1
4. Elementy algebry liniowej
Macierze są uogólnieniem liczb, natomiast operacje na macierzach są uogólnie-
niami działań na liczbach. Pozwalają one, między innymi, na bardzo eleganckie i
zwarte zapisanie wielu zagadnień w postaci przypominającej zapis liczbowy. Przy
czym nie jest to tylko kwestia podobieństwa, podejście macierzowe pozwala na efek-
tywne rozwiązanie wielu problemów, w tym najczęściej natury praktycznej. Jednym z
podstawowych zagadnień, którego rola w zastosowaniach jest trudna do przecenienia,
jest rozwiązywanie układów równań liniowych. Zapis macierzowy, czy ogólniej mó-
wiąc zastosowanie formalizmu macierzowego, pozwala przede wszystkim na ich efek-
tywne rozwiązywanie. Przymierzenie się „na piechotę” do rozwiązania układu 8 lub 7
równań, nie wspominając o 20 lub 30, jest przedsięwzięciem niezmiernie pracochłon-
nym, jeśli pominąć bardzo szczególne przypadki. Algebra liniowa jest podstawowym
narzędziem stosowanym w między innymi w badaniach operacyjnych mających duże
zastosowanie w naukach ekonomicznych. Pozwala w sposób efektywny rozwiązywać
wiele problemów optymalizacji, do których tak naprawdę sprowadza się większość
przedsięwzięć gospodarczych.
4.1. Pojęcie macierzy; działania na macierzach
Macierzą będziemy nazywali prostokątną (niekoniecznie kwadratową) tablicę
zawierającą liczby lub wyrażenia algebraiczne, przykładem może służyć:
−
−
−
2
674
,
0
21
3
20
45
,
0
1
0
5
W ogólnym przypadku macierz może mieć m wierszy i n kolumn, mówimy
wówczas o macierzy m na n, co zapisujemy
n
m × . Jeśli liczba kolumn i wierszy jest
taka sama, to macierz nazywamy kwadratową. W tym kontekście wyżej podany został
przykład macierzy kwadratowej trzy na trzy
3
3× . W dalszej części duże litery w ro-
dzaju A, B, X, Y rezerwujemy dla oznaczenia macierzy, natomiast małe litery będą
oznaczały wyrazy (elementy) macierzy. W ogólnym przypadku elementy macierzy
będą posiadały podwójne wskaźniki oznaczające położenie, w którym znajduje się one
znajdują. Na przykład:
ij
a
oznacza, że dana liczba znajduje się na przecięciu i-tego
wiersza i j-tej kolumny. W nawiązaniu do przykładu mamy:
1
,
0
,
5
13
12
11
−
=
=
=
a
a
a
.
Każdy z wyrazów ma na pierwszym miejscu jedynkę, co oznacza, że stoją w pierw-
szym wierszu, drugi wskaźnik zmienia się, gdyż przechodząc od wyrazu do wyrazu
przesuwamy się wzdłuż kolumn numerując je kolejnymi liczbami 1, 2, 3. Środkowy
wyraz, równy –20, stoi na przecięciu drugiego wiersza i drugiej kolumny, dlatego bę-
dzie miał oznaczenie:
20
22
−
=
a
. Natomiast wyraz równy 21 będzie oznaczany symbo-
Kolumny
wiersze
2
lem
31
a
, gdyż stoi w trzecim wierszu i w pierwszej kolumnie. Często macierz oznacza
się symbolem
n
j
m
i
ij
a
,
,
2
,
1
,
,
2
,
1
]
[
K
K
=
=
, w którym podany zakres zmienności indeksów świadczy o
tym, że mamy do czynienia z macierzą mającą m wierszy i n kolumn, czyli z macierzą
n
m × . Szczególnymi przykładami macierzy są:
a)
Liczby jako macierze 1x1 powinny być zapisywane w postaci:
1
1
]
[
=
=
j
i
ij
a
, ale byłoby to
przesadą, dlatego opuszcza się zarówno zakres zmienności indeksów, jak i same in-
deksy. Nie pisze się również nawiasu kwadratowego.
b)
Wektory (kolumnowe) są macierzami wymiaru
1
×
m
, a więc powinny być ozna-
czane następująco
1
,
,
2
,
1
]
[
=
=
j
m
i
ij
a
K
. W jawnej postaci przykładem wektora kolumnowego
jest:
−
26
357
,
0
1
.
