04. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

2 WERYFIKACJA

(TESTOWANIE)

HIPOTEZ

STATYSTYCZNYCH

Istnieją dwie formy wnioskowania statystycznego:

•

estymacja (ocena nieznanych parametrów lub ich funkcji, które charakteryzują

rozkład badanej cechy populacji),

•

weryfikacja postawionych hipotez statystycznych (badanie ich prawdziwości).

WERYFIKACJA (TESTOWANIE) HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH – sprawdzanie

prawdziwości hipotezy statystycznej w oparciu o wyniki próby losowej.

•

hipotezy parametryczne – hipotezy dotyczące wartości parametru rozkładu (

m, σ

),

•

hipotezy nieparametryczne – hipotezy dotyczące postaci rozkładu.

Hipoteza statystyczna – dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu populacji.

Weryfikacja hipotezy polega na zastosowaniu testu statystycznego, który buduje się w

zależności od postaci hipotezy zerowej

H

0

i postaci hipotezy alternatywnej

H

1

.

Przy weryfikacji hipotez można popełnić błędy dwojakiego rodzaju:

- błąd pierwszego rodzaju – odrzucenie prawdziwej hipotezy, jego prawdopodobieństwo

to

α

– poziom istotności,

- błąd drugiego rodzaju – przyjęcie fałszywej hipotezy.

Odrzucenie hipotezy w teście statystycznym oznacza, że dane liczbowe z próby dają małą

szansę prawdziwości tej hipotezy. Możliwe jest jednak, że hipoteza jest prawdziwa, ale

dane liczbowe są złe lub mało prawdopodobne przy tej hipotezie.

Test istotności – taki rodzaj testu statystycznego, który na podstawie wyników z próby

losowej pozwala podjąć decyzję jedynie o odrzuceniu hipotezy sprawdzanej lub o braku

podstaw do jej odrzucenia. Nie można na podstawie tego testu podjąć decyzji o przyjęciu

hipotezy zerowej.

W przykładowej nierówności:

{

}

α

α

=

≥

u

U

P

U

– obszar krytyczny,

u

α

– pewna statystyka z

n

-eltowej próby,

α

– poziom istotności.

Ilekroć wartość statystyki znajdzie się w obszarze krytycznym, podejmuje się decyzję o

odrzuceniu hipotezy

H

0

na korzyść hipotezy alternatywnej

H

1

. W przeciwnym wypadku

nie ma podstaw do odrzucenia

H

0

(co nie oznacza jej przyjęcia !!!).

PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

a weryfikacja hipotez dla wartości średniej

m

DLA DUŻEJ PRÓBY

Założenia:

- cecha

X

w populacji generalnej ma charakter rozkładu normalnego,

- znane jest odchylenie standardowe dla populacji –

σ

,

lub przy nieznanym

σ

można

posłużyć się

S

dla dużej próby (!), wówczas formuła:

=ODCH.STANDARD.POPUL(dane)

- próba jest duża

n

>30,

- podana jest wartość poziomu istotności

α.

Testowana hipoteza zerowa

H

0

:

0

0

:

m

m

H

=

m

– średnia w populacji generalnej,

m

0

– konkretna wartość hipotetycznej średniej w populacji generalnej.

Hipoteza alternatywna

H

1

ma trzy warianty:

hipoteza dwustronna

0

1

:

m

m

H

≠

hipoteza prawostronna

0

1

:

m

m

H

>

hipoteza lewostronna

0

1

:

m

m

H

<

Z obliczonej lub podanej wartości statystyki

x

(średnia z próby) należy policzyć wartość

zmiennej normalnej standaryzowanej:

n

m

x

u

σ

0

−

=

Następnie należy policzyć kwantyl

u

α

rozkładu normalnego dla zadanego poziomu

istotności

α

i porównać jego wartość z obliczoną wartością

u

(zbiór krytyczny):

dla hipotezy dwustronnej:

P{|u| > u

α

}

u

α

= ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-

α

/2)

dla hipotezy prawostronnej:

P{u > u

α

}

u

α

= ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-

α

)

dla hipotezy lewostronnej:

P{u < u

α

}

u

α

= ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(

α

)

Jeżeli

u

i

u

α

spełniają odpowiednią nierówność, to znaczy, że na poziomie istotności

α

hipotezę

H

0

należy odrzucić na korzyść hipotezy

H

1

. W przeciwnym wypadku nie ma

podstaw do odrzucenia tej hipotezy.

!!! przy dużych próbach, gdy nieznane jest odchylenie standardowe dla populacji -

σ

,

można zastąpić je odchyleniem standardowym dla próby -

s

.

DLA MAŁEJ PRÓBY

Założenia:

- cecha

X

w populacji generalnej ma charakter rozkładu normalnego,

- znane jest odchylenie standardowe dla próby -

s

,

- próba jest mała

n

≤

30,

- podana jest wartość poziomu istotności

α

.

Hipotezy

H

0

i

H

1

formułowane są podobnie. Stosuje się tu statystykę rozkładu

t-Studenta:

1

0

−

−

−

−

−

−

−

−

=

=

=

=

n

s

x

t

µ

µ

µ

µ

.

