RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI TRZECH ZMIENNYCH.
CAŁKA POTRÓJNA.
Def.
Obszar domknięty z przestrzeni R
3
,
V
gdzie
V
= (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈
_
DNOX , g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y), g, h ∈ C
0(
_
D; R
)
oraz
(NOY)
g
(x, y) < z < h(x, y) dla (x, y) ∈ DNOX
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
..............................................................................................................
Niech F będzie funkcją rzeczywistą trzech zmiennych określoną na obszarze V
domkniętym , normalnym względem płaszczyzny OXY.
Całkę potrójną możemy zdefiniować analogicznie jak całkę podwójną.
..................................................................................................................
Podamy jednak tylko
Tw.
Jeżeli funkcja F jest ciągła na obszarze normalnym V względem płaszczyzny OXY, to:
(1)
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz
df
=
b
a
∫
ϕ(x)
ψ(x)
∫
h
(x,y)
g
(x,y)
∫
F
(x, y, z)dz
dy
dx.
..................................................................................................................
Analogicznie okreslamy obszar V
normalny względem pozostałych dwóch płaszczyzn układu
⊂ R3
współrzednych oraz formułujemy twierdzenia wyrażające związek między całką potrójną a całką
iterowaną w tych obszarach.
..................................................................................................................
Obszar domknięty będący sumą skończonej ilości obszarów normalnych
V
(względem płasczyzn OXY lub OXZ lub OYZ ), które nie mają wspólnych punktów
wewnętrznych , nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni R
3
.
..................................................................................................................
Tw.
Całka potrójna funkcji F (x,y,z), na obszarze regularnym domkniętym w R
3
będącym sumą
skończonej liczby obszarów normalnych (względem płaszczyzn OXY, OXZ lub OYZ), które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych,
jest sumą całek potrójnych tej funkcji na poszczególnych obszarach normalnych.
........................................................................................................................
1
Wybrane własności całki potrójnej.
Niech
(iloczyn wnętrz),(2)
F, G
∈ C0(V, R), α, β ∈ R, V = V1 ∪ V2, intV1 ∩ intV2 = ∅
to
V
∫ ∫ ∫
[α F(x, y, z) + β G(x, y, z)] dxdydz =
=
(3)
α
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz + β
V
∫ ∫ ∫
G
(x, y, z) dxdydz
.................................................................................................................................
, (4)
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz =
V
1
∫ ∫ ∫
F
(x, y) dxdydz +
V
2
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz
....................................................................................................................................
.
(5)
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz ≥ 0
dla
F
(x, y, z) ≥ 0 na V
................................................................................................................................
2
Tw. ( o zamianie zmiennych w całce potrójnej).
Jeżeli
1.
odwzorowanie
x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) przekształca
wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
∆ ⊂ R3
na wnętrze obszaru regularnego
,
V⊂ R3
2.
funkcje
,
x, y, z
∈ C1( ∆ ; R)
3.
funkcja
,
F
∈ C0( V ; R)
4.
jakobian
J(u,v,w) =
na obszarze ,
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
≠ 0
∆
to
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, v) dxdydv =
∆
∫ ∫ ∫
F
(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) dudvdw
(6)
........................................................................................................................................
3
W przypadku, gdy obszar V jest sferą lub wycinkiem tej figury, a także i w niektórych innych przy-
padkach, często wygodnie jest przy obliczaniu całki potrójnej wprowadzić a)
współrzędne sfe-
ryczne ( kuliste )
.
x
= R cos θ cos ϕ,
y
= R cos θ sin ϕ,
z
= R sin θ
x
P(x,y,z)
R
ϕ
θ
y
z
P'(x,y,0)
r
P'(x,y,0)
x
y
r
ϕ
W tym przypadku jakobian przybiera posta
ć
:
J(u,
) =
v, w
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
=
∂x
∂R
∂x
∂ϕ
∂x
∂θ
∂y
∂R
∂y
∂ϕ
∂y
∂θ
∂z
∂R
∂z
∂ϕ
∂z
∂θ
=
=
= R
2
cos
cos
θ cos ϕ − R cos θ sin ϕ − R sin θ cos ϕ
cos
θ sin ϕ R cos θ cos ϕ
R cos
θ cos θ
sin
θ
0
R cos
θ
θ
i wzór (6) ma posta
ć
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y) dxdy =
=
∆
∫ ∫ ∫
F
(R cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, R sin θ) R2cos θ dRdθ dϕ
4
lub
b)
współrzędne cylindryczne ( walcowe )
x
= r cos ϕ,
y
= r sin ϕ,
z
= z
x
y
z
P(x,y,z)
r
W tym przypadku jakobian przybiera posta
ć
:
J(
) =
= r.
u, v, w
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
=
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂z
=
cos
ϕ − r sin ϕ 0
sin
ϕ r cos ϕ 0
0
0
1
i wzór (6) ma posta
ć
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y) dxdy =
∆
∫ ∫ ∫
F
(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r drdz dϕ
5
Zastosowania całki potrójnej.