Poszczególne wyrazy oznacza się wówczas jako a
1
, a
2
, a
3
itd. pomijając drugi wskaź-
nik, ale należy wiedzieć, że mamy do czynienia z macierzą o jednej kolumnie.
c)
Wektory (wierszowe) są macierzami wymiaru
n
×
1
(
n
j
i
ij
a
,
,
2
,
1
1
]
[
K
=
=
), jako przykład
niech służy:
[
]
0
56
2
23
−
Podobnie jak poprzednio wyrazy mają oznaczenia: a
1
, a
2
, a
3
itd., w których pomi-
nięto pierwszy wskaźnik, ale trzeba pamiętać, że mamy do czynienia z macierzą o
jednym wierszu.
d) Macierz zerowa złożona jest z samych zer, dotyczy to macierzy każdego wymiaru,
często oznacza się ją symbolem O.
e) Macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową (
n
m = ) o tej własności, że na
przekątnej stoją jedynki, a pozostałe wyrazy są równe zeru. Przykład macierzy jed-
nostkowej 3x3 jest następujący:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Macierz jednostkową oznacza się symbolem
I lub E.
Operacja, która przeprowadza wektor kolumnowy na wierszowy i odwrotnie nazy-
wa się transponowaniem. Oznacza się ją dużą literą
T, a zapisuje się tak, jakby była to
potęga:
[
]
=
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
a
T
lub
3
[
]
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
a
T
=
Transponowanie praktycznie bez zmian przenosi się na macierze dowolnego wymiaru
i zapisuje się następująco:
[ ] [ ]
ji
T
ij
a
a
=
Zauważmy, że nazwy wskaźników zmieniły kolejność bowiem wiersze zostały
zamienione z kolumnami. W pierwszej macierzy i numerowało wiersze, to w drugiej
numeruje kolumny. Podobnie jest z drugim wskaźnikiem, j numerowało kolumny, a w
macierzy transponowanej numeruje wiersze. Przykładem zastosowania transponowa-
nia do konkretnej macierzy jest:
−
−
=
5
6
3
1
2
2
5
-
6
3
1
2
-
2
T
Większość działań wykonywanych na liczbach przenosi się również na macie-
rze. Jednak potrzebne są pewne dodatkowe zastrzeżenia, ale o tym w trakcie omawia-
nia konkretnych działań. Dodawanie wykonalne jest na macierzach tego samego wy-
miaru i przeprowadza się je dodając do siebie wyrazy stojące w tych samych miej-
scach. Oznacza to, że wyraz stojący na przecięciu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny
pierwszej macierzy jest dodawany do wyrazu stojącego na przecięciu się i-tego wier-
sza oraz j-tej kolumny w drugiej macierzy, formalnie zapisujemy to w postaci:
]
[
]
[
]
[
ij
ij
ij
ij
b
a
b
a
+
=
+
W powyższym wzorze pominęliśmy zakresy zmienności indeksów; są one bez zna-
czenia, ważne jest tylko to, że obie macierze muszą być tego samego wymiaru. Przy-
kład dodawania macierzy:
=
=
+
−
−
12
1
-
1
-
6
-
7
4
4
+
8
6
-
5
2
+
3
-
1
+
7
-
5
+
2
3
+
1
4
6
-
2
1
6
3
8
5
3
7
2
1
Dodawanie macierzy jest działaniem przemiennym:
]
[
]
[
]
[
]
[
ij
ij
ij
ij
a
b
b
a
+
=
+
co wynika wprost z jego definicji.
