1

Pole trapezu krzywoliniowego

a = x

0

< x

1

< x

2

< . . . < x

i

< x

i+1

< . . . < x

n

= b

∆x

i

= x

i+1

− x

i

x

∗

i

∈ (x

i

, x

i+1

)

2

Pole prostokąta o podstawie ∆x

i

= f (x

∗

i

) · ∆x

i

|P | − Pole trapezu krzywoliniowego

|P | ≈

n−1

X

i=0

f (x

∗

i

) · ∆x

i

Oznaczenie: δ = max { ∆x

i

: i = 0, 1, . . . , n − 1 }

3

Całka oznaczona

Definicja

Założmy, że funkcja

f

jest funkcją ograniczoną na

przedziale

[a, b]

. Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji

f

na

przedziale

[a, b]

definiujemy wzorem:

b

Z

a

f (x) dx = lim

δ→0

n−1

X

i=0

f (x

∗

i

) · ∆x

i

o ile granica ta istnieje i jest niezależna od sposobu podziału odcinka

[a, b]

i wyboru punktów

x

∗

i .

Funkcję

f

nazywamy wówczas funkcją całkowalną w sensie Riemanna.

Krańce przedziału

[a, b]

nazywamy odpowiednio - dolną i górną

granicą całkowania.

4

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

• Jeżeli

f

jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale

[a, b]

, to

b

Z

a

f (x) dx = |P |.

5

• Jeżeli

f

jest funkcją ciągłą i ujemną na przedziale

[a, b]

, to

b

Z

a

f (x) dx = − |P |.

6

Przykład

Oblicz z definicji całkę oznaczoną:

b

Z

a

dx.

Przykład

(Funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna)

Wykaż, że funkcja Dirichleta

D(x) =











































1

x ∈ Q

0

x ∈ R r Q

nie jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna w dowolnym przedziale

[a, b]

.

7

Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna

Twierdzenie

Każda funkcja ciągła na przedziale

[a, b]

jest na

tym przedziale całkowalna w sensie Riemanna.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja

f

jest ograniczona na przedziale

[a, b]

i ma w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości

(pierwszego rodzaju), to jest na tym przedziale całkowalna w sensie

Riemanna.

8

Własności całki oznaczonej

Uwaga

Pisząc w poniższych twierdzeniach całkę:

b

Z

a

f (x) dx

zakładamy automatycznie, że funkcja

f

jest funkcją całkowalną w

sensie Riemanna na przedziale

[a, b]

.

•

a

Z

a

f (x) dx = 0

•

b

Z

a

f (x) dx = −

a

Z

b

f (x) dx

9

•

b

Z

a

c · f (x) dx = c ·

b

Z

a

f (x) dx,

c ∈ R

•

b

Z

a

( f (x) ± g(x) ) dx =

b

Z

a

f (x) dx ±

b

Z

a

g(x) dx

•

b

Z

a

f (x) dx =

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx,

c ∈ (a, b)

• Jeżeli funkcja

f

jest funkcją nieujemną na przedziale

[a, b]

, to

b

Z

a

f (x) dx > 0.

10

• Jeżeli dla każdego

x ∈ [a, b]

zachodzi nierówność

f (x) 6 g(x)

,

to

b

Z

a

f (x) dx 6

b

Z

a

g(x) dx.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja

f

jest funkcją całkowalną w sensie

Riemanna na przedziale

[a, b]

, to istnieją takie stałe rzeczywiste

m

i

M

, że

m (b − a) 6

b

Z

a

f (x) dx 6 M (b − a).

11

Uwaga

Jeżeli funkcja

f

jest funkcją ciągłą na przedziale

[a, b]

,

to w powyższym twierdzeniu można przyjąć

m =

min

x∈[a,b]

f (x)

M =

max

x∈[a,b]

f (x).

Twierdzenie

(O wartości średniej)

Jeżeli funkcja

f

jest funkcją ciągłą na przedziale

[a, b]

, to istnieje

punkt

c ∈ [a, b]

taki, że

b

Z

a

f (x) dx = f (c) (b − a).