1.
Obliczanie obj
ę
to
ś
ci obszaru .
Je
ż
eli V jest obszarem regularnym
, to
V
⊂ R3
.
V
=
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
2.
Obliczanie masy obszaru.
Je
ż
eli F(x,y) jest g
ę
sto
ś
ci
ą
obj
ę
to
ś
ciow
ą
masy obszaru regularnego
i
mas
ę
obszaru V wyra
ż
a wzór:
V
⊂ R3
F
∈ C0(V; R), to
m
=
V
∫ ∫ ∫
F
(x, y, z) dxdydz
5.
Obliczanie momentów statycznych oraz momentów bezwładno
ś
ci.
Je
ż
eli F(x,y,z) jest g
ę
sto
ś
ci
ą
obj
ę
to
ś
ciow
ą
masy obszaru regularnego
i
momenty statyczne
V
⊂ R3
F
∈ C0(V; R),
to
Mxy
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXY) ,
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXZ)
Mxz
oraz
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OYZ) wyra
ż
aj
ą
wzory:
Myz
,
Mxy =
V
∫ ∫ ∫
z F
(x, y, z) dxdydz
Mxz
=
V
∫ ∫ ∫
y F
(x, y, z) dxdydz
oraz
Myz
=
V
∫ ∫ ∫
x F
(x, y, z) dxdydz
za
ś
momenty bezwładno
ś
ci
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXZ) ,
(wzgl
ę
dem płaszczyzny OXZ
Bxz
Bxz
oraz
wzgl
ę
dem płaszczyzny OYZ, wyra
ż
aj
ą
wzory:
Byz
,
Bxy =
V
∫ ∫ ∫
z2 F
(x, y, z) dxdydz
,
Bxz =
V
∫ ∫ ∫
y2 F
(x, y, z) dxdydz
.
Byz
=
V
∫ ∫ ∫
x2 F
(x, y, z) dxdydz
6.
Obliczanie
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci.
Współrz
ę
dne
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci
masy obszaru
ξ, η, ζ
S
(ξ, η, ζ)
V
⊂ R3
wyra
ż
aj
ą
wzory:
.
ξ =
Myz
m ,
η =
Mxz
m ,
ζ =
Mxy
m
6
Przykład.
Oblicz obj
ę
to
ść
bryły , ograniczonej cz
ęś
ciami powierzchni :
S1 : z = 4 − x
2 − y2
S2 : z = x
2 + y2
x
y
z
-2
2
Znajd
ź
my lini
ę
przeci
ę
cia powierzchni S
1
i S
2
, sk
ą
d x
2
+ y
2
= 2 dla z =
,
4
− x2 − y2 = x2 + y2
2
zatem
.
P
(x, y, z) ∈ V ⇔
− 2
≤ x ≤
2
− 2 − x2 ≤ y ≤
2
− x2
x2
+ y2 ≤ z ≤
4
− x2 − y2
St
ą
d
=
.
V
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
− 2
2
∫
2
−x
2
− 2−x
2
∫
x
2
+ y
2
4
− x
2
− y
2
∫
dzdy
dx
7
Dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzaj
ą
c współrz
ę
dne cylindryczne:
x
= r cos ϕ,
y
= r sin ϕ,
z
= z.
Mamy :
0
≤ r ≤
2
0
≤ ϕ ≤
2
π
r
≤ z ≤
4
− r2
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
0
2
∫
2
π
0
∫
r
4
−r
2
∫
r d
θ
d
ϕ
dr
lub dokonajmy zamiany zmiennych, wprowadzaj
ą
c współrz
ę
dne sferyczne:
.
x
= R cos θ cos ϕ,
y
= R cos θ sin ϕ,
z
= R sin θ
Mamy :
.
0
≤ R ≤ 2
0
≤ ϕ ≤ 2π
π
4
≤ θ ≤ π
2
Wówczas
=
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
− 2
2
∫
2
−x
2
− 2−x
2
∫
x
2
+ y
2
4
− x
2
− y
2
∫
dz
dy
dx
=
0
2
∫
2
π
0
∫
π
2
π
4
∫
R2cos
θdθ
d
ϕ
dR
8
Przykład.
Obliczmy obj
ę
to
ść
bryły
, ograniczonej cz
ęś
ciami powierzchni
V
⊂ R3
,
S1 :
z
= x2 + y2
S2 :
x2
+ y2 + 2y = 0
S3 :
z
= 0
x
y
z
,
P
(x, y, z) ∈ V ⇔
− −2y − y2 ≤ x ≤
−2y − y2
−2
≤ y ≤
0
0
≤ z ≤
x2
+ y2
Zatem
,
V
=
V
∫∫ ∫
dxdydz
gdzie
.
