RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI TRZECH ZMIENNYCH.
CAŁKA POTRÓJNA.
Def.
Obszar domknięty z przestrzeni R
3
,
V
gdzie
V
= (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈
_
DNOX , g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y), g, h ∈ C
0(
_
D; R
)
oraz
(NOY)
g
(x, y) < z < h(x, y) dla (x, y) ∈ DNOX
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
..............................................................................................................
Niech F będzie funkcją rzeczywistą trzech zmiennych określoną na obszarze V
domkniętym , normalnym względem płaszczyzny OXY.
Całkę potrójną możemy zdefiniować analogicznie jak całkę podwójną.
..................................................................................................................
Podamy jednak tylko
Tw.
Jeżeli funkcja F jest ciągła na obszarze normalnym V względem płaszczyzny OXY, to:
(1)
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz
df
=
b
a
∫
ϕ(x)
ψ(x)
∫
h
(x,y)
g
(x,y)
∫
F
(x, y, z)dz
dy
dx.
..................................................................................................................
Analogicznie okreslamy obszar V
normalny względem pozostałych dwóch płaszczyzn układu
⊂ R3
współrzednych oraz formułujemy twierdzenia wyrażające związek między całką potrójną a całką
iterowaną w tych obszarach.
..................................................................................................................
Obszar domknięty będący sumą skończonej ilości obszarów normalnych
V
(względem płasczyzn OXY lub OXZ lub OYZ ), które nie mają wspólnych punktów
wewnętrznych , nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni R
3
.
..................................................................................................................
Tw.
Całka potrójna funkcji F (x,y,z), na obszarze regularnym domkniętym w R
3
będącym sumą
skończonej liczby obszarów normalnych (względem płaszczyzn OXY, OXZ lub OYZ), które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych,
jest sumą całek potrójnych tej funkcji na poszczególnych obszarach normalnych.
........................................................................................................................
1
Wybrane własności całki potrójnej.
Niech
(iloczyn wnętrz),(2)
F, G
∈ C0(V, R), α, β ∈ R, V = V1 ∪ V2, intV1 ∩ intV2 = ∅
to
V
∫ ∫ ∫
[α F(x, y, z) + β G(x, y, z)] dxdydz =
=
(3)
α
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz + β
V
∫ ∫ ∫
G
(x, y, z) dxdydz
.................................................................................................................................
, (4)
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz =
V
1
∫ ∫ ∫
F
(x, y) dxdydz +
V
2
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz
....................................................................................................................................
.
(5)
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz ≥ 0
dla
F
(x, y, z) ≥ 0 na V
................................................................................................................................
2
Tw. ( o zamianie zmiennych w całce potrójnej).
Jeżeli
1.
odwzorowanie
x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) przekształca
wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
∆ ⊂ R3
na wnętrze obszaru regularnego
,
V⊂ R3
2.
funkcje
,
x, y, z
∈ C1( ∆ ; R)
3.
funkcja
,
F
∈ C0( V ; R)
4.
jakobian
J(u,v,w) =
na obszarze ,
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
≠ 0
∆
to
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, v) dxdydv =
∆
∫ ∫ ∫
F
(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) dudvdw
(6)
........................................................................................................................................
3
W przypadku, gdy obszar V jest sferą lub wycinkiem tej figury, a także i w niektórych innych przy-
padkach, często wygodnie jest przy obliczaniu całki potrójnej wprowadzić a)
współrzędne sfe-
ryczne ( kuliste )
.
x
= R cos θ cos ϕ,
y
= R cos θ sin ϕ,
z
= R sin θ
x
P(x,y,z)
R
ϕ
θ
y
z
P'(x,y,0)
r
P'(x,y,0)
x
y
r
ϕ
W tym przypadku jakobian przybiera posta
ć
:
J(u,
) =
v, w
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
=
∂x
∂R
∂x
∂ϕ
∂x
∂θ
∂y
∂R
∂y
∂ϕ
∂y
∂θ
∂z
∂R
∂z
∂ϕ
∂z
∂θ
=
=
= R
2
cos
cos
θ cos ϕ − R cos θ sin ϕ − R sin θ cos ϕ
cos
θ sin ϕ R cos θ cos ϕ
R cos
θ cos θ
sin
θ
0
R cos
θ
θ
i wzór (6) ma posta
ć
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y) dxdy =
=
∆
∫ ∫ ∫
F
(R cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, R sin θ) R2cos θ dRdθ dϕ
4
lub
b)
współrzędne cylindryczne ( walcowe )
x
= r cos ϕ,
y
= r sin ϕ,
z
= z
x
y
z
P(x,y,z)
r
W tym przypadku jakobian przybiera posta
ć
:
J(
) =
= r.
u, v, w
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
=
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂z
=
cos
ϕ − r sin ϕ 0
sin
ϕ r cos ϕ 0
0
0
1
i wzór (6) ma posta
ć
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y) dxdy =
∆
∫ ∫ ∫
F
(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r drdz dϕ
5
Zastosowania całki potrójnej.
