Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
1
Płaszczyzna w przestrzeni
Postać ogólna płaszczyzny
Postać ogólna płaszczyzny
Postać ogólna płaszczyzny
Postać ogólna płaszczyzny
Płaszczyznę w przestrzeni można opisać na kilka sposobów, przez analogię
do przypadku prostej na płaszczyźnie, można ją traktować jako zbiór
punktów w przestrzeni przechodzący przez zadany punkt
(
)
0
0
0
,
,
z
y
x
i
mający tę własność, że każdy wektor o współrzędnych
[
]
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x
−
−
−
jest prostopadły do zadanego wektora
[
]
C
B
A
,
,
. Wówczas:
(
) (
) (
)
0
0
0
0
=
−
+
−
+
−
z
z
C
y
y
B
x
x
A
W konsekwencji, po wymnożeniu i uporządkowaniu zmiennych
otrzymujemy równanie płaszczyzny w postaci ogólnej:
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
Wyraz D zawiera współrzędne ustalonego punktu na płaszczyźnie.
Postać kierunkowa
Postać kierunkowa
Postać kierunkowa
Postać kierunkowa
Z tej postaci można wyznaczyć zmienną z otrzymując odpowiednik postaci
kierunkowej prostej:
cy
bx
a
z
+
+
=
Gdzie:
C
D
a
−
=
,
C
A
b
−
=
,
C
B
c
−
=
. Przedstawienie to wymaga, aby
płaszczyzna nie była równoległa do osi 0z. Interpretację współczynników
pominiemy.
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
2
Płaszczyzna wyznaczona przez trzy punkty
Płaszczyzna wyznaczona przez trzy punkty
Płaszczyzna wyznaczona przez trzy punkty
Płaszczyzna wyznaczona przez trzy punkty
Kolejna analogia: przez dwa punkty przechodzi jedna prosta, tym razem
trzy niewspółliniowe punkty wyznaczają płaszczyznę. Rozważmy punkt
(
)
z
y
x
P
,
,
płaszczyzny
oraz
trzy
niewspółliniowe
punkty:
(
)
0
0
0
0
,
,
z
y
x
P
,
(
)
1
1
1
1
,
,
z
y
x
P
oraz
(
)
2
2
2
2
,
,
z
y
x
P
. Trzy wektory o
wspólnym początku:
[
]
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x
r
−
−
−
=
r
[
]
0
1
0
1
0
1
1
,
,
z
z
y
y
x
x
r
−
−
−
=
r
[
]
0
1
0
2
0
2
2
,
,
z
z
y
y
x
x
r
−
−
−
=
r
Leżą na jednej płaszczyźnie, zatem iloczyn mieszany tych wektorów jest
równy zeru:
(
)
0
2
1
=
×
⋅
r
r
r
r
r
r
Co zapisujemy w jawnej postaci:
0
det
0
2
0
2
0
2
0
1
0
1
0
1
0
0
0
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
Dwa rozważane przypadki można zilustrować rysunkiem.
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
3
Postać odcinkowa
Postać odcinkowa
Postać odcinkowa
Postać odcinkowa
W niektórych przypadkach można korzystać z innych postaci płaszczyzn,
również przez analogię do prostych na płaszczyźnie. Mamy więc
płaszczyznę w postaci odcinkowej:
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
Gdzie a, b, c są współrzędnymi punktów przecięcia płaszczyzny z osiami
współrzędnych. Postać ta istnieje, gdy prosta nie jest równoległa do żadnej
z osi i nie przechodzi przez początek układu współrzędnych. Co oznacza, że
w postaci ogólnej
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
wszystkie współczynniki
są różne od zera.
P
P
2
P
0
x
y
z
P
1
[
]
C
B
A
,
,
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
4
Postać parametryczna
Postać parametryczna
Postać parametryczna
Postać parametryczna
Kolejny przypadek, to postać parametryczna, w tym celu rozważmy dwa
wektory leżące na płaszczyźnie:
[
]
3
2
1
,
,
v
v
v
v
=
r
,
[
]
3
2
1
,
,
u
u
u
u
=
r
oraz punkt leżący na płaszczyźnie
(
)
0
0
0
0
,
,
z
y
x
P
, dowolny wektor
płaszczyzny o współrzędnych:
[
]
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x
r
−
−
−
=
r
jest
kombinacją liniową wektorów
v
r
i
u
r
tzn. istnieją liczby s i t, że zachodzi
równość:
u
t
v
s
r
r
r
r
+
=
Wyznaczając z tego związku zmienne x, y i z, znajdujemy parametryczne
równanie płaszczyzny:
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
3
3
0
2
2
0
1
1
0
u
t
v
s
z
z
u
t
v
s
y
y
u
t
v
s
x
x
Istnieje zatem pełna analogia pomiędzy postaciami prostej na płaszczyźnie i
postaciami płaszczyzn w przestrzeni, można je ująć w formie tabeli.