12

Przykład

Korzystając z twierdzenia o wartości średniej oszacuj

całkę

1

Z

0

s

1 + x

4

dx.

13

Uwaga

Niech

a > 0

.

• Jeżeli funkcja

f

jest całkowalna i nieparzysta na przedziale

[−a, a]

, to

a

Z

−a

f (x) dx = 0.

14

• Jeżeli funkcja

f

jest całkowalna i parzysta na przedziale

[−a, a]

,

to

a

Z

−a

f (x) dx = 2 ·

a

Z

0

f (x) dx.

15

• Jeżeli funkcja

f

jest okresowa z okresem

T > 0

i całkowalna

na każdym skończonym przedziale, to

a+T

Z

a

f (x) dx =

T

Z

0

f (x) dx.

Przykład

Korzystając z powyższych stwierdzeń oblicz całki:

a)

1

Z

−1

x

2012

ln

3 − x

3 + x

dx

b)

101π

Z

99π

sin x dx.

16

Całka oznaczona a całka nieoznaczona

Niech

f

będzie funkcją ciągłą na

[a, b]

. Wówczas dla dowolnego

x ∈ [a, b]

funkcja

f

jest całkowalna na

[a, x]

.

Oznaczmy:

Φ(x) =

x

Z

a

f (t) dt.

Wówczas:

•

Φ

jest funkcją zmiennej

x ∈ [a, b]

•

Φ

jest funkcją ciągłą

•

Φ

jest funkcją różniczkowalną i

Φ

0

(x) =

d

dx

x

Z

a

f (t) dt = f (x).

17

• Zatem

Φ

jest funkcją pierwotną dla funkcji

f

taką, że

Φ(a) =

a

Z

a

f (t) dt = 0

Φ(b) =

b

Z

a

f (t) dt.

Niech

Z

f (x) dx = F (x) + C.

Wówczas istnieje stała

C

0 taka, że

Φ(x) = F (x) + C

0

dla dowolnego

x ∈ [a, b]

.

18

Twierdzenie

(Leibnitza - Newtona)

Jeżeli funkcja

f

jest ciągła na

[a, b]

a

F

jest funkcją pierwotną

dla funkcji

f

, to

b

Z

a

f (x) dx = F (b) − F (a).

Wzór powyższy nosi nazwę podstawowego wzoru rachunku całkowego

i wyraża związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.

Oznaczenie:

b

Z

a

f (x) dx = F (x)

b

a

= F (b) − F (a)

19

Przykład

Oblicz całkę oznaczoną:

a)

π

4

Z

0

cos 2x dx

b)

3

Z

2

dx

x

2

− 1

dx

c)

3

Z

1

|x − 2| dx

Twierdzenie

(Całkowanie przez podstawianie)

Jeżeli:

• funkcja

ϕ : [α, β]

na

→ [a, b]

ma ciągłą pochodną w przedziale

[α, β]

•

ϕ(α) = a

i

ϕ(β) = b

• funkcja

f

jest ciągła na

[a, b]

,

to

β

Z

α

f (ϕ(t)) ϕ

0

(t) dt =

b

Z

a

f (x) dx.

20

Przykład

Oblicz całkę oznaczoną:

a)

3

Z

1

x

3

s

9 − x

2

dx

b)

0

Z

−1

x

2

e

−x

3

dx

c)

2

π

Z

1

π

sin

1

x

x

2

dx

Twierdzenie

(Całkowanie przez części)

Załóżmy,

że

funkcje

f

i

g

są

różniczkowalne

a

f

0

,

g

0

są funkcjami ciągłymi w przedziale

[a, b]

. Wówczas

b

Z

a

f (x) · g

0

(x) dx = f (x) · g(x)

b

a

−

b

Z

a

f

0

(x) · g(x) dx.

21

Przykład

Oblicz całkę oznaczoną:

a)

π

2

Z

0

x sin 2x dx

b)

e

Z

1

e

x | ln x| dx

22

Całki niewłaściwie

Całki niewłaściwie pierwszego rodzaju (na przedziale nieograniczonym)

Definicja

Założmy, że funkcja

f

jest funkcją określoną na

przedziale

[a, +∞)

i całkowalną na dowolnym przedziale

[a, A]

.

Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na

[a, +∞)

definiujemy

wzorem:

+∞

Z

a

f (x) dx =

lim

A→+∞

A

Z

a

f (x) dx.

Jeżeli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, że

całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje, badź jest

równa

±∞

, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

23

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na

(−∞, b]

, tj.

b

Z

−∞

f (x) dx =

lim

B→−∞

b

Z

B

f (x) dx.

Przykład

Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:

a)

+∞

Z

0

x dx

1 + x

2

b)

+∞

Z

1

e

−x

dx

c)

1

Z

−∞

dx

1 + x

2

d)

π

Z

−∞

cos x dx

24

Definicja

(Całki niewłaściwej na prostej)

Założmy, że funkcja

f

jest funkcją określoną na przedziale

(−∞, +∞)

i całkowalną na

dowolnym przedziale ograniczonym. Całkę niewłaściwą pierwszego

rodzaju na

(−∞, +∞)

definiujemy wzorem:

+∞

Z

−∞

f (x) dx =

c

Z

−∞

f (x) dx +

+∞

Z

c

f (x) dx,

gdzie

c

jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Całka niewłaściwa na prostej jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy

jednocześnie zbieżne są obie całki: na

(−∞, c]

i na

[c, +∞)

.

Przykład

Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:

+∞

Z

−∞

dx

x

2

+ 4x + 5

.

25

Całki niewłaściwie drugiego rodzaju (z funkcji nieograniczonej)

Definicja

Założmy, że funkcja

f

jest funkcją:

• określoną na przedziale

(a, b]

,

• całkowalną na dowolnym przedziale

[A, b]

, gdzie

a < A < b

,

• nieograniczoną na każdym przedziale

(a, A)

, co wyrażamy mówiąc,

że punkt

a

jest punktem osobliwym funkcji

f

.

Wówczas:

b

Z

a

f (x) dx =

lim

A→a

+

b

Z

A

f (x) dx.

Jeżeli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, że

całka niewłaściwa jest zbieżna.

26

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji

f

określonej na przedziale

[a, b)

i nieograniczonej w lewostronnym

sąsiedztwie punktu

b

, tj.

b

Z

a

f (x) dx =

lim

B→b

−

B

Z

a

f (x) dx.

Przykład

Zbadaj zbieżność całki niewłaściwej:

a)

4

π

Z

0

sin

1

x

x

2

dx

b)

e

Z

1

1

x

3

√

ln x

dx

c)

1

Z

0

dx

x

2

− 1

d)

π

6

Z

0

cos x

√

1 − 2 sin x

dx

27

Definicja

Założmy, że funkcja

f

jest funkcją:

• określoną na przedziale

(a, b)

,

• całkowalną

na

dowolnym

przedziale

[A, B]

,

gdzie

a < A < B < b

,

• nieograniczoną na każdym przedziale

(a, A)

i

(B, b)

Wówczas:

b

Z

a

f (x) dx =

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx,

gdzie

c ∈ (a, b)

.

Całka ta jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbieżne

są obie całki: na

(a, c]

i na

[c, b)

.

28

Definicja

Założmy, że funkcja

f

jest funkcją:

• określoną na zbiorze

[a, c) ∪ (c, b]

,

• całkowalną na każdym przedziale

[a, C

1

]

i

[C

2

, b]

, gdzie

a < C

1

< c < C

2

< b

,

• nieograniczoną w sąsiedztwie punktu

c

.

Wówczas:

b

Z

a

f (x) dx =

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx,

gdzie

c ∈ (a, b)

.

Całka ta jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbieżne

są obie całki: na

[a, c)

i na

(c, b]

.

29

Przykład

Oblicz całkę niewłaściwą:

a)

3

Z

1

1

√

−x

2

+ 4x − 3

dx

b)

2

Z

0

1

s

|1 − x

2

|

dx