Test dla wariancji populacji generalnej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Badając populację generalną w odniesieniu do wybranej cechy mierzalnej niejednokrotnie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zachodzi potrzeba zweryfikowania hipotezy o wariancji jako miary rozrzutu (rozproszenia). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Parametr ten wykorzystuje się przede wszystkim do oceny powtarzalności (jednorodności) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wyników pomiarów. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przystępując do zastosowania testu dla wariancji zakłada się, że badana cecha mierzalna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma w populacji rozkład normalny N(m, s), przy czym parametry rozkładu nie są znane. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z populacji tej losuje się n-elementową próbę, której wyniki stanowią podstawe weryfikacji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hipotezy zerowej H0: s2 = s02, wobec hipotezy alternatywnej H1: s2 > s02, gdzie s02 jest |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hipotetyczną wartością wariancji. Taka (jedyna) postać hipotezy alternatywnej (obszar |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
krytyczny prawostronny) w połączeniu z postacią hipotezy zerowej zakłada, że rozrzut |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wyników pomiarów nie może być mniejszy niż teoretycznie możliwy. Problem sprowadza |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
się zatem do pytania, czy rozproszenie badanej cechy nie jest zbyt duże? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wykorzystując wyniki pomiarów oblicza się wartość statystyki: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład c2 (chi-kwadrat) o n-1 |
|
|
|
|
|
stopniach swobody. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jeżeli wartość statystyki c2 znajdzie się w obszarze krytycznym, wyznaczonym |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
przy założonym z góry poziomie istotności a, podejmuje się decyzję o odrzuceniu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hipotezy H0, w przeciwnym przypadku stwierdza się brak podstaw do jej odrzucenia. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Korzystając zatem z tablic rozkładu c2 o n-1 stopniach swobody ustala się prawdopo- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bieństwo p zdarzenia polegającego na tym, że obserwowana wartość zmiennej c2 jest |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nie mniejsza od wartości obliczonej wg wzoru (1). Otrzymaną w ten sposób wartość |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p porównuje się z przyjętym z góry poziomem istotności i w przypadku, gdy zajdzie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
relacja p a, hipotezę H0 odrzuca się na korzyść H1, natomiast gdy p > a, odnotowuje |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
się brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przykład |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przed przystąpieniem do pomiarów twardości wykonuje się zazwyczaj kontrolną |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
serię pomiarów na tzw. płytce wzorcowej. Z instrukcji obsługi twardościomierza Rockwella |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wynika, że rozrzut pomiarów twardości na płytce wzorcowej, mierzony odchyleniem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
standardowym wynosi 0,5 HRC. Sprawdzić na podstawie wyników serii pomiarów |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kontrolnych: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26,3 |
27,0 |
26,1 |
28,2 |
27,3 |
26,5 |
26,2 |
26,9 |
26,3 |
|
