Całka powierzchniowa niezorientowana

(całka powierzchniowa funkcji skalarnej)

Niech S – płat powierzchniowy,

)

,

(

:

y

x

f

z

S

=

,

gdzie

D

∈

)

,

(

y

x

,

F – pole skalarne określone na

płacie S

o wartościach w zbiorze R,

R

S

F

→

:

,

)

(S

C

F

∈

.

Wtedy

•

płat S dzielimy na n płatów

1

S

∆

,

2

S

∆

,…,

n

S

∆

o polach

i

S

∆

dla i=1,2,…,n

•

w każdym z płatów

i

S

∆

wybieramy po jednym punkcie

i

M

, i=1,…,n

•

tworzymy sumę

i

n

i

i

n

S

M

F

∆

⋅

=

∑

=

1

)

(

σ

Definicja

Jeśli przy

∞

→

n

, i przy

n

i

,...,

1

max

=

0



 →



∆

∞

→

n

i

S

istnieje granica

n

n

σ

∞

→

lim

niezależna od sposobu

podziału płata i wyboru punktów M

i

, to granicę tę nazywamy całką powierzchniową

niezorientowaną funkcji F po płacie S i oznaczamy

.

)

,

,

(

dS

z

y

x

F

S

∫∫

Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)

Niech S – gładki płat powierzchniowy zadany równaniem

)

,

(

y

x

f

z

=

, gdzie

D

∈

)

,

(

y

x

,

)

(S

C

F

∈

.

Wtedy

.

)

,

(

)

,

(

1

))

,

(

,

,

(

)

,

,

(

2

'

2

'

dxdy

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

F

dS

z

y

x

F

S

D

y

x

∫∫

∫∫

+

+

⋅

=

Można sformułować analogiczne dwa twierdzenia:

Twierdzenie 2

Jeśli S – gładki płat powierzchniowy zadany równaniem

)

,

(

z

x

g

y

=

, gdzie

D

∈

)

,

(

z

x

,

oraz

)

(S

C

F

∈

,

to

.

)

,

(

)

,

(

1

)

),

,

(

,

(

)

,

,

(

2

'

2

'

dxdz

z

x

g

z

x

g

z

z

x

g

x

F

dS

z

y

x

F

S

D

z

x

∫∫

∫∫

+

+

⋅

=

Twierdzenie 3

Jeśli

S – gładki płat powierzchniowy zadany równaniem

)

,

(

z

y

h

x

=

, gdzie

D

∈

)

,

(

z

y

,

5

x

y

z

D

∆

S

M

S: z=f(x,y)

i

i

oraz

)

(S

C

F

∈

.

to

.

)

,

(

)

,

(

1

)

,

),

,

(

(

)

,

,

(

2

'

2

'

dydz

z

y

h

z

y

h

z

y

z

y

h

F

dS

z

y

x

F

S

D

y

y

∫∫

∫∫

+

+

⋅

=

Twierdzenie 4 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)

Niech S – gładki płat powierzchniowy dany równaniami parametrycznymi









=

=

=

)

,

(

)

,

(

)

,

(

:

v

u

z

z

v

u

y

y

v

u

x

x

S

,

Ω

∈

)

,

( v

u

oraz niech

)

(S

C

F

∈

. Wtedy

dudv

n

v

u

z

v

u

y

v

u

x

F

ds

z

y

x

F

S

→

Ω

⋅

=

∫∫

∫∫

))

,

(

),

,

(

),

,

(

(

)

,

,

(

,

gdzie

→

n

jest wektorem normalnym odpowiadającym powyższej parametryzacji,

Definicja

Niech S – powierzchnia regularna

n

S

S

S

S

...

2

1

∪

∪

=

, gdzie

i

S

- płat gładki, i=1,…,n.

Wtedy definiujemy

∫∫

∑∫∫

=

=

S

n

i

S

i

FdS

FdS

1

:

.

Interpretacja geometryczna i fizyczna całki powierzchniowej niezorientowanej

1.

∫∫

=

⇒

≡

S

S

dS

F

1

- pole płata powierzchniowego S.

2.

ρ

- gęstość powierzchniowa masy płata S

⇒

∫∫

S

dS

ρ

- masa płata S.

Przykład

6

.

ˆ

ˆ

ˆ

det

2

'

'

'

'

2

'

'

'

'

2

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

v

v

u

u

v

v

u

u

v

v

u

u

v

v

v

u

u

u

y

x

y

x

x

z

x

z

z

y

z

y

z

y

x

z

y

x

k

j

i

n

+

+

=





















=

→

x

y

z

D

2

2

4

S

Obliczyć

(

)

∫∫

+

+

S

dS

z

y

x

2

2

, gdzie

S jest częścią parabolidy

2

2

z

y

x

+

=

wyciętej walcem

4

2

2

=

+

z

y

.

Na podstawie twierdzenia 3 o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę
podwójną

(

)

(

)

(

)

(

)

,

,

,

1

,

),

,

(

,

,

2

'

2

'

dydz

z

y

x

z

y

x

z

y

z

y

x

F

dS

z

y

x

F

z

y

S

D

+

+

⋅

=

∫∫

∫∫

zatem

( )

( )

[ ]

[ ] [ ]

( )

1

17

23

30

15

2

3

17

5

17

4

3

1

5

1

2

8

1

2

4

1

2

1

4

4

1

4

1

4

1

2

sin

cos

4

4

1

2

)

(

3

3

5

17

1

3

17

1

5

17

1

2

17

1

4

2

17

1

2

2
0

2

2

2

2

0

2

0

2

2

2),

0,

0(

2

2

2

2

2

2

+

=

=












+

−

=











−

⋅

=












−

⋅

=

=







 −

⋅

=

=

+=

+

=

=

+

=

=

=

=

=

+

+

⋅

+

=

+

+

∫

∫

∫

∫ ∫

∫∫

∫∫

π

π

π

π

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

π

π

t

t

dt

t

dt

t

dt

t

t

rdr

tdt

r

t

r

t

rdr

r

r

d

r

x

r

y

dydz

z

y

z

y

ds

z

y

x

K

S

Przykład *

Obliczyć

∫∫

S

zdS

, gdzie

2

2

2

2

:

R

z

y

x

S

=

+

+

,

0

>

R

,

0

≥

z

.

Ponieważ S jest półsferą, więc wygodnie jest wykorzystać współrzędne sferyczne do
uzyskania parametryzacji sfery,

7

http://notatek.pl/calka-powierzchniowa-niezorientowana?notatka