1

CAŁKA POTRÓJNA

1. Obliczyć całkę po prostopadłościanie.

(a)





P

z

y

dxdydz

xe

2

5

, gdzie

}

2

0

1

3

1

)

{(

5

1















z

,

y

,

x

:

x,y,z

P

(b)



P

dxdydz

yz

x

3

2

, gdzie

}

2

0

3

2

4

1

)

{(















z

,

y

,

x

:

x,y,z

P

(c)







P

dxdydz

z

y

x

)

(

,

2

,

,

0

:





z

y

x

P

(d)





P

dxdydz

z

x

4

1

, gdzie

}

2

0

7

4

4

0

:

)

,

,

{(















z

,

y

,

x

z

y

x

P

2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

(a)

4

2

2





y

x

,

1





z

,

5



z

(b)

2

2

2







y

x

z

,

3



z

(c)

4

2







z

y

x

,

0

,

,



z

y

x

(d)

2

2

4

y

x

z







,

5





z

(e)

2

2

2

2

y

x

z







,

2

2

6

y

x

z









3. Obliczyć całkę po obszarze



ograniczonym podanymi powierzchniami.

(a)









dxdydz

y

x

)

1

(

2

2

, gdzie



:

16

2

2





y

x

,

0



z

,

4



z

(b)





zdxdydz

, gdzie



:

2

2

4

y

x

z







,

5





z

(c)







dxdydz

y

x

)

(

2

2

, gdzie



:

0

2

2

2







z

y

x

,

2



z

(d)





dxdydz

xyz

, gdzie



:

2

2

y

x

z





,

2

2

1

y

x

z







,

0

,



y

x

(e)





dxdydz

xz

, gdzie



:

1

2

2

2







z

y

x

,

0

,

0

,

0







z

y

x

4. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę po obszarze



ograniczonym

podanymi powierzchniami oraz uwzględniając podane warunki.

(a)









dxdydz

z

y

x

)

(

2

2

2

, gdzie



:

4

2

2

2







z

y

x

,

0



z

(b)









dxdydz

z

y

x

2

3

2

2

)

(

2

, gdzie



:

2

2

9

y

x

z









,

0



z

,

x

y



(c)





dxdydz

yz

, gdzie



:

9

2

2

2







z

y

x

,

0



y

,

0



z

(d)





dxdydz

x

, gdzie



:

4

2

2

2







z

y

x

,

0



x

,

0

,



z

y

Odpowiedzi.

1 (a)

2

4

5

2

)

1

(



e

e

(b)

210

(c)

24

(d)

64

2

52



2 (a)



24

(b)



2

25

(c)

3

16

(d)



324

(e)

4

6

2



3. (a)



6

2

9



(b)



81



(c)



3

16

(d)

48

1



(e)

15

1

4. (a)



6

5

1

2

(b)



5

2

1

3

(c)

4

5

2

3

(d)

3

8