Całka potrójna

Zad.1. Obliczyć całki potrójne po wskazanych obszarach:

1.

∫∫∫

V

zdxdydz

y

x

sin

2

, gdzie

(

)













≤

≤

≤

≤

−

≤

≤

∈

=

2

0

,

1

1

,

1

0

:

,

,

3

π

z

y

x

R

z

y

x

V

,

2.

∫∫∫

V

yz

dxdydz

x

ln

, gdzie

(

)

{

}

3

2

,

2

1

,

1

:

,

,

3

≤

≤

≤

≤

≤

≤

∈

=

z

y

e

x

R

z

y

x

V

,

3.

∫∫∫

V

xydxdydz , gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

0

=

y

,

x

y

=

,

2

9

z

x

−

=

,

4.

(

)

∫∫∫

+

V

dxdydz

y

x

2

2

, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

2

2

y

x

z

+

=

,

0

=

z

,

1

=

y

,

2

x

y

=

.

Zad.2. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:

1.

∫∫∫

V

dxdydz

x

2

, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

2

2

9

y

x

z

−

−

=

,

0

=

z

,

2.

∫∫∫

V

dxdydz

z

2

, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

2

2

9

y

x

z

−

−

=

,

2

2

y

x

z

+

=

,

3.

(

)

∫∫∫

+

V

dxdydz

y

x

2

2

, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

2

2

2

y

x

z

+

=

,

8

=

z

.

Zad.3. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach::

1.

∫∫∫

+

+

V

dxdydz

z

y

x

z

2

2

2

2

, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

2

2

4

y

x

z

−

−

=

,

0

=

z

,

2.

∫∫∫

+

+

V

dxdydz

z

y

x

2

2

2

1

, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

4

2

2

2

=

+

+

z

y

x

,

1

2

2

2

=

+

+

z

y

x

,

3.

(

)

∫∫∫

+

V

dxdydz

y

x

2

2

, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami

2

2

9

y

x

z

−

−

=

,

2

2

y

x

z

+

=

.

Zad.4. Obliczyć

objętość

bryły ograniczonej powierzchniami:

1.

12

4

6

3

=

+

+

z

y

x

,

0

=

x

,

0

=

y

,

0

=

z

, 2.

1

2

2

=

+

z

y

,

x

y

=

,

0

=

x

,

3.

16

2

2

2

=

+

+

z

y

x

,

x

y

x

4

2

2

=

+

, 4.

9

2

2

2

=

+

+

z

y

x

,

2

2

y

x

z

+

=

,

5.

2

2

y

x

z

+

=

,

2

2

1

2

y

x

z

−

−

=

,

6.

2

2

y

x

z

+

=

,

2

2

2

y

x

z

−

−

=

.

Zad.5. Prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat na płaszczyźnie XOY o

wierzchołkach A(1,0), B(3,1), C(2,3), D(0,2) rozcięto płaszczyzną

1

2

1

4

1

8

1

=

+

+

z

y

x

.

Obliczyć objętość dolnej części prostopadłościanu.

Zad.6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią walcową

2

2

2

4

1

2

1

a

a

y

x

=













−

+

i

sferą o równaniu

2

2

2

2

a

z

y

x

=

+

+

,

(

)

0

>

a

.