1
Obszar normalny w przestrzeni
Definicja
Niech
D
będzie obszarem regularnym na płaszczyźnie
OXY
. Wówczas obszar ograniczony i domknięty
V ⊂ R
3 postaci:
V =
(x, y, z) ∈ R
3
: (x, y) ∈ D, h(x, y)
6 z 6 g(x, y)
,
gdzie funkcje
h(x, y)
i
g(x, y)
są ciągłe na
D
oraz
h(x, y) < g(x, y)
dla punktów
(x, y)
z wnętrza obszaru
D
,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny
OXY
.
(Analogicznie definiujemy obszary normalne względem płaszczyzn
OXZ
i
OY Z
).
2
V :
(x, y) ∈ D
h(x, y) 6 z 6 g(x, y)
3
Całka potrójna
Definicja
Niech funkcja
f = f (x, y, z)
będzie ograniczona i
ciągła na obszarze
V
normalnym względem płaszczyzny
OXY
.
Wówczas całkę potrójną po obszarze
V
definiujemy wzorem:
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz
def
=
Z
D
Z
dxdy
g(x,y)
Z
h(x,y)
f (x, y, z) dz.
Przykład
Niech
V
oznacza ostrosłup ograniczony płaszczyznami
układu współrzędnych oraz płaszczyzną
x + y + z = 4
. Całkę
Z
Z
V
Z
(4 − x) dxdydz
sprowadzić do całki pojedyńczej.
4
Uwagi:
(o całce potrójnej w prostopadłościanie)
• Jeżeli funkcja
f = f (x, y, z)
jest ograniczona i ciągła w
P =
(
(x, y, z) ∈ R
3
: a
1
6 x 6 a
2
, b
1
6 y 6 b
2
, c
1
6 z 6 c
2
)
,
5
to
Z
Z
P
Z
f (x, y, z) dxdydz =
a
2
Z
a
1
dx
b
2
Z
b
1
dy
c
2
Z
c
1
f (x, y, z) dz =
=
c
2
Z
c
1
dz
a
2
Z
a
1
dx
b
2
Z
b
1
f (x, y, z) dy =
b
2
Z
b
1
dy
c
2
Z
c
1
dz
a
2
Z
a
1
f (x, y, z) dx = . . .
• Jeżeli ponadto funkcja
f (x, y, z) = f
1
(x) · f
2
(y) · f
3
(z)
, to
Z
Z
P
Z
f (x, y, z) dxdydz =
=
a
2
Z
a
1
f
1
(x) dx
·
b
2
Z
b
1
f
2
(y) dy
·
c
2
Z
c
1
f
3
(z) dz
6
Przykład
Oblicz
Z
Z
P
Z
e
x+2y−ln z
dxdydz,
P =
(
(x, y, z) ∈ R
3
: 0
6 x 6 ln 2, 0 6 y 6 ln 3, 1 6 z 6 e
)
.
Przykład
Niech
V
oznacza obszar ograniczony płaszczyznami
z = 0
i
x + z = 4
oraz powierzchniami
y =
√
x
i
y = 2
√
x
.
Oblicz:
Z
Z
V
Z
4yz dxdydz.
7
Własności całki potrójnej
• Jeżeli funkcje
f
1
i
f
2
są całkowalne w
V
, to dla dowolnych
α, β ∈ R
zachodzi
Z
Z
V
Z
( α f
1
(x, y, z) + β f
2
(x, y, z) ) dxdydz =
= α
Z
Z
V
Z
f
1
(x, y, z) dxdydz + β
Z
Z
V
Z
f
2
(x, y, z) dxdydz.
• Jeżeli zbiór
V ∈ R
3 jest sumą skończonej ilości zbiorów normalnych
względem jednej z płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach
tj.
V = V
1
∪ V
2
∪ · · · ∪ V
n , to
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
1
Z
f (x, y, z) dxdydz +
+
Z
Z
V
2
Z
f (x, y, z) dxdydz + . . . +
Z
Z
V
n
Z
f (x, y, z) dxdydz.
8
• Jeżeli funkcja
f
jest całkowalna w
V
oraz
f (x, y, z) > 0
dla
(x, y, z) ∈ V
, to
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz > 0.
Objętość bryły V
Z
Z
V
Z
dxdydz
def
=
| V |
Przykład
Oblicz objętość bryły
V
ograniczonej powierzchniami:
a)
y = 1,
y = x
2
,
z = x
2
+ y
2
,
z = 2x
2
+ 2y
2
b)
x
2
+ y
2
= 1,
z = −1,
z = 1 + x
2
+ y
2
9
• Jeżeli funkcja
f
jest całkowalna w
V
, to
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz
6
Z
Z
V
Z
| f (x, y, z) | dxdydz 6 M | V | ,
gdzie
M = max
V
| f (x, y, z) |
.
10
Współrzędne walcowe (cylindryczne)
•
r
- odległość punktu
P
0
od początku układu,
0
6 r < +∞
•
ϕ
- miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor
~
OP
0
z dodatnim kierunkiem osi
OX
,
0
6 ϕ 6 2π
(albo
−π 6 ϕ 6 π
)
•
|z|
- odległość punktu
P
od płaszczyzny
OXY
11
Definicja
Trójkę
(r, ϕ, z)
nazywamy współrzędnymi walcowymi
(lub cylindrycznymi) punktu w przestrzeni.
