EiT, sem.III, studia zaoczne, 2006/07.
Ca lka potrójna.
1. Obliczyć ca lke potrójna w prostopad lościanie V = {0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ 3}:
,
,
a) RRR (x + y + z) dx dy dz,
b) RRR (x + y + z)2 dx dy dz,
c) RRR 2xex2+y+z dx dy dz.
V
V
V
2. Obliczyć objetość bry ly ograniczonej powierzchniami:
,
a) x2 + y2 = 4, z = 0 i z = 12 − 3x − 4y; b) x2 + y2 = 4, z = 0 i z = 4 − x2 − y2; c) x2 + y2 = 4, z = 0 i z = 8 − px2 + y2; d) z = x2 + y2 i z = 4 − x2 − y2;
p
e) z = x2 + y2 i z =
4 − x2 − y2;
f) z = x2 + y2 i z = 8 − px2 + y2;
g) z = x2 + y2, x2 + y2 = 1 i z = 0;
h) x2 + y2 + z2 = 9 i x2 + y2 + z2 − 4z = 5; i) x2 + y2 + z2 = 9 i z2 = x2 + y2.
Z Z Z
3. Obliczyć
zdx dy dz, jeżeli Ω jest obszarem ograniczonym p laszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
Ω
4. Obliczyć ca lke potrójna
,
,
Z Z Z
p
a)
z
x2 + y2dx dy dz na obszarze Ω ograniczonym p laszczyznami wspó lrzednych oraz powierzchniami x2+y2−2z = 0
,
Ω
i x2 + y2 + z2 − 3 = 0, jeśli x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; Z Z Z
b)
zdx dy dz, na obszarze Ω ograniczonym powierzchniami x2 + y2 + z2 − 1 = 0 i x2 + y2 + z2 − 2z = 0; Ω
Z Z Z
yzdx dy dz
c)
na obszarze Ω ograniczonym powierzchniami z2 = x2 + y2, x = 0, y = 0 i z = 1, jeśli x ≥ 0, y ≥ 0, Ω 4 − x2 − y2
z ≥ 0.