SI 07 parametryczne testy istotności dla wariancji


Overview

Wariancja w populacji
Przykład
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Dwie wariancje
Przykład 2
Zadanie 6
Zadanie 7
Zadanie 8


Sheet 1: Wariancja w populacji

Test dla wariancji populacji generalnej








Badając populację generalną w odniesieniu do wybranej cechy mierzalnej niejednokrotnie








zachodzi potrzeba zweryfikowania hipotezy o wariancji jako miary rozrzutu (rozproszenia).








Parametr ten wykorzystuje się przede wszystkim do oceny powtarzalności (jednorodności)








wyników pomiarów.








Przystępując do zastosowania testu dla wariancji zakłada się, że badana cecha mierzalna








ma w populacji rozkład normalny N(m, s), przy czym parametry rozkładu nie są znane.








Z populacji tej losuje się n-elementową próbę, której wyniki stanowią podstawe weryfikacji








hipotezy zerowej H0: s2 = s02, wobec hipotezy alternatywnej H1: s2 > s02, gdzie s02 jest








hipotetyczną wartością wariancji. Taka (jedyna) postać hipotezy alternatywnej (obszar








krytyczny prawostronny) w połączeniu z postacią hipotezy zerowej zakłada, że rozrzut








wyników pomiarów nie może być mniejszy niż teoretycznie możliwy. Problem sprowadza








się zatem do pytania, czy rozproszenie badanej cechy nie jest zbyt duże?








Wykorzystując wyniki pomiarów oblicza się wartość statystyki:















(1)







która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład c2 (chi-kwadrat) o n-1




stopniach swobody.








Jeżeli wartość statystyki c2 znajdzie się w obszarze krytycznym, wyznaczonym








przy założonym z góry poziomie istotności a, podejmuje się decyzję o odrzuceniu








hipotezy H0, w przeciwnym przypadku stwierdza się brak podstaw do jej odrzucenia.








Korzystając zatem z tablic rozkładu c2 o n-1 stopniach swobody ustala się prawdopo-








bieństwo p zdarzenia polegającego na tym, że obserwowana wartość zmiennej c2 jest








nie mniejsza od wartości obliczonej wg wzoru (1). Otrzymaną w ten sposób wartość








p porównuje się z przyjętym z góry poziomem istotności i w przypadku, gdy zajdzie








relacja p  a, hipotezę H0 odrzuca się na korzyść H1, natomiast gdy p > a, odnotowuje








się brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.


















Przykład








Przed przystąpieniem do pomiarów twardości wykonuje się zazwyczaj kontrolną








serię pomiarów na tzw. płytce wzorcowej. Z instrukcji obsługi twardościomierza Rockwella








wynika, że rozrzut pomiarów twardości na płytce wzorcowej, mierzony odchyleniem








standardowym wynosi 0,5 HRC. Sprawdzić na podstawie wyników serii pomiarów








kontrolnych:








26,3 27,0 26,1 28,2 27,3 26,5 26,2 26,9 26,3
czy dostępny twardościomierz jest sprawny? Przyjąć poziom istotności a = 0,05.


















Rozwiązanie








Sformułowano następującą hipotezę zerową H0 i hipotezę alternatywną H1:








H0: s2 = s02








H1: s2 > s02








Obliczono nieobciążony estymator wariancji










0,46
=WARIANCJA(A36:I36)





0,25
kwadrat hipotetycznego odchylenia standardowego





n = 9
liczba pomiarów





c2 = 14,729
wartość statystyki c2 - ze wzoru (1)





a = 0,05
poziom istotności





p = 0,065
=ROZKŁAD.CHI(C47;C46-1)






H0






Ponieważ zaszła relacja p > a, zatem należy stwierdzić brak podstaw do odrzucenia








hipotezy zerowej, co oznacza, że kontrolna seria pomiarów wzorcowych nie dostarczyła








dowodu na niesprawność twardościomierza.



















Sheet 2: Przykład

Przykład











Przed przystąpieniem do pomiarów twardości wykonuje się zazwyczaj kontrolną serię











pomiarów na tzw. Płytce wzorcowej. Z instrukcji obsługi twardościomierza Rockwella wynika, że











rozrzut pomiarów twardości na płytce wzorcowej, mierzony odchyleniem standardowym











wynosi 0,5 HRC. Sprawdzić na podstawie wyników serii pomiarów kontrolnych:












26,3 27,0 26,1 28,2 27,3 26,5 26,2 26,9 26,3


czy dostępny twardościomierz jest sprawny? Przyjąć poziom istotności a = 0,05
























Rozwiązanie











Na podstawie treści przykładu sformułowano hipotezę zerową H0 i hipotezę alternatywną H1.











