Mariusz PYRZ

SIMR (PW), Instytut Pojazdów

Metody numeryczne w mechanice

Wartości i wektory własne

7.

Wprowadzenie

Macierz kwadratowa A

nxn

może być interpretowana jako macierz służąca do

przekształcenia wektora n-elementowego. Dowolnemu wektorowi

x

∈

R

n

można

przypisać

y

∈

R

n

taki, że

Ax=y

, gdzie A przedstawia przekształcenie liniowe.

Wynikiem przekształcenia liniowego wektora x jest :

• Zmiana długości x ( czyli norma ||x||

2

≠

||y||

2

),

• Zmiana kierunku (co m.in. różni przekształcenie liniowe x uzyskane za pomocą

2

• Zmiana kierunku (co m.in. różni przekształcenie liniowe x uzyskane za pomocą
macierzy A od pomnożenia x przez skalar).

Jednakże jeżeli istnieje wektor

x

taki, że Ax daje wektor równoległy do x

to wówczas x nazywamy wektorem własnym macierzy A.

Istnieje wówczas skalar

λ

taki że

Ax =

λ

x

i jest on nazywany wartością własną.

Wynik przekształcenia liniowego Ax jest „zredukowany” do pomnożenia tego
wektora x przez liczbę

λ

.

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Interpretacja graficzna

Rysunek 1

Ax =

λ

x

Przykład obliczeniowy

3

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

1

4

2

3





=









A

0

4

4

0





=









A

Wektory własne ortogonalne

Definicje

Niech A będzie macierzą kwadratową rzędu n.

Wartością własną

macierzy A nazywamy liczbę

λ∈

C dla której istnieje

niezerowy wektor x

∈

C

n

zwany

wektorem własnym

(prawostronnym) taki, że

Ax =

λ

x lub inaczej (A-

λ

I)x=0 .

Aby istniał x

≠≠≠≠

0, trzeba aby macierz A-

λ

I była macierzą szczególną,

4

to jest

det(A-

λ

I)=0.

Widmo (spektrum)

macierzy A to zbiór jej wszystkich wartości własnych.

Promieniem spektralnym

macierzy A nazywamy liczbę

(czyli wartość własną o maksymalnym module).

ρ

λ

(

)

m a x

A

=

≤ ≤

1 i n

i

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Definicje

Wektor własny jest wyznaczany z dokładnością do stałego mnożnika

(ponieważ Ax =

λ

x jest równoważne A(

α

x) =

λ

(

α

x) dla

α≠

0).

Można zatem dobrać

α

tak, aby

||x||=1

.

normalizacja

5

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Rysunek 2

Przykłady z mechaniki

Zagadnienia stateczności konstrukcji:

siły krytyczne i postacie wyboczenia

Zagadnienie drgań swobodnych (własnych):

6

częstotliwości i postacie drgań

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Rysunek 3

Rysunek 4

Definicje i twierdzenia

Wielomian charakterystyczny (stopnia n) macierzy A :

w

A

(

λ

)=det(A-

λ

I).

Pierwiastkami wielomianu w

A

(

λ

) są wartości własne macierzy A.

Pierwiastki mogą być pojedyncze lub wielokrotne.

Macierze A i B są podobne jeśli istnieje nieosobliwa macierz podobieństwa S

7

det A

=

=

∏

λ

i

i

n

1

Macierze A i B są podobne jeśli istnieje nieosobliwa macierz podobieństwa S
taka że B=S

-1

AS.