czy dostępny twardościomierz jest sprawny? Przyjąć poziom istotności a = 0,05. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rozwiązanie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sformułowano następującą hipotezę zerową H0 i hipotezę alternatywną H1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0: s2 = s02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1: s2 > s02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Obliczono nieobciążony estymator wariancji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,46 |
|
=WARIANCJA(A36:I36) |
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
kwadrat hipotetycznego odchylenia standardowego |
|
|
|
|
|
|
n = |
9 |
|
liczba pomiarów |
|
|
|
|
|
|
c2 = |
14,729 |
|
wartość statystyki c2 - ze wzoru (1) |
|
|
|
|
|
|
a = |
0,05 |
|
poziom istotności |
|
|
|
|
|
|
p = |
0,065 |
|
=ROZKŁAD.CHI(C47;C46-1) |
|
|
|
|
|
|
|
H0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ponieważ zaszła relacja p > a, zatem należy stwierdzić brak podstaw do odrzucenia |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hipotezy zerowej, co oznacza, że kontrolna seria pomiarów wzorcowych nie dostarczyła |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dowodu na niesprawność twardościomierza. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przykład |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przed przystąpieniem do pomiarów twardości wykonuje się zazwyczaj kontrolną serię |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pomiarów na tzw. Płytce wzorcowej. Z instrukcji obsługi twardościomierza Rockwella wynika, że |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rozrzut pomiarów twardości na płytce wzorcowej, mierzony odchyleniem standardowym |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wynosi 0,5 HRC. Sprawdzić na podstawie wyników serii pomiarów kontrolnych: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26,3 |
27,0 |
26,1 |
28,2 |
27,3 |
26,5 |
26,2 |
26,9 |
26,3 |
|
|
|
czy dostępny twardościomierz jest sprawny? Przyjąć poziom istotności a = 0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rozwiązanie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Na podstawie treści przykładu sformułowano hipotezę zerową H0 i hipotezę alternatywną H1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0: |
s2 = s20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1: |
s2 > s20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s0 = |
0,5 |
|
odchylenie standardowe (hipotetyczne) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s20 = |
0,25 |
|
wariancja hipotetyczna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 = |
0,46 |
|
wariancja oszacowana z wyników próby |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
9 |
|
liczebność próby |
|
|
|
|
|
|
c2 = |
14,7288888888889 |
|
wartość statystyki testowej |
|
|
|
|
|
a = |
0,05 |
|
przyjęty z góry poziom istotności |
|
|
|
|
|
p = |
0,064636431619161 |
|
obliczony poziom istotności |
|
|
|
|
|
Decyzja: |
|
H0 - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadanie 2 |
Przy produkcji lamp radiowych zakłada się, że średnie odchylenie czasu wykonania |
danego elementu od normy powinno wynosić 12 minut. |
Wylosowano 80 stanowisk roboczych, dla których faktyczne odchylenie standardowe |
było równe 14,1 min. |
Zakładając, że rozkład czasu wykonywania danego elementu jest normalny, zweryfikować |
hipotezę zerową, że wariancja faktyczna i hipotetyczna są sobie równe, tj. H0: s2 = s20, |
wobec hipotezy alternatywnej (H1) zakładającej, że wariancja faktyczna jest większa od |
wariancji hipotetycznej. Przyjąć poziom istotności a = 0,05. |
Test dla dwóch wariancji |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jeżeli badamy jednocześnie dwie populacje ze względu na tę samą cechę |
|
|
|
|
|
|
|
|
mierzalną, to zdarza się, że interesuje nas, czy rozproszenie tej cechy jest w obu |
|
|
|
|
|
|
|
|
populacjach jednakowe. gdy nadto obydwie populacje mają rozkłady normalne, |
|
|
|
|
|
|
|
|
to weryfikację hipotezy o jednakowych wariancjach można przeprowadzić za |
|
|
|
|
|
|
|
|
pomocą opisanego poniżej testu istotności. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Tak więc, z obydwu populacji o rozkładach N(m1, s1) i N(m2, s2) losuje się |