H0: s2 = s20










H1: s2 > s20










s0 = 0,5
odchylenie standardowe (hipotetyczne)








s20 = 0,25
wariancja hipotetyczna








s2 = 0,46
wariancja oszacowana z wyników próby








n = 9
liczebność próby





c2 = 14,7288888888889
wartość statystyki testowej




a = 0,05
przyjęty z góry poziom istotności




p = 0,064636431619161
obliczony poziom istotności




Decyzja:
H0 - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej























Sheet 3: Zadanie 1

Zadanie 1
Wariancja procentu wykonania normy pracy przez pracowników budowlanych powinna
wynosić s2 = 16,1%2.
Wylosowano 20 robotników, których wariancja wynosiła s2 = 15,6%2. Zweryfikować na
poziomie istotności a = 0,05 hipotezę (H0), że wariancja procentu wykonania normy zakładana
i faktyczna są sobie równe wobec hipotezy alternatywnej (H1), że wariancja faktyczna jest
mniejsza od zakładanej. Przyjmuje się, że rozkład wykonania normy jest normalny.

Sheet 4: Zadanie 2

Zadanie 2
Przy produkcji lamp radiowych zakłada się, że średnie odchylenie czasu wykonania
danego elementu od normy powinno wynosić 12 minut.
Wylosowano 80 stanowisk roboczych, dla których faktyczne odchylenie standardowe
było równe 14,1 min.
Zakładając, że rozkład czasu wykonywania danego elementu jest normalny, zweryfikować
hipotezę zerową, że wariancja faktyczna i hipotetyczna są sobie równe, tj. H0: s2 = s20,
wobec hipotezy alternatywnej (H1) zakładającej, że wariancja faktyczna jest większa od
wariancji hipotetycznej. Przyjąć poziom istotności a = 0,05.

Sheet 5: Zadanie 3

Zadanie 3
Zakłada się, że wariancja temperatury w sterylizatorze nie powinna być większa niż 9,4°2.
Dokonano 80 pomiarów temperatury i stwierdzono, że wariancja wynosi 10,3°2.
Zakładając poziom istotności a = 0,01 zweryfikować hipotezę, że wariancja faktyczna
i ustalona normą są równe, przy hipotezie alternatywnej, według której wariancje są różne.

Sheet 6: Zadanie 4

Zadanie 4
Zmierzono średnice 20 losowo wybranych śrub. Zakłada się, że wariancja długości średnicy
powinna wynosić s20 = 0,03. Obliczona wariancja (s2) była równa 0,041.
Przyjmując poziom istotności a = 0,10 zweryfikować hipotezę, że faktyczna wariancja
długości średnicy śrub jest równa wariancji ustalonej normą, przy hipotezie alternatywnej
zakładającej różnicę wariancji.

Sheet 7: Zadanie 5

Zadanie 5

W zakładzie K założono, że średnie odchylenie od przeciętnego poziomu wykonania normy

pracy powinno wynosić 10,5%. Wylosowano grupę pracowników, dla których wykonanie

przedstawiono w tabeli. Czy można uważać, że w zakładzie nastąpiło zmniejszenie dyspersji

wykonania normy? Przyjąć poziom istotności a = 0,05.

Poziom wykonania normy
[%]
Liczba
pracowników
75 80 8
80 85 19
85 90 31
90 95 56
95 100 82
100 105 79
105 110 39
110 115 28
115 120 14
120 125 9

Sheet 8: Dwie wariancje

Test dla dwóch wariancji







Jeżeli badamy jednocześnie dwie populacje ze względu na tę samą cechę







mierzalną, to zdarza się, że interesuje nas, czy rozproszenie tej cechy jest w obu







populacjach jednakowe. gdy nadto obydwie populacje mają rozkłady normalne,







to weryfikację hipotezy o jednakowych wariancjach można przeprowadzić za







pomocą opisanego poniżej testu istotności.







Tak więc, z obydwu populacji o rozkładach N(m1, s1) i N(m2, s2) losuje się







niezaleznie próby losowe o liczebnościach odpowiednio n1 i n2. Wykorzystując







wyniki tych prób weryfikuje się hipotezę zerową H0: s12 = s22, wobec hipotezy







alternatywnej H1: s12 > s22. Reguła postępowania przewiduje obliczenie w pierwszej







kolejności nieobciążonych estymatorów wariancji, czyli S^12 i S^22, a następnie







wartości statystyki F wg wzoru:























która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład F Snedecora o n1 - 1







i n2 - 1 stopniach swobody.







Postać hipotezy alternatywnej sugeruje, że rozrzut wyników obserwowany







w pierwszej populacji jest większy niż w drugiej, tymczasem chodzi o to, iż chcemy







sprawdzić, czy rozrzut badanej cechy mierzalnej jest większy w jednej z nich







w stosunku do pozostałej, niezaleznie od tego, którą oznaczymy numerem 1,







a którą numerem 2. Stąd, dla uniknięcia niejednoznaczności przyjęto, ze numery







nadaje się populacjom dopiero po obliczeniu wartości nieobciążonych







estymatorów wariancji. Numer 1 przypisuje się przy tym tej populacji, która







charakteryzuje się większym rozrzutem (większą wartością estymatora), a numer







2 populacji o mniejszym rorzucie. Dzięki temu wartość statystyki F jest zawsze







większa od jedności. Fakt ten uwzględniono opracowując dostępne tablice







rozkładu F Snedecora, przy czym nalezy pamiętać, ze rozkład F ma dwa rodzaje







stopni swobody - licznika i mianownika. Liczbę stopni swobody licznika stanowi







różnica n1 - 1, a mianownika n2 - 1.



















































Sheet 9: Przykład 2

Przykład



Z dwóch kompanii wojskowych wybrano losowo po 12 szeregowców. Wariancja wzrostu



wylosowanych szeregowców wynosiła w kompanii I: 5,76 cm2, a w kompanii II: 5,41 cm2.