Kolejnym działaniem jest mnożenie macierzy przez liczbę. Wykonuje się je
mnożąc przez liczbę każdy wyraz macierzy, formalny zapis ma postać:
[ ] [
]
α
α
a
a
ij
ij
=
Podobnie jak poprzednio pominęliśmy zakresy indeksów, gdyż działanie to wykonalne
jest dla macierzy dowolnego wymiaru. Przykład mnożenia macierzy przez liczbę:
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
−
−
=
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
=
−
−
0
6
18
12
0
6
1
6
3
6
2
6
0
1
3
2
6
4
Omówione dotychczas działania pozwalają zdefiniować odejmowanie macierzy. Aby
je wykonać należy drugą macierz pomnożyć przez liczbę równą -1, a następnie dodać
do pierwszej, mamy wówczas:
[ ] [ ] [ ]
( )
[
] [
]
a
b
a
b
a
b
ij
ij
ij
ij
ij
ij
−
=
+ − ⋅
=
−
1
Widać, że odejmowanie wykonuje się podobnie, jak dodawanie, z tą różnicą, że
tym razem zamiast dodawać odejmujemy od siebie wyrazy stojące na przecięciu się
tych samych wierszy i kolumn. Oczywiście, odejmować można tylko macierze tego
samego wymiaru.
Kolejnym działaniem, ale tym razem nieco trudniejszym jest mnożenie macie-
rzy. Warunkiem wykonalności mnożenia jest to, aby pierwsza macierz miała tyle ko-
lumn ile druga ma wierszy. Iloczyn będzie miał tyle wierszy, ile miała pierwsza ma-
cierz, a kolumn tyle, ile miała druga macierz. Przypomnijmy sobie oznaczenie wymia-
ru macierzy. Zgodnie z tym co powiedziano wcześniej, wykonalny jest iloczyn macie-
rzy wymiaru
n
m × oraz wymiaru
k
n × . W wyniku tej operacji otrzymamy macierz
wymiaru
k
m × . Już z tej prostej uwagi wynika, że w ogólności iloczyn nie jest prze-
mienny, jeśli bowiem zamienimy macierze miejscami, to musielibyśmy pomnożyć
macierz wymiaru
k
n × przez macierz wymiaru
n
m × . Pierwsza ma k kolumn, a druga
m wierszy. Aby działanie było wykonalne liczby te musiałyby być równe, a nie są.
Formalna definicja iloczynu macierzy jest następująca:
[ ]
[ ]
k
p
m
i
n
r
rp
ir
ip
k
p
n
l
lp
n
j
m
i
ij
b
a
c
b
a
,
,
1
,
,
1
1
,
,
1
,
,
1
,
,
1
,
,
1
K
K
K
K
K
K
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅
∑
Na pierwszy rzut oka może się ona wydawać niezrozumiała, ale jej stosowanie zobra-
zujmy iloczynem wektora wierszowego i kolumnowego. Pierwszy, traktowany jako
macierz, ma wymiar
n
×
1
, a drugi
1
×
n
. Zgodnie z powyższym opisem w wyniku
mnożenia otrzymamy macierz wymiaru
1
1× , czyli liczbę. Jeżeli dla przykładu przyj-
miemy, że
4
=
m
, to otrzymamy:
[
]
4
4
3
3
2
2
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
,
gdzie w wyniku mnożenia, zgodnie ze zwyczajem, pominęliśmy nawiasy oznaczające
macierz, gdyż wynik jest liczbą. Mając do czynienia z macierzami wyższych wymia-
rów powielamy powyższy przepis stosując go do wierszy pierwszej macierzy i kolumn
drugiej. Wyraz stojący na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny iloczynu
