1
CAŁKA POTRÓJNA
1. Obliczyć całkę po prostopadłościanie.
(a)
P
z
y
dxdydz
xe
2
5
, gdzie
}
2
0
1
3
1
)
{(
5
1
z
,
y
,
x
:
x,y,z
P
(b)
P
dxdydz
yz
x
3
2
, gdzie
}
2
0
3
2
4
1
)
{(
z
,
y
,
x
:
x,y,z
P
(c)
P
dxdydz
z
y
x
)
(
,
2
,
,
0
:
z
y
x
P
(d)
P
dxdydz
z
x
4
1
, gdzie
}
2
0
7
4
4
0
:
)
,
,
{(
z
,
y
,
x
z
y
x
P
2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami.
(a)
4
2
2
y
x
,
1
z
,
5
z
(b)
2
2
2
y
x
z
,
3
z
(c)
4
2
z
y
x
,
0
,
,
z
y
x
(d)
2
2
4
y
x
z
,
5
z
(e)
2
2
2
2
y
x
z
,
2
2
6
y
x
z
3. Obliczyć całkę po obszarze
ograniczonym podanymi powierzchniami.
(a)
dxdydz
y
x
)
1
(
2
2
, gdzie
:
16
2
2
y
x
,
0
z
,
4
z
(b)
zdxdydz
, gdzie
:
2
2
4
y
x
z
,
5
z
(c)
dxdydz
y
x
)
(
2
2
, gdzie
:
0
2
2
2
z
y
x
,
2
z
(d)
dxdydz
xyz
, gdzie
:
2
2
y
x
z
,
2
2
1
y
x
z
,
0
,
y
x
(e)
dxdydz
xz
, gdzie
:
1
2
2
2
z
y
x
,
0
,
0
,
0
z
y
x
4. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę po obszarze
ograniczonym
podanymi powierzchniami oraz uwzględniając podane warunki.
(a)
dxdydz
z
y
x
)
(
2
2
2
, gdzie
:
4
2
2
2
z
y
x
,
0
z
(b)
dxdydz
z
y
x
2
3
2
2
)
(
2
, gdzie
:
2
2
9
y
x
z
,
0
z
,
x
y
(c)
dxdydz
yz
, gdzie
:
9
2
2
2
z
y
x
,
0
y
,
0
z
(d)
dxdydz
x
, gdzie
:
4
2
2
2
z
y
x
,
0
x
,
0
,
z
y
Odpowiedzi.
1 (a)
2
4
5
2
)
1
(
e
e
(b)
210
(c)
24
(d)
64
2
52
2 (a)
24
(b)
2
25
(c)
3
16
(d)
324
(e)
4
6
2
3. (a)
6
2
9
(b)
81
(c)
3
16
(d)
48
1
(e)
15
1
4. (a)
6
5
1
2
(b)
5
2
1
3
(c)
4
5
2
3
(d)
3
8