|
|
|
|
|
|
|
|
niezaleznie próby losowe o liczebnościach odpowiednio n1 i n2. Wykorzystując |
|
|
|
|
|
|
|
|
wyniki tych prób weryfikuje się hipotezę zerową H0: s12 = s22, wobec hipotezy |
|
|
|
|
|
|
|
|
alternatywnej H1: s12 > s22. Reguła postępowania przewiduje obliczenie w pierwszej |
|
|
|
|
|
|
|
|
kolejności nieobciążonych estymatorów wariancji, czyli S^12 i S^22, a następnie |
|
|
|
|
|
|
|
|
wartości statystyki F wg wzoru: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład F Snedecora o n1 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i n2 - 1 stopniach swobody. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Postać hipotezy alternatywnej sugeruje, że rozrzut wyników obserwowany |
|
|
|
|
|
|
|
|
w pierwszej populacji jest większy niż w drugiej, tymczasem chodzi o to, iż chcemy |
|
|
|
|
|
|
|
|
sprawdzić, czy rozrzut badanej cechy mierzalnej jest większy w jednej z nich |
|
|
|
|
|
|
|
|
w stosunku do pozostałej, niezaleznie od tego, którą oznaczymy numerem 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
a którą numerem 2. Stąd, dla uniknięcia niejednoznaczności przyjęto, ze numery |
|
|
|
|
|
|
|
|
nadaje się populacjom dopiero po obliczeniu wartości nieobciążonych |
|
|
|
|
|
|
|
|
estymatorów wariancji. Numer 1 przypisuje się przy tym tej populacji, która |
|
|
|
|
|
|
|
|
charakteryzuje się większym rozrzutem (większą wartością estymatora), a numer |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 populacji o mniejszym rorzucie. Dzięki temu wartość statystyki F jest zawsze |
|
|
|
|
|
|
|
|
większa od jedności. Fakt ten uwzględniono opracowując dostępne tablice |
|
|
|
|
|
|
|
|
rozkładu F Snedecora, przy czym nalezy pamiętać, ze rozkład F ma dwa rodzaje |
|
|
|
|
|
|
|
|
stopni swobody - licznika i mianownika. Liczbę stopni swobody licznika stanowi |
|
|
|
|
|
|
|
|
różnica n1 - 1, a mianownika n2 - 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Przykład |
|
|
|
|
Z dwóch kompanii wojskowych wybrano losowo po 12 szeregowców. Wariancja wzrostu |
|
|
|
|
wylosowanych szeregowców wynosiła w kompanii I: 5,76 cm2, a w kompanii II: 5,41 cm2. |
|
|
|
|
Zakładając, że rozkład wzrostu szeregowców w obydwu kompaniach jest rozkładem normalnym, |
|
|
|
|
zweryfikować hipotezę, że wariancje wzrostu szeregowców w obu kompaniach są jednakowe, |
|
|
|
|
tj. H0: s12 = s22, wobec hipotezy alternatywnej, według której wariancja wzrostu szeregowców |
|
|
|
|
w kompanii I jest większa od wariancji wzrostu w kompanii II, tj. H1: s12 > s22. |
|
|
|
|
Przyjąć poziom istotności a = 0,05. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rozwiązanie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,76 |
[cm2] |
|
|
|
|
|
|
|
5,41 |
[cm2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
0,05 |
1,065 |
n1 = |
12 |
|
n2 = |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fkryt. = |
2,818 |
|
|
|
|
|
|
F < Fkryt ----> H0 |
|
p = |
0,460 |
|
|
|
|
|
|
p > a ----> H0 |
|
|
|
Zadanie 7 |
|
|
W budownictwie mieszkaniowym zakłada się, że rozrzut czasu budowy budynków meto- |
|
|
dą wielkopłytową jest niższy od rozrzutu czasu budowy metodą tradycyjną. Wylosowano 10 bu- |
|
|
dynków budowanych metodą wielkopłytową (n2) oraz 11 budynków budowanych metodą |
|
|
tradycyjna (n1). Czasy trwania budowy zebrano w tabeli. |
|
|
|
Metoda wielkopłytowa |
Metoda tradycyjna |
|
9,9 |
12,8 |
|
9,2 |
8,4 |
|
9,5 |
11,1 |
|
12,0 |
9,9 |
|
14,4 |
7,3 |
|
8,1 |
9,7 |
|
8,4 |
5,4 |
|
12,2 |
12,8 |
|
14,1 |
8,1 |
|
9,1 |
11,6 |
|
|
12,9 |
Przyjmując, że rozkład czasu budowy budynków obu metodami jest rozkładem nor- |
|
|
malnym zweryfikować na poziomie istotności a = 0,01 hipotezę zerową (H0), że wariancja |
|
|
czasu budowy obu metodami jest równa (H0: s1 = s2), wobec hipotezy alternatywnej |
|
|
(H1) zakładającej, że wariancja czasu budowy budynków metodą klasyczną jest |
|
|
większa od wariancji czasu budowy metodą wielkopłytową (H1: s1 > s2). |
|
|