Zakładając, że rozkład wzrostu szeregowców w obydwu kompaniach jest rozkładem normalnym,



zweryfikować hipotezę, że wariancje wzrostu szeregowców w obu kompaniach są jednakowe,



tj. H0: s12 = s22, wobec hipotezy alternatywnej, według której wariancja wzrostu szeregowców



w kompanii I jest większa od wariancji wzrostu w kompanii II, tj. H1: s12 > s22.



Przyjąć poziom istotności a = 0,05.








Rozwiązanie








5,76 [cm2]






5,41 [cm2]









a = 0,05 1,065
n1 = 12
n2 = 12








Fkryt. = 2,818






F < Fkryt ----> H0
p = 0,460






p > a ----> H0



Sheet 10: Zadanie 6

Zadanie 6









Dwa automaty produkują części o grubości nominalnej 4,8 mm. W celu porównania wariancji









grubości części produkowanych przez te automaty pobrano losowo dwie próby wyrobów i zmierzono









ich grubości. Otrzymano następujące wartości:









Automat I 4,71 4,77 4,91 4,83 4,88 4,84 4,75 4,79

Automat II 4,81 4,8 4,81 4,78 4,79 4,79 4,78 4,79 4,81 4,81
Zweryfikować na poziomie istotności a = 0,05 hipotezę, że wariancje wymiarów części produkowanych









przez oba automaty są jednakowe wobec hipotezy alternatywnej, że jeden z automatów produkuje









części, których wariancje są większe od pozostałego.










Sheet 11: Zadanie 7

Zadanie 7

W budownictwie mieszkaniowym zakłada się, że rozrzut czasu budowy budynków meto-

dą wielkopłytową jest niższy od rozrzutu czasu budowy metodą tradycyjną. Wylosowano 10 bu-

dynków budowanych metodą wielkopłytową (n2) oraz 11 budynków budowanych metodą

tradycyjna (n1). Czasy trwania budowy zebrano w tabeli.


Metoda
wielkopłytowa
Metoda
tradycyjna

9,9 12,8

9,2 8,4

9,5 11,1

12,0 9,9

14,4 7,3

8,1 9,7

8,4 5,4

12,2 12,8

14,1 8,1

9,1 11,6


12,9
Przyjmując, że rozkład czasu budowy budynków obu metodami jest rozkładem nor-

malnym zweryfikować na poziomie istotności a = 0,01 hipotezę zerową (H0), że wariancja

czasu budowy obu metodami jest równa (H0: s1 = s2), wobec hipotezy alternatywnej

(H1) zakładającej, że wariancja czasu budowy budynków metodą klasyczną jest

większa od wariancji czasu budowy metodą wielkopłytową (H1: s1 > s2).


Sheet 12: Zadanie 8

Zadanie 8





Wylosowano kilkadziesiąt statków stojących w dwóch portach, dla których zmierzono czasy rozładunku.





Wyniki zebrano w tabeli.





Gdynia

Szczecin
Czas załadunku statku
(w godzinach)
Liczba
statków

Czas załadunku statku
(w godzinach)
Liczba
statków
od do
od do
8 10 6
8 10 6
10 12 10
10 12 10
12 14 18
12 14 19
14 16 25
14 16 25
16 18 27
16 18 33
18 20 25
18 20 25
20 22 20
20 22 18
22 24 20
22 24 13







Na poziomie istotności a = 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozrzut czasu przeładunku statków w obu





portach jest jednakowy.






Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 parametryczne testy istotnosci
9. Parametryczne testy istotności, licencjat(1)
05 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNO Nieznany (2)
PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
05 PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
Testy istotności różnic dla prób niezależnych
Rodzaj rehabilitacji istotny dla przebiegu zespołu rzepkowo-udowego, ortop, Ortopedia
Okoliczności istotne dla wydania decyzji w przedmiocie rozbiórki obiektu budowlanego
10. Nieparametryczne testy istotności
2) Przedział ufności dla wariancji
9 Inne testy istotno¶ci
testy istotnosci roznic -interwalowe 2
5) Test dla wariancji populacji generalnej
Testy istotności-wzory
2009 07 08 FreeBSD – chwila dla admina, cz 1 [Poczatkujacy]
k Obraz 11 klasyfikacja zmiennych istotnych dla Y

więcej podobnych podstron