1.
Obliczanie obj
ę
to
ś
ci obszaru .
Je
ż
eli V jest obszarem regularnym
, to
V
⊂ R3
.
V
=
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
2.
Obliczanie masy obszaru.
Je
ż
eli F(x,y) jest g
ę
sto
ś
ci
ą
obj
ę
to
ś
ciow
ą
masy obszaru regularnego
i
mas
ę
obszaru V wyra
ż
a wzór:
V
⊂ R3
F
∈ C0(V; R), to
m
=
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz
5.
Obliczanie momentów statycznych oraz momentów bezwładno
ś
ci.
Je
ż
eli F(x,y,z) jest g
ę
sto
ś
ci
ą
obj
ę
to
ś
ciow
ą
masy obszaru regularnego
i
momenty statyczne
V
⊂ R3
F
∈ C0(V; R),
to
Mxy
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXY) ,
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXZ)
Mxz
oraz
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OYZ) wyra
ż
aj
ą
wzory:
Myz
,
Mxy =
V
∫ ∫ ∫
z F
(x, y, z) dxdydz
Mxz
=
V
∫ ∫ ∫
y F
(x, y, z) dxdydz
oraz
Myz
=
V
∫ ∫ ∫
x F
(x, y, z) dxdydz
za
ś
momenty bezwładno
ś
ci
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXZ) ,
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXZ
Bxz
Bxz
oraz
wzgl
ę
dem płaszczyzny OYZ, wyra
ż
aj
ą
wzory:
Byz
,
Bxy =
V
∫ ∫ ∫
z2 F
(x, y, z) dxdydz
,
Bxz =
V
∫ ∫ ∫
y2 F
(x, y, z) dxdydz
.
Byz
=
V
∫ ∫ ∫
x2 F
(x, y, z) dxdydz
6.
Obliczanie
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci.
Współrz
ę
dne
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci
masy obszaru
ξ, η, ζ
S
(ξ, η, ζ)
V
⊂ R3
wyra
ż
aj
ą
wzory:
.
ξ =
Myz
m ,
η =
Mxz
m ,
ζ =
Mxy
m
6
Przykład.
Oblicz obj
ę
to
ść
bryły , ograniczonej cz
ęś
ciami powierzchni :
S1 : z = 4 − x
2 − y2
S2 : z = x
2 + y2
x
y
z
-2
2
Znajd
ź
my lini
ę
przeci
ę
cia powierzchni S
1
i S
2
, sk
ą
d x
2
+ y
2
= 2 dla z =
,
4
− x2 − y2 = x2 + y2
2
zatem
.
P
(x, y, z) ∈ V ⇔
− 2
≤ x ≤
2
− 2 − x2 ≤ y ≤
2
− x2
x2
+ y2 ≤ z ≤
4
− x2 − y2
St
ą
d
=
.
V
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
− 2
2
∫
2
−x
2
− 2−x
2
∫
x
2
+ y
2
4
− x
2
− y
2
∫
dzdy
dx
7
Dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzaj
ą
c współrz
ę
dne cylindryczne:
x
= r cos ϕ,
y
= r sin ϕ,
z
= z.
Mamy :
0
≤ r ≤
2
0
≤ ϕ ≤
2
π
r
≤ z ≤
4
− r2
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
0
2
∫
2
π
0
∫
r
4
−r
2
∫
r d
θ
d
ϕ
dr
lub dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzaj
ą
c współrz
ę
dne sferyczne:
.
x
= R cos θ cos ϕ,
y
= R cos θ sin ϕ,
z
= R sin θ
Mamy :
.
0
≤ R ≤ 2
0
≤ ϕ ≤ 2π
π
4
≤ θ ≤ π
2
Wówczas
=
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
− 2
2
∫
2
−x
2
− 2−x
2
∫
x
2
+ y
2
4
− x
2
− y
2
∫
dz
dy
dx
=
0
2
∫
2
π
0
∫
π
2
π
4
∫
R2cos
θdθ
d
ϕ
dR
8
Przykład.
Obliczmy obj
ę
to
ść
bryły
, ograniczonej cz
ęś
ciami powierzchni
V
⊂ R3
,
S1 :
z
= x2 + y2
S2 :
x2
+ y2 + 2y = 0
S3 :
z
= 0
x
y
z
,
P
(x, y, z) ∈ V ⇔
− −2y − y2 ≤ x ≤
−2y − y2
−2
≤ y ≤
0
0
≤ z ≤
x2
+ y2
Zatem
,
V
=
V
∫∫ ∫
dxdydz
gdzie
.