Następnie należy policzyć kwantyl

t

α

rozkładu t-Studenta dla zadanego poziomu

istotności

α

i porównać jego wartość z obliczoną wartością

t

(zbiór krytyczny):

dla hipotezy dwustronnej:

P{|t| > t

α

}

t

α

= ROZKŁAD.T.ODW(

α

,

n

-1)

dla hipotezy prawostronnej:

P{t > t

α

}

t

α

= ROZKŁAD.T.ODW(2

α

,

n

-1)

dla hipotezy lewostronnej:

P{t < -t

α

}

t

α

= ROZKŁAD.T.ODW(2

α

,

n

-1)

b weryfikacja hipotez dla dwóch wartości średnich

m

1

i

m

2

– dla dużych

prób

Służy do porównywania średnich w dwóch populacjach, np. porównanie starej i nowej

technologii produkcji wyrobu, porównanie populacji osób chorych do populacji osób

zdrowych.

Założenia:

- cecha X w populacji generalnej ma charakter rozkładu normalnego,

- nieznane są wartości średnie dla obu populacji –

m

1

,

m

2

- znane jest odchylenie standardowe dla populacji –

σ

,

lub przy nieznanym

σ

można

posłużyć się S dla dużej próby (!), wówczas formuła:

=ODCH.STANDARD.POPUL(dane)

- próba jest duża

n

1

+

n

2

>30,

- podana jest wartość poziomu istotności

α

.

Wówczas hipoteza zerowa

H

0

:

2

1

0

:

m

m

H

=

m

1

– wartość średnia dla populacji pierwszej,

m

2

– wartość średnia dla populacji drugiej.

Hipoteza alternatywna

H

1

ma trzy warianty:

hipoteza dwustronna

2

1

1

:

m

m

H

≠

hipoteza prawostronna

2

1

1

:

m

m

H

>

hipoteza lewostronna

2

1

1

:

m

m

H

<

Test istotności buduje się na podstawie wartości średnich

1

x

i

2

x

z dwóch prób (po

jednej z każdej populacji) obliczając statystykę:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

u

σ

σ

+

−

=

o rozkładzie N(0,1).

!!! jeśli wartości odchyleń standardowych

σ

1

i

σ

2

dla populacji generalnych są nieznane, a

próby są bardzo duże (

n

1

+

n

2

>120), to przyjmuje się

σ

1

=s

1

i

σ

2

=s

2

i oblicza statystykę

u

jak powyżej.

Obliczenie kwantyla

u

α

i porównanie go z obszarem krytycznym następuje tak samo, jak

przy testowaniu hipotezy dla jednej wartości średniej dla dużej próby.

c weryfikacja hipotez dla wariancji

σ

2

DLA MAŁEJ PRÓBY

Dla małych prób (

n

≤30) stosuje się rozkład

χ

2

.

Założenia:

- populacja generalna ma rozkład normalny

N

(

m,σ

),

- parametry

m, σ

są nieznane.

Hipoteza zerowa

H

0

:

2

0

2

0

:

σ

σ

=

H

Hipoteza alternatywna

H

1

:

2

0

2

1

:

σ

σ

>

H

!!! z reguły interesuje nas, czy wariancja przekracza ustaloną wartość czy nie, w związku

z tym najczęściej stosuje się obszar krytyczny prawostronny.

Budowa testu.

1. Z wyników

n

-elementowej próby obliczamy wariancję s

2

[

=WARIANCJA.POPUL

]

2. Obliczamy wartość statystyki:

2

0

2

2

σ

χ

s

n ×

=

3. Obliczamy wartość krytyczną

χ

α

2

taką, aby

P{χ ≥ χ

α

}=α

[

=ROZKŁAD.CHI.ODW(

α

;

n

-1)

]

4. Jeśli nierówność

χ

2

≥ χ

α

2

jest spełniona, to hipotezę zerową

H

0

należy odrzucić

na korzyść hipotezy

H

1

. W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia

H

0

(ale nie oznacza to jej przyjęcia).

DLA DUŻEJ PRÓBY

n

>30

Gdy

n

>30, ze statystyki

χ

2

przechodzi się na statystykę

u

rozkładu normalnego:

3

2

2

2

−

−

=

n

u

χ

i porównuje ją z wartością

u

α

, spełniającą

P{u ≥ u

α

}=α

(obszar

prawostronny)

[

=ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-

α

)

]

d weryfikacja hipotez dla dwóch wariancji

σ

1

2

i

σ

2

2

Test ten służy do sprawdzenia, czy rozproszenie danej cechy jest w jednakowe w dwóch

różnych populacjach.

Założenia:

- dane są dwie populacje generalne o rozkładzie normalnym

N

(

m

1

,

σ

1

),

N

(

m

2

,

σ

2

),

- losuje się po jednej próbie z każdej populacji.

Hipoteza zerowa

H

0

:

2

2

2

1

0

:

σ

σ

=

H

Hipoteza alternatywna

H

1

:

2

2

2

1

1

:

σ

σ

>

H

Budowa testu.

1. Z obu prób wyznaczamy wartości odchylenia standardowego

2

1

ˆ

s

i

2

2

ˆ

s

. Przy czym

numerację (

1

i

2

) ustalamy tak, aby

2

2

2

1

ˆ

ˆ

s

s >

.

[

=WARIANCJA.POPUL(dane)

]

2. Wyliczamy wartości statystyki

F

:

2

2

2

1

ˆ

ˆ

s

s

F =

3. Wyliczamy wartość krytyczną F

α

taką, aby

P{F ≥ F

α

}=α

[

=ROZKŁAD.F.ODW(

α

;

n

1

-1

;

n

2

-1

)

]

4. Jeśli nierówność

F ≥ F

α

jest spełniona, to hipotezę zerową

H

0

należy odrzucić na

korzyść hipotezy

H

1

. W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia

H

0

(ale nie oznacza to jej przyjęcia).