a
f (x) dx,
c ∈ R
•
b
Z
a
( f (x) ± g(x) ) dx =
b
Z
a
f (x) dx ±
b
Z
a
g(x) dx
•
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx,
c ∈ (a, b)
• Jeżeli funkcja
f
jest funkcją nieujemną na przedziale
[a, b]
, to
b
Z
a
f (x) dx > 0.
10
• Jeżeli dla każdego
x ∈ [a, b]
zachodzi nierówność
f (x) 6 g(x)
,
to
b
Z
a
f (x) dx 6
b
Z
a
g(x) dx.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja
f
jest funkcją całkowalną w sensie
Riemanna na przedziale
[a, b]
, to istnieją takie stałe rzeczywiste
m
i
M
, że
m (b − a) 6
b
Z
a
f (x) dx 6 M (b − a).
11
Uwaga
Jeżeli funkcja
f
jest funkcją ciągłą na przedziale
[a, b]
,
to w powyższym twierdzeniu można przyjąć
m =
min
x∈[a,b]
f (x)
M =
max
x∈[a,b]
f (x).
Twierdzenie
(O wartości średniej)
Jeżeli funkcja
f
jest funkcją ciągłą na przedziale
[a, b]
, to istnieje
punkt
c ∈ [a, b]
taki, że
b
Z
a
f (x) dx = f (c) (b − a).
12
Przykład
Korzystając z twierdzenia o wartości średniej oszacuj
całkę
1
Z
0
s
1 + x
4
dx.
13
Uwaga
Niech
a > 0
.
• Jeżeli funkcja
f
jest całkowalna i nieparzysta na przedziale
[−a, a]
, to
a
Z
−a
f (x) dx = 0.
14
• Jeżeli funkcja
f
jest całkowalna i parzysta na przedziale
[−a, a]
,
to
a
Z
−a
f (x) dx = 2 ·
a
Z
0
f (x) dx.
15
• Jeżeli funkcja
f
jest okresowa z okresem
T > 0
i całkowalna
na każdym skończonym przedziale, to
a+T
Z
a
f (x) dx =
T
Z
0
f (x) dx.
Przykład
Korzystając z powyższych stwierdzeń oblicz całki:
a)
1
Z
−1
x
2012
ln
3 − x
3 + x
dx
b)
101π
Z
99π
sin x dx.
16
Całka oznaczona a całka nieoznaczona
Niech
f
będzie funkcją ciągłą na
[a, b]
. Wówczas dla dowolnego
x ∈ [a, b]
funkcja
f
jest całkowalna na
[a, x]
.
Oznaczmy:
Φ(x) =
x
Z
a
f (t) dt.
Wówczas:
•
Φ
jest funkcją zmiennej
x ∈ [a, b]
•
Φ
jest funkcją ciągłą
•
Φ
jest funkcją różniczkowalną i
Φ
0
(x) =
d
dx
x
Z
a
f (t) dt = f (x).
17
• Zatem
Φ
jest funkcją pierwotną dla funkcji
f
taką, że
Φ(a) =
a
Z
a
f (t) dt = 0
Φ(b) =
b
Z
a
f (t) dt.
Niech
Z
f (x) dx = F (x) + C.
Wówczas istnieje stała
C
0 taka, że
Φ(x) = F (x) + C
0
dla dowolnego
x ∈ [a, b]
.
18
Twierdzenie
(Leibnitza - Newtona)
Jeżeli funkcja
f
jest ciągła na
[a, b]
a
F
jest funkcją pierwotną
dla funkcji
f
, to
b
Z
a
f (x) dx = F (b) − F (a).
Wzór powyższy nosi nazwę podstawowego wzoru rachunku całkowego
i wyraża związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.
Oznaczenie:
b
Z
a
f (x) dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a)
19
Przykład
Oblicz całkę oznaczoną:
a)
π
4
Z
0
cos 2x dx
b)
3
Z
2
dx
x
2
− 1
dx
c)
3
Z
1
|x − 2| dx
Twierdzenie
(Całkowanie przez podstawianie)
Jeżeli:
• funkcja
ϕ : [α, β]
na
→ [a, b]
ma ciągłą pochodną w przedziale
[α, β]
•
ϕ(α) = a
i
ϕ(β) = b
• funkcja
f
jest ciągła na
[a, b]
,
to
β
Z
α
f (ϕ(t)) ϕ
0
(t) dt =
b
Z
a
f (x) dx.