V
=
(x, y, z) ∈ R3 :
− −2y − y2 ≤ x ≤
−2y − y2
−2
≤ y ≤
0
0
≤ z ≤ x2 + y2
x
y
9
Poniewa
ż
obszar V jest normalny wzgl
ę
dem płaszczyzny OXY , zatem
V
=
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
x
2
+y
2
0
∫
dz
dx
dy
=
=
=
.
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
[z]
x
2
+ y
2
0
dx
dy
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
x2
+ y2
dx
dy
Poniewa
ż
obszar D jest normalny wzgl
ę
dem osi OY , zatem
=
=
V
=
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
x2
+ y2
dx
dy
−2
0
∫
x3
3
+ x ⋅ y2
− −2y−y
2
−2y−y
2
dy
=
=
−2
0
∫
−2y−y
2
3
3
+
−2y − y
2
⋅ y
2
−
− −2y−y
2
3
3
+
− −2y − y
2
⋅ y
2
dy
=
.
2
−2
0
∫
−2y−y
2
3
3
+
−2y − y2
⋅ y2
dy
Wobec zło
ż
onej postaci wyra
ż
enia podcałkowego zastosujmy twierdzenie
o zamianie zmiennych w całce podwójnej:
,
x
= r cos ϕ
y
= r sin ϕ
wówczas
czyli
,
x2
+ y2 + 2y ≤ 0
r2
+ 2r sin ϕ ≤ 0
dla
.
0
≤ r ≤ −2 sin ϕ
π
≤ ϕ ≤
2
π
10
Zatem
=
D
∫∫
x2
+ y2
dxdy
=
2
π
π
∫
−2 sin ϕ
0
∫
r3
dr
d
ϕ =
2
π
π
∫
r4
4
0
−2 sin ϕ
d
ϕ
=
2
π
π
∫
[−2 sin ϕ]4
4
d
ϕ = 4
2
π
π
∫
sin4
ϕ dϕ = 4
2
π
π
∫
1
− cos 2ϕ
2
2
d
ϕ =
=
=
=
2
π
π
∫
1
− 2 cos 2ϕ + cos22ϕ
d
ϕ
2
π
π
∫
1
− 2 cos 2ϕ +
1
+ cos 4ϕ
2
d
ϕ
=
+
ϕ − sin 2ϕ +
ϕ +
sin 4
ϕ
4
2
π
2
π
=
2
π − sin (2 ⋅ 2π) +
2
π +
sin (4
⋅2π)
4
2
-
=
-
.
π − sin (2 ⋅ π) +
π +
sin (4
⋅π)
4
2
2
π + 2π
2
π + π
2
= π − π
2
= π
2
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
1.
, gdzie
,
V
∫ ∫ ∫
ex dxdydz
V
=
obszar ograniczony powierzchniami
x
= o,
y
= 2,
x
= ln y, z = 0, z = 1
2.
,
V
∫ ∫ ∫
2y dxdy dz, gdzie V
=
obszar ograniczony powierzchniami
y
= x ,
y
= 0,
x
+ y = 2, z = 0, z = 2
3.
,
V
∫ ∫
x2
+ y2 + z2
dxdydz , gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 4, z = 0, z = 4
4.
,
V
∫ ∫ ∫
2 dxdzdy ,
gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 4, z = 0, z = x2 + y2
5.
,
V
∫ ∫ ∫
dzdxdy ,
gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = −2y, z = 0, z = −x2 − y2
6.
,
V
∫ ∫ ∫
dxdzdy , gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = −2x + 2y, z = 0, z = x2 + y2
11
7.
,
V
∫ ∫ ∫
x2
+ y2 dxdydz ,
gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
z
= x2 + y2, x2 + y2 = 2x, z = 0
8.
V
∫ ∫ ∫
1
+ x2 + y2 + z2 dxdydz , gdzieV =
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 4, z = 0, z = 1
,
9.
V
∫ ∫ ∫
x2
+ y2 + z2 dxdzdy , gdzie V =
obszar ograniczony pow.
z
= 1, z = 2, x2 + y2 = 1
,
10.
,
V
∫ ∫ ∫
1
x2
+ y2 + z2
dxdydz , gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 9, z = 0, z = x2 + y2
11.
.
V
∫ ∫ ∫
1
1
+ x2 + y2 + z2
dxdzdy , gdzieV
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 9, z = 1, z = x2 + y2
12