macierzy jest równy iloczynowi pierwszego wiersza i pierwszej kolumny odpowiednio
pierwszej i drugiej macierzy. Wyraz stojący na przecięciu się pierwszego wiersza i
drugiej kolumny iloczynu powstaje z pomnożenia, według powyższego przepisu,
pierwszego wiersza i drugiej kolumny mnożonych macierzy. Ogólnie wyraz stojący na
miejscu z numerem ij, a więc na przecięciu się i-tego wiersza i j-tej kolumny, powstaje
z pomnożenia i-tego wiersza pierwszej macierzy przez j-tą kolumnę drugiej macierzy
iloczynu. Przykład mnożenia macierzy:
5
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
0
2
4
3
5
4
4
3
3
3
4
3
0
2
1
2
5
4
1
2
3
3
1
2
0
5
3
2
4
3
4
3
1
2
Wykonując sześć iloczynów wektorów wierszowych przez kolumnowe znajdujemy
wynik mnożenia obu macierzy:
( )
( ) (
)
(
) ( )
(
)
(
) (
)
(
) (
)
−
−
−
=
⋅
−
+
−
⋅
−
⋅
−
+
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
−
+
−
⋅
−
⋅
−
+
⋅
⋅
−
+
⋅
6
32
3
4
13
3
0
4
2
3
5
4
4
3
3
4
3
3
0
1
2
2
5
1
4
2
3
1
3
2
Można zapytać: Jaki jest związek dodawania i mnożenia macierzy z transpono-
waniem? Odpowiedzi dostarczają równości:
(
)
T
T
T
B
A
B
A
+
=
+
(
)
T
T
T
A
B
B
A
=
⋅
W drugim równaniu kolejność czynników po lewej stronie jest inna niż po prawej. To
nie jest pomyłka, tak powinno być.
Jeżeli ograniczymy się do macierzy kwadratowych, to pojawiają się pewne do-
datkowe działania. Oczywiście, wszystkie wymienione wyżej pozostają w mocy. Jed-
nak mnożenie macierzy kwadratowych, co łatwo zauważyć z analizy wymiaru iloczy-
nu macierzy, możliwe jest tylko wtedy, gdy obie są tego samego wymiaru. Nawet
wówczas iloczyn nie jest przemienny, poza niektórymi szczególnymi przypadkami.
Jednym z dodatkowych działań na macierzach kwadratowych jest ślad macierzy
zdefiniowany jako suma wyrazów diagonalnych:
[ ]
nn
n
i
ii
ij
a
a
a
a
a
+
+
+
=
=
∑
=
K
22
11
1
Tr
,
gdzie n jest wymiarem macierzy. Transponowanie macierzy nie zmienia jej śladu:
A
A
T
Tr
Tr
=
.
Jest to własność oczywista, zamiana wierszy na kolumny i odwrotnie nie zmienia po-
łożenia wyrazów diagonalnych, a co za tym idzie również i śladu. Jeżeli macierze A i
B są kwadratowe, to można je mnożyć z obu stron:
B
A ⋅
i
A
B ⋅
. Jak już wspomniano
wcześniej, wynik mnożenia będzie w ogólności inny, jednak ślad będzie jednakowy:
(
)
(
)
A
B
B
A
⋅
=
⋅
Tr
Tr
Uogólnieniem tej własności jest równość:
(
)
(
)
(
)
A
C
B
B
A
C
C
B
A
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
Tr
Tr
Tr
Zmiana kolejności macierzy A, B, C nie jest dowolna – przestawiamy je cyklicznie.
Dokonuje się tego w ten sposób, że w iloczynie
C
B
A
⋅
⋅
ostatnią macierz (C) przesta-
wiamy na początek, otrzymując w ten sposób iloczyn
B
A
C
⋅
⋅
. Natomiast ostatni ilo-
czyn otrzymujemy z drugiego przestawiając na początek macierz B. W kolejnym kro-
ku wrócilibyśmy do wyjściowego iloczynu, stąd wzięła się nazwa przestawiania cy-
klicznego.