Prosta
Prosta
Prosta
Prosta
Płaszczyzna
Płaszczyzna
Płaszczyzna
Płaszczyzna
Postać ogólna
Postać ogólna
Postać ogólna
Postać ogólna
(pr
(pr
(pr
(proooostopadłość do
stopadłość do
stopadłość do
stopadłość do
we
we
we
wekkkktora)
tora)
tora)
tora)
0
=
+
+
C
By
Ax
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
Postać
Postać
Postać
Postać
kieru
kieru
kieru
kierun
nn
nkowa
kowa
kowa
kowa
b
x
a
y
+
⋅
=
cy
bx
a
z
+
+
=
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
5
Postać
Postać
Postać
Postać
odcink
odcink
odcink
odcinkoooowa
wa
wa
wa
1
=
+
b
y
a
x
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
Postać
Postać
Postać
Postać
param
param
param
parameeeetryczna
tryczna
tryczna
tryczna
+
=
+
=
t
v
y
y
t
v
x
x
2
0
1
0
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
3
3
0
2
2
0
1
1
0
u
t
v
s
z
z
u
t
v
s
y
y
u
t
v
s
x
x
Ponadto przez dwa punkty przechodzi jedna prosta, podobnie jak przez
trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Równanie prostej w przestrzeni
Postać krawędziowa prostej
Postać krawędziowa prostej
Postać krawędziowa prostej
Postać krawędziowa prostej
W najprostszym przypadku, z geometrycznego punktu widzenia, prostą
możemy traktować jako przecięcie się dwóch płaszczyzn, zatem jest ona
rozwiązaniem układu równań:
=
+
+
+
=
+
+
+
0
0
2
2
2
2
1
1
1
1
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
Jednak układ może być sprzeczny, (płaszczyzny są równoległe) lub obie
płaszczyzny mogą się pokrywać w obu przypadkach układ nie zadaje
żadnej prostej. Zatem interesuje nas przypadek, gdy zbiór rozwiązań zależy
od jednego parametru – będzie to równanie szukanej prostej. Z sytuacją
taką będziemy mieli do czynienia wówczas, gdy rząd macierzy
2
2
2
1
1
1
C
B
A
C
B
A
będzie równy 2. Rozwiązanie układu będzie opisywało prostą, jako
przecięcie dwóch płaszczyzn.
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
6
Prosta przechodząca przez
Prosta przechodząca przez
Prosta przechodząca przez
Prosta przechodząca przez dwa punkty
dwa punkty
dwa punkty
dwa punkty, postać parametryczna
, postać parametryczna
, postać parametryczna
, postać parametryczna
Rozważmy rysunek
Wektory o początku w początku układu współrzędnych mają współrzędne:
[
]
0
0
0
0
,
,
z
y
x
OP
=
→
[
]
1
1
1
1
,
,
z
y
x
OP
=
→
[
]
z
y
x
OP
,
,
=
→
Z
rysunku
wynika,
że
istnieje
liczba
t,
taka
że
[
]
−
=
−
−
−
→
→
0
1
0
0
0
,
,
OP
OP
t
z
z
y
y
x
x
,
zatem
równanie
prostej
przechodzącej przez dwa punkty przybiera postać:
Punkt P
0
Punkt P
1
Punkt P
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
Matematyka wykład 7
7
(
)
(
)
(
)
−
+
=
−
+
=
−
+
=
0
1
0
0
1
0
0
1
0
z
z
t
z
z
y
y
t
y
y
x
x
t
x
x
Zauważmy, że wektor
→
→
−
0
1
OP
OP
jest wektorem leżącym na prostej,
oznaczając jego współrzędne
[
]
3
2
1
,
,
v
v
v
znajdujemy parametryczną
postać prostej w przestrzeni, czyli prostej przechodzącej przez ustalony
punkt oraz równoległej do zadanego wektora:
+
=
+
=
+
=
t
v
z
z
t
v
y
y
t
v
x
x
3
0
2
0
1
0
Jeśli wyeliminujemy z ostatniego układu parametr t, to otrzymamy
równanie w postaci podwójnego układu równań:
3
0
2
0
1
0
v
z
z
v
y
y
v
x
x
−
=
−
=
−
Jednak pojawia się ograniczenie: żadna ze składowych wektora nie może
być równa zeru.
Pozostaje rozważyć wzajemne położenia prostych i płaszczyzn, ponieważ
jedne z postaci zwierają wektory (równoległe lub prostopadłe), to wystarczy
zbadać wzajemne położenie tych wektorów. Na przykład z postaci
parametrycznej prostych można odczytać wektory równoległe do prostych,
zatem aby stwierdzić, że proste są prostopadłe do siebie wystarczy
sprawdzić, czy te wektory są prostopadłe – podobnie gdy chcemy zbadać
równoległość prostych.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
materialy sem1 A Karpio plaszczyzna i proste
materialy sem1 A Karpio matematyka studia ns
materialy sem1 A Karpio matemat Nieznany
materialy sem1 A Karpio fizyka
materialy sem1 A Karpio fizyka
materialy sem1 A Karpio matematyka uklady rownan
materialy sem1 A Karpio prezentacja z matematyki
materialy sem1 A Karpio matematyka pochodne
materialy sem1 A Karpio matematyka studia ns
Matematyka I (Ćw), Lista 07. Równania płaszczyzny i prostej
materialy sem1 gp prawoznawstwo Nieznany
1. plaszcze-grz, Studia, Projekt - materialy konstrukcyjne, 10. Plaszcze grzejne
więcej podobnych podstron