V
=
(x, y, z) ∈ R3 :
− −2y − y2 ≤ x ≤
−2y − y2
−2
≤ y ≤
0
0
≤ z ≤ x2 + y2
x
y
9
Poniewa
ż
obszar V jest normalny wzgl
ę
dem płaszczyzny OXY , zatem
V
=
V
∫ ∫ ∫
dxdydz
=
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
x
2
+y
2
0
∫
dz
dx
dy
=
=
=
.
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
[z]
x
2
+ y
2
0
dx
dy
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
x2
+ y2
dx
dy
Poniewa
ż
obszar D jest normalny wzgl
ę
dem osi OY , zatem
=
=
V
=
−2
0
∫
− −2y−y
2
−2y−y
2
∫
x2
+ y2
dx
dy
−2
0
∫
x3
3
+ x ⋅ y2
− −2y−y
2
−2y−y
2
dy
=
=
−2
0
∫
−2y−y
2
3
3
+
−2y − y
2
⋅ y
2
−
− −2y−y
2
3
3
+
− −2y − y
2
⋅ y
2
dy
=
.
2
−2
0
∫
−2y−y
2
3
3
+
−2y − y2
⋅ y2
dy
Wobec zło
ż
onej postaci wyra
ż
enia podcałkowego zastosujmy twierdzenie
o zamianie zmiennych w całce podwójnej:
,
x
= r cos ϕ
y
= r sin ϕ
wówczas
czyli
,
x2
+ y2 + 2y ≤ 0
r2
+ 2r sin ϕ ≤ 0
dla
.
0
≤ r ≤ −2 sin ϕ
π
≤ ϕ ≤
2
π
10
Zatem
=
D
∫∫
x2
+ y2
dxdy
=
2
π
π
∫
−2 sin ϕ
0
∫
r3
dr
d
ϕ =
2
π
π
∫
r4
4
0
−2 sin ϕ
d
ϕ
=
2
π
π
∫
[−2 sin ϕ]4
4
d
ϕ = 4
2
π
π
∫
sin4
ϕ dϕ = 4
2
π
π
∫
1
− cos 2ϕ
2
2
d
ϕ =
=
=
=
2
π
π
∫
1
− 2 cos 2ϕ + cos22ϕ
d
ϕ
2
π
π
∫
1
− 2 cos 2ϕ +
1
+ cos 4ϕ
2
d
ϕ
=
+
ϕ − sin 2ϕ +
ϕ +
sin 4
ϕ
4
2
π
2
π
=
2
π − sin (2 ⋅ 2π) +
2
π +
sin (4
⋅2π)
4
2
-
=
-
.
π − sin (2 ⋅ π) +
π +
sin (4
⋅π)
4
2
2
π + 2π
2
π + π
2
= π − π
2
= π
2
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
1.
, gdzie
,
V
∫ ∫ ∫
ex dxdydz
V
=
obszar ograniczony powierzchniami
x
= o,
y
= 2,
x
= ln y, z = 0, z = 1
2.
,
V
∫ ∫ ∫
2y dxdy dz, gdzie V
=
obszar ograniczony powierzchniami
y
= x ,
y
= 0,
x
+ y = 2, z = 0, z = 2
3.
,
V
∫ ∫
x2
+ y2 + z2
dxdydz , gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 4, z = 0, z = 4
4.
,
V
∫ ∫ ∫
2 dxdzdy ,
gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 4, z = 0, z = x2 + y2
5.
,
V
∫ ∫ ∫
dzdxdy ,
gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = −2y, z = 0, z = −x2 − y2
6.
,
V
∫ ∫ ∫
dxdzdy , gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = −2x + 2y, z = 0, z = x2 + y2
11
7.
,
V
∫ ∫ ∫
x2
+ y2 dxdydz ,
gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
z
= x2 + y2, x2 + y2 = 2x, z = 0
8.
V
∫ ∫ ∫
1
+ x2 + y2 + z2 dxdydz , gdzieV =
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 4, z = 0, z = 1
,
9.
V
∫ ∫ ∫
x2
+ y2 + z2 dxdzdy , gdzie V =
obszar ograniczony pow.
z
= 1, z = 2, x2 + y2 = 1
,
10.
,
V
∫ ∫ ∫
1
x2
+ y2 + z2
dxdydz , gdzie V
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 9, z = 0, z = x2 + y2
11.
.
V
∫ ∫ ∫
1
1
+ x2 + y2 + z2
dxdzdy , gdzieV
=
obszar ograniczony pow.
x2
+ y2 = 9, z = 1, z = x2 + y2
12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Calka potrojna
C 08 Całka potrójna
Całka potrójna
calka potrojna
całka potrójna
Calka potrojna przyklady
12 Całka potrójna
Całka potrójna
Microsoft Word W20 Calka potrojna
Calka potrojna
Microsoft Word L20 calka potrojna
całka potrójna
całka podwójna i potrójna
więcej podobnych podstron