Lista nr 2

EiT, sem.III, studia zaoczne, 2006/07.

Ca lka potr´

ojna.

1. Obliczy´

c ca lk

,

e potr´

ojn

,

a w prostopad lo´

scianie V = {0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ 3}:

a)

RRR

V

(x + y + z) dx dy dz,

b)

RRR

V

(x + y + z)

2

dx dy dz,

c)

RRR

V

2xe

x

2

+y+z

dx dy dz.

2. Obliczy´

c obj

,

eto´

s´

c bry ly ograniczonej powierzchniami:

a) x

2

+ y

2

= 4, z = 0 i z = 12 − 3x − 4y;

b) x

2

+ y

2

= 4, z = 0 i z = 4 − x

2

− y

2

;

c) x

2

+ y

2

= 4, z = 0 i z = 8 −

p

x

2

+ y

2

;

d) z = x

2

+ y

2

i z = 4 − x

2

− y

2

;

e) z = x

2

+ y

2

i z =

p

4 − x

2

− y

2

;

f) z = x

2

+ y

2

i z = 8 −

p

x

2

+ y

2

;

g) z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

= 1 i z = 0;

h) x

2

+ y

2

+ z

2

= 9 i x

2

+ y

2

+ z

2

− 4z = 5;

i) x

2

+ y

2

+ z

2

= 9 i z

2

= x

2

+ y

2

.

3. Obliczy´

c

Z Z Z

Ω

zdx dy dz, je˙zeli Ω jest obszarem ograniczonym p laszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

4. Obliczy´

c ca lk

,

e potr´

ojn

,

a

a)

Z Z Z

Ω

z

p

x

2

+ y

2

dx dy dz na obszarze Ω ograniczonym p laszczyznami wsp´

o lrz

,

ednych oraz powierzchniami x

2

+y

2

−2z = 0

i x

2

+ y

2

+ z

2

− 3 = 0, je´sli x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0;

b)

Z Z Z

Ω

zdx dy dz, na obszarze Ω ograniczonym powierzchniami x

2

+ y

2

+ z

2

− 1 = 0 i x

2

+ y

2

+ z

2

− 2z = 0;

c)

Z Z Z

Ω

yzdx dy dz

4 − x

2

− y

2

na obszarze Ω ograniczonym powierzchniami z

2

= x

2

+ y

2

, x = 0, y = 0 i z = 1, je´

sli x ≥ 0, y ≥ 0,

z ≥ 0.