Macierze podobne posiadają identyczny wielomian charakterystyczny

(to znaczy identyczne wartości własne).

w

B

(

λ

) = det(B-

λ

I) = det(S

-1

AS -

λ

S

-1

S) = det(S

-1

) det(A-

λ

I) det(S) = det(A-

λ

I)

czyli w

B

(

λ

) = w

A

(

λ

)

Można wykazać, że wartości własne są niezależne od bazy w jakiej

reprezentowana jest macierz A. W szczególności

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Definicje i twierdzenia

Wektor własny x

B

macierzy B (podobnej do macierzy A) można wyznaczyć

na podstawie wektora własnego x macierzy A za pomocą przekształcenia

x

B

= S

-1

x

(gdyż Ax =

λ

x

⇔

⇔

⇔

⇔

(S

-1

AS) (S

-1

x) =

λ

(S

-1

x) )

Jeżeli Ax =

λ

x to

(A-

µ

I)x =(

λ

-

µ

)x

A

k

x =

λ

k

x

8

(A-

µ

I)x =(

λ

-

µ

)x

A

k

x =

λ

k

x

A

-1

x =(1/

λ

)x (jeżeli A

-1

istnieje)

Macierz rzeczywista symetryczna ma rzeczywiste wartości własne a jej
wektory własne, prznależne do różnych wartości własnych, są do siebie
ortogonalne.

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Metoda potęgowa – pozwala na wyznaczenie wartości własnej o
największym module (i odpowiadającego jej wektora własnego)

Odwrotna metoda potęgowa

- pozwala na wyznaczenie wartości własnej o najmniejszym module

Obliczanie pojedynczej wartości własnej

Ax=

λ

x

Ax

x

x

=

→

λ

λ

λ

max

max

,

- pozwala na wyznaczenie wartości własnej o najmniejszym module
(i odpowiadającego jej wektora własnego)

- pozwala na wyznaczenie wartości własnej o module najbliższym podanej
wartości (i odpowiadającego jej wektora własnego)

9

1

min

min

,

macierzy

λ

λ

λ

−

=

→

A x

x

x

A

(

)

,

A

I

x

x

x

−

=

→

≈

−

≈

µ

λ

λ µ

λ µ

1

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Metody obliczania wielu wartości własnych

Ax=

λ

x

Obliczanie p wartości własnych macierzy

Pozwala obliczyć p wartości własnych o największych (lub najmniejszych)
modułach (i odpowiadających im wektorów własnych)

Metoda Rayleigh’a-Ritz’a,
Metoda podprzestrzennych iteracji
Metoda Lanczos’a

10

Metoda Lanczos’a

Obliczanie wszystkich wartości własnych macierzy

Rozwiązanie otrzymywane przez diagonalizację macierzy A

Metoda Jacobi ‘ego (do macierzy symetrycznych rzeczywistych)

Metoda QR

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Ciąg wektorów x

(k)

jest zbieżny do wektora x wraz z k

→∞

jeżeli

Jest to równoważne

dla każdej normy wektorowej.

Ciąg macierzy A

(k)

jest zbieżny do macierzy A wraz z k

→∞

jeżeli

Zbieżność

( )
( )

( )

0

1

i

i

dla

i

n

−

→

≤ ≤

k

x

x

x

x

k

( )

− →

0

Ciąg macierzy A

(k)

jest zbieżny do macierzy A wraz z k

→∞

jeżeli

Jest to równoważne

dla każdej normy wektorowej

lub inaczej

dla każdej normy macierzowej.

11

( )
( )

( )

0

1

, 1

ij

ij

dla

i

n

j

n

−

→

≤ ≤

≤ ≤

k

A

A

∀

−

→

x

A

x

Ax

k

( )

0

A

A

k

( )

−

→

0

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Pozwala obliczyć przybliżenie wartości własnej

o największym module

oraz

odpowiadającego jej wektora własnego.

Algorytm

Wybrać wektor początkowy x

(0)

i znormalizować go

Dla iteracji k=1,2,3,… (aż do spełnienia warunku stopu) obliczyć

Metoda potęgowa (iteracji wektorów)

1

−

=

(k)

(k

)

(0)

(0)

(0)

x

q

=

x

opcjonalne oszacowanie wartości własnej*

(j) oznacza j-my element wektora.