20
Przykład
Oblicz całkę oznaczoną:
a)
3
Z
1
x
3
s
9 − x
2
dx
b)
0
Z
−1
x
2
e
−x
3
dx
c)
2
π
Z
1
π
sin
1
x
x
2
dx
Twierdzenie
(Całkowanie przez części)
Załóżmy,
że
funkcje
f
i
g
są
różniczkowalne
a
f
0
,
g
0
są funkcjami ciągłymi w przedziale
[a, b]
. Wówczas
b
Z
a
f (x) · g
0
(x) dx = f (x) · g(x)
b
a
−
b
Z
a
f
0
(x) · g(x) dx.
21
Przykład
Oblicz całkę oznaczoną:
a)
π
2
Z
0
x sin 2x dx
b)
e
Z
1
e
x | ln x| dx
22
Całki niewłaściwie
Całki niewłaściwie pierwszego rodzaju (na przedziale nieograniczonym)
Definicja
Założmy, że funkcja
f
jest funkcją określoną na
przedziale
[a, +∞)
i całkowalną na dowolnym przedziale
[a, A]
.
Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na
[a, +∞)
definiujemy
wzorem:
+∞
Z
a
f (x) dx =
lim
A→+∞
A
Z
a
f (x) dx.
Jeżeli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, że
całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje, badź jest
równa
±∞
, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
23
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na
(−∞, b]
, tj.
b
Z
−∞
f (x) dx =
lim
B→−∞
b
Z
B
f (x) dx.
Przykład
Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:
a)
+∞
Z
0
x dx
1 + x
2
b)
+∞
Z
1
e
−x
dx
c)
1
Z
−∞
dx
1 + x
2
d)
π
Z
−∞
cos x dx
24
Definicja
(Całki niewłaściwej na prostej)
Założmy, że funkcja
f
jest funkcją określoną na przedziale
(−∞, +∞)
i całkowalną na
dowolnym przedziale ograniczonym. Całkę niewłaściwą pierwszego
rodzaju na
(−∞, +∞)
definiujemy wzorem:
+∞
Z
−∞
f (x) dx =
c
Z
−∞
f (x) dx +
+∞
Z
c
f (x) dx,
gdzie
c
jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Całka niewłaściwa na prostej jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy
jednocześnie zbieżne są obie całki: na
(−∞, c]
i na
[c, +∞)
.
Przykład
Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:
+∞
Z
−∞
dx
x
2
+ 4x + 5
.
25
Całki niewłaściwie drugiego rodzaju (z funkcji nieograniczonej)
Definicja
Założmy, że funkcja
f
jest funkcją:
• określoną na przedziale
(a, b]
,
• całkowalną na dowolnym przedziale
[A, b]
, gdzie
a < A < b
,
• nieograniczoną na każdym przedziale
(a, A)
, co wyrażamy mówiąc,
że punkt
a
jest punktem osobliwym funkcji
f
.
Wówczas:
b
Z
a
f (x) dx =
lim
A→a
+
b
Z
A
f (x) dx.
Jeżeli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, że
całka niewłaściwa jest zbieżna.
26
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji
f
określonej na przedziale
[a, b)
i nieograniczonej w lewostronnym
sąsiedztwie punktu
b
, tj.
b
Z
a
f (x) dx =
lim
B→b
−
B
Z
a
f (x) dx.
Przykład
Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:
a)
4
π
Z
0
sin
1
x
x
2
dx
b)
e
Z
1
1
x
3
√
ln x
dx
c)
1
Z
0
dx
x
2
− 1
d)
π
6
Z
0
cos x
√
1 − 2 sin x
dx
27
Definicja
Założmy, że funkcja
f
jest funkcją:
• określoną na przedziale
(a, b)
,
• całkowalną
na
dowolnym
przedziale
[A, B]
,
gdzie
a < A < B < b
,
• nieograniczoną na każdym przedziale
(a, A)
i
(B, b)
Wówczas:
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx,
gdzie
c ∈ (a, b)
.
Całka ta jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbieżne
są obie całki: na
(a, c]
i na
[c, b)
.
28
Definicja
Założmy, że funkcja
f
jest funkcją:
• określoną na zbiorze
[a, c) ∪ (c, b]
,
• całkowalną na każdym przedziale
[a, C
1
]
i
[C
2
, b]
, gdzie
a < C
1
< c < C
2
< b
,
• nieograniczoną w sąsiedztwie punktu
c
.
Wówczas:
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx,
gdzie
c ∈ (a, b)
.
Całka ta jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbieżne
są obie całki: na
[a, c)
i na
(c, b]
.
29
Przykład
Oblicz całkę niewłaściwą:
a)
3
Z
1
1
√
−x
2
+ 4x − 3
dx
b)
2
Z
0
1
s
|1 − x
2
|
dx