Związek pomiędzy współrzędnymi walcowymi a kartezjańskimi jest
następujący:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = z
Przekształcenie
(r, ϕ, z)
−→
(x, y, z)
nazywamy przekształceniem walcowym (cylindrycznym) a Jakobian
tego przekształcenia jest równy:
12
J =
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂z
=
cos ϕ
−r sin ϕ
0
sin ϕ
r cos ϕ
0
0
0
1
= r
Twierdzenie
Niech obszar
V
0 dany we współrzędnych walcowych
będzie regularny oraz niech funkcja
f (x, y, z)
będzie ciagła na
obszarze
V
będącym obrazem
V
0
w przekształceniu walcowym.
Wówczas
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
0
Z
f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) r drdϕdz
13
Uogólnione współrzędne walcowe
x = a r cos ϕ
y = b r sin ϕ
J = a b r
z = z
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
0
Z
f (a r cos ϕ, b r sin ϕ, z) ab r drdϕdz
14
Współrzędne sferyczne
•
r
- odległość punktu
P
od początku układu,
0
6 r < +∞
•
ϕ
- miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor
~
OP
0
z dodatnim kierunkiem osi
OX
,
0
6 ϕ 6 2π
•
ψ
- miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor
~
OP
z wektorem
~
OP
0 ,
−
π
2
6 ψ 6
π
2
15
Definicja
Trójkę
(r, ϕ, ψ)
nazywamy współrzędnymi sferycznymi
punktu w przestrzeni.
Związek pomiędzy współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi jest
następujący:
x = r cos ϕ cos ψ
y = r sin ϕ cos ψ
z = r sin ψ
Przekształcenie
(r, ϕ, ψ)
−→
(x, y, z)
nazywamy przekształceniem sferycznym a Jakobian tego przekształcenia
jest równy:
16
J =
cos ϕ cos ψ
−r sin ϕ cos ψ
−r cos ϕ sin ψ
sin ϕ cos ψ
r cos ϕ cos ψ
−r sin ϕ sin ψ
sin ψ
0
r cos ψ
= r
2
cos ψ
Twierdzenie
Niech obszar
V
0 dany we współrzędnych sferycznych
będzie regularny oraz niech funkcja
f (x, y, z)
będzie ciagła na
obszarze
V
będącym obrazem
V
0 w przekształceniu sferycznym.
Wówczas
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
=
Z
Z
V
0
Z
f ( r cos ϕ cos ψ , r sin ϕ cos ψ , r sin ψ ) r
2
cos ψ drdϕdψ
17
Przykład
Oblicz objętość bryły
V
ograniczonej sferą
x
2
+ y
2
+
z
2
= 2
i górną częścią stożka
x
2
+ y
2
= z
2 .
V ←− V
0
:
0
6 ϕ 6 2π
π
4
6 ψ 6
π
2
0
6 r 6
√
2
18
Ćwiczenie
Zrób powyższe zadanie korzystając z współrzędnych
walcowych.
Uogólnione współrzędne sferyczne
x = a r cos ϕ cos ψ
y = b r sin ϕ cos ψ
J = a b c r
2
cos ψ
z = c r sin ψ
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
0
Z
f (a r cos ϕ cos ψ , b r sin ϕ cos ψ , c r sin ψ ) abc r
2
cos ψ drdϕdψ
19
Zastosowania całki potrójnej w mechanice
Niech
% = %(x, y, z)
będzie dana ciągłą gęstością masy bryły
V
.
• Masa obszaru normalnego
V ⊂ R
3 :
M
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) dV,
( dV = dxdydz )
• Momenty statyczne bryły
V
względem płaszczyzn układu:
M
XY
def
=
Z
Z
V
Z
z %(x, y, z) dV,
M
XZ
def
=
Z
Z
V
Z
y %(x, y, z) dV,
M
Y Z
def
=
Z
Z
V
Z
x %(x, y, z) dV,
20
• Współrzędne środka ciężkości:
x
c
def
=
M
Y Z
M
=
1
M
Z
Z
V
Z
x %(x, y, z) dV,
y
c
def
=
M
XZ
M
=
1
M
Z
Z
V
Z
y %(x, y, z) dV,
z
c
def
=
M
XY
M
=
1
M
Z
Z
V
Z
z %(x, y, z) dV,
• Momenty bezwładności bryły
V
względem osi układu:
I
X
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( y
2
+ z
2
) dV,
I
Y
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( x
2
+ z
2
) dV,
I
Z
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( x
2
+ y
2
) dV,
21
• Moment bezwładności bryły
V
względem początku układu:
I
O
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( x
2
+ y
2
+ z
2
) dV,
Przykład
Oblicz masę bryły
V
ograniczonej powierzchniami:
z = 1
i
x
2
+ y
2
= z
2 , jeżeli jej gęstość w każdym punkcie
(x, y, z)
wyraża się wzorem
%(x, y, z) =
s
x
2
+ y
2
22
Przykład
Korzystając z całki potrójnej obliczyć moment bezwładności
jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniami:
z = 2
i
x
2
+ y
2
−
2z = 0
względem osi
OZ
.
Uwaga
Bryła jednorodna to bryła o stałej gęstości rozkładu masy,
tj. przyjmiemy, że
%(x, y, z) = %
0
> 0.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Calka potrojna
C 08 Całka potrójna
Całka potrójna
12 calka oz TEORIA
Całka potrójna
calka potrojna
całka potrójna
Calka potrojna przyklady
Całka potrójna
Microsoft Word W20 Calka potrojna
Calka potrojna
Microsoft Word L20 calka potrojna
12 calka oz
całka potrójna
więcej podobnych podstron