*) zwykle liczone jako

Kryterium stopu: np.

||q

(k)

- q

(k-1)

||<

ε

12

1

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

[

(

1,...,

0) ]

j

k
j

j

j

j

n

dla

λ

−

−

−

=

=

=

≠

=

(k)

(k

)

(k)

k 1

k 1

(k)

(k)

(k)

x

Aq

x

q

q

x

q

x

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

( )

(k)

( )

(k-1)

sup

j

j

k

j

λ

=

x

q

Przykład obliczeniowy

Normalizacja jest niezbędna aby nie przekroczyć zakresu reprezentacji
numerycznej liczb zmiennoprzecinkowych (można użyć dowolnej normy).

Metoda potęgowa

numerycznej liczb zmiennoprzecinkowych (można użyć dowolnej normy).

Szybkość zbieżności zależy od wyboru wektora startowego.

13

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Załóżmy, że macierz A

n x n

ma n liniowo niezależnych wektorów własnych.

Uszeregujmy w następujący sposób wartości własne (i odpowiadające im
wektory własne):

zakładamy pojedynczą największą wartość własną

z wektorów własnych budujemy bazę przestrzeni R

n

Wektor początkowy x

(0)

w bazie zbudowanej na wektorach własnych:

Idea metody potęgowej

1

2

...

n

λ

λ

λ

>

≥ ≥

1

2

n

v

v

v

można przyjąć a

i

=1 (i=1,…,n) bo wektory

własne wyznaczane z dokładnością do stałej

W k-tym kroku metody x

(k) =

Ax

(k-1) =

AAx

(k-2) = … =

A

k

x

(0)

14

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

1 1

2

2

...

n

n

a

a

a

=

+

+ +

(0)

x

v

v

v

(

)

(

)

(

)

0

1

2

1

1

2

2

( )

1

1

2

1

2

1

1

1

...

...

/

...

/

k

k

k

k

k

k

k

k

n

n

n

k

k

k

k

k

n

n

λ

λ

λ

λ

λ λ

λ λ

λ

ε

=

=

+

+ +

=

+

+ +

=





=

+

+ +

=

+





( )

( )

x

A x

A v

A v

A v

v

v

v

v

v

v

v

( )

1

0

/

1

k

i

dla k

poniewaz

dla i

ε

λ λ

→

→ ∞

>

Odwrotna metoda potęgowa

Pozwala obliczyć przybliżenie wartości własnej

o najmniejszym module

oraz odpowiadającego jej wektora własnego.

Polega ona na zastosowaniu metody potęgowej do macierzy A

-1

, ponieważ

wartości własne macierzy odwrotnej to odwrotność wartości własnych A.

max

min

i

i

i

i

1

1

λ

λ

=

15

W praktyce zamiast odwracać macierz A w algorytmie, tj. x

(k)

=A

-1

q

(k-1)

rozwiązuje się układy równań liniowych Ax

(k)

=q

(k-1)

, po wcześniejszym,

jednorazowym rozkładzie LU macierzy A=LU (na przykład metodą eliminacji
Gaussa).

i

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Oblicza przybliżenie wartości własnej

o najmniejszym module

oraz

odpowiadającego jej wektora własnego.

Algorytm

Wybrać wektor początkowy x

(0)

i znormalizować go

Dla iteracji k=1,2,3,… (aż do spełnienia warunku stopu)

Odwrotna metoda potęgowa

(0)

(0)

(0)

x

q

=

x

obliczyć x

(k)

rozwiązując układ równań

szacowanie wartości własnej

Kryterium stopu: np.

||q

(k)

- q

(k-1)

||<

ε

16

1

−

=

=

(k)

(k

)

(k)

(k)

(k)

Ax

q

x

q

x

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

[

(

1,...,

0) ]

j

k
j

j

j

j

n

dla

λ

−

−

=

=

≠

k 1

k 1

(k)

q

q

x

Metoda Jacobi’ego

Wyznacza wszystkie wartości i wektory własne symetrycznej macierzy A
dokonując

transformacji

ortogonalizacyjnych

przez

podobieństwo

i

sprowadzając macierz do postaci diagonalnej diag(λ

1

,λ

2

,…, λ

n

) posiadającej

takie same wartościach własnych co A.

W procedurze diagonalizacyjnej, w iteracji k wyznaczana jest macierz
transformacji (rotacji elementarnej) dobierana tak, aby wyzerować wybrany
element pozadiagonalny. W związku z symetrią A

k-1

każdorazowo anulują się

17

element pozadiagonalny. W związku z symetrią A

k-1

każdorazowo anulują się

dwa elementy.

G

k

( , )

cos

sin

sin

cos

p q

p

q

p

q

=

−

L

N

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

O

Q

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

⋱

⋮

⋮

⋯

⋯

⋯

⋮

⋱

⋮

⋯

⋯

⋯

⋮

⋮

⋱

θ

θ

θ

θ

G

k

(p,q) - macierz rotacji o kąt

θ

w płaszczyźnie p-ego i q-ego
wektora bazowego (1

≤

p<q

≤

n)

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Polega na przekształceniu (rozkładzie) macierzy A do postaci A=QR ,
zachowując właściwość podobieństwa macierzy. Macierz R jest macierzą
trójkątną górną, macierz Q jest macierzą ortogonalną (tzn. Q

T

Q = I).

Przekształcane iteracyjnie macierze są podobne (tj. mają identyczne wartości
własne), wartości własne wynikowej macierzy trójkątnej leżą na przekątnej
głównej.

Metoda QR

Rozkład ortogonalny A=QR może być dokonany za pomocą algorytmu Householdera lub
Givensa.

18

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

Normy wektorowe i macierzowe

normy wektorowe

1/ 2

2

1

2

1

1

1/

1

1

1

sup

n

n

i

i

i

i

p

n

p

i

i

p

i n

i

x

norma

x

norma euklidesowa

x

norma nieskonczona

x

=

=

∞

≤ ≤

=





=

=













=

=









∑

∑

∑

x

x

x

x

19

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012

normy macierzowe (stowarzyszone z normami wektorowymi)

A

Ax

Ax

x

A

Ax

x

A

Ax

x

A A

A

Ax

x

x C

x

x

x

x

*

x

n

=

=

=

=

L

NM

O

QP

=

=

=

=

L
N

M

O
Q

P

∈

=

≠

≠

≤ ≤

=

≠

∞

≠

∞

∞

≤ ≤

=

∑

∑

sup

sup

sup

sup

sup

(

)

sup

sup

/

1

0

1

0

1

1

1

1

2

0

2

2

1 2

0

1

1

j n

ij

i

n

i n

ij

j

n

a

a

ρ

• Macierz transponowana A

T

: a

T

ij

=a

ji

• Macierz sprzężona A* : a

*

ij

=â

ji

(â

ji

jest liczbą sprzężoną do a

ij

)

(dla macierzy rzeczywistej A, macierz A* jest równa macierzy transponowanej A

T

)

• Macierz hermitowska (samozprzężona) A*=A
• Macierz symetryczna jeżeli A

T

=A

• Macierz unitarna jeżeli A*A=I

(kolumny macierzy A są wówczas wektorami ortogonalnymi o normie 1)

Macierze- przydatne pojęcia

(kolumny macierzy A są wówczas wektorami ortogonalnymi o normie 1)

• Macierz kwadratowa unitarna A

-1

=A*

• Macierz normalna jeżeli AA* = A*A

(macierze hermitowskie, unitarne, antyhermitowskie tj. A*=-A są normalne).

• Jeżeli macierz unitarna ma wszystkie elementy rzeczywiste, nazywamy ją
ortogonalną tj. A

T

A = AA

T

=I

20

M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Wartości i wektory własne 03.2012