Wśród macierzy kwadratowych, oprócz wspomnianej wyżej macierzy jednost-
kowej I, szczególną rolę odgrywają macierze diagonalne. Charakteryzują się tym, że
wszystkie wyrazy stojące poza przekątną (diagonalą) są równe zeru. Może się oczywi-
6
ście zdarzyć, że na diagonali też pojawią się zera. Najważniejsze, że poza nią muszą
być same zera. Przykładem macierzy diagonalnej
3
3× jest:
3
2
1
0
0
0
0
0
0
λ
λ
λ
gdzie
3
2
1
,
,
λ
λ
λ
w ogólności są liczbami różnymi od zera. Wśród macierzy diagonal-
nych, jako szczególne przypadki, pojawiają się macierze zerowe i jednostkowe.
Rozważmy macierze kwadratowe ustalonego wymiaru, powiedzmy
n
n × , mó-
wimy wówczas po prostu o wymiarze n. Dodawanie, mnożenie przez liczbę i mnoże-
nie macierzy przez siebie prowadzi do macierzy tego samego wymiaru, czyli n. Można
więc na nich wykonywać takie same działania jak na liczbach i wciąż będziemy mieli
do czynienia z obiektami tego samego typu - macierzami wymiaru n. W przypadku
macierzy, które nie były kwadratowe, mnożenie na ogół dawało macierz zupełnie in-
nego wymiaru niż czynniki. Poza tym zamiana kolejności mogła spowodować niemoż-
liwość wykonania mnożenia. Wracając na chwilę do macierzy kwadratowych można
stwierdzić, że w odróżnieniu od liczb mnożenie najczęściej nie jest przemienne:
A
B
B
A
⋅
≠
⋅
.
Może się oczywiście zdarzyć, że dla bardzo szczególnych macierzy iloczyn będzie
przemienny, ale w ogólności nie jest.
Dla macierzy dowolnego wymiaru (niekoniecznie kwadratowej), jeśli tylko
mnożenie trzech macierzy da się wykonać, spełnione jest prawo łączności mnożenia:
(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
⋅
⋅
=
⋅
⋅
,
oraz prawo łączności dodawania.
(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
+
+
=
+
+
Oba prawa pozwalają rozszerzyć mnożenie i dodawanie macierzy na ich dowolną
ilość. Spełnione jest również prawo rozdzielność mnożenia względem dodawania:
(
)
C
A
B
A
C
B
A
⋅
+
⋅
=
+
⋅
Macierz jednostkowa ma własność analogiczną do liczby jeden – pomnożenie
dowolnej macierzy przez macierz jednostkową jest równe tej samej macierzy:
A
I
A
=
⋅
A
A
I
=
⋅
Należy pamiętać, że macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, dlatego mnoże-
nie z lewej strony zostało oddzielone od mnożenia z prawej strony, aby jeszcze raz
podkreślić, że zamiana kolejności czynników może spowodować niemożliwość wyko-
nania mnożenia. W pierwszej tożsamości liczba kolumn macierzy A jest równa wy-
miarowi macierzy jednostkowej, natomiast w drugiej wymiarowi I jest równa liczba
wierszy macierzy A.
Natomiast macierz zerowa ma takie same własności jak zero w zbiorze liczb
rzeczywistych:
A
A
O
O
A
=
+
=
+
.
Kontynuowanie tej analogii z liczbami wymaga znajomości odpowiednika dzie-
lenia. W tym celu trzeba wprowadzić pewne dodatkowe działanie wykonalne na ma-
cierzach, którego wartością będzie liczba (analogicznie jak miało to miejsce w przy-
padku śladu macierzy) – jest nim obliczanie wyznacznika. Jeszcze jedna uwaga. Dzie-
7
lenie liczb możliwe jest dzięki istnieniu liczb odwrotnych
a
1
, które istnieją wtedy, gdy
0
≠
a
. Dzielenie liczby b przez a zapisuje się wówczas w postaci:
1
1
−
⋅
=
⋅
=
a
b
a
b
a
b
.
Zupełnie podobnie będzie w przypadku macierzy. Warunkiem istnienia macierzy od-
wrotnej (odpowiednika liczby odwrotnej) będzie to, aby niżej zdefiniowany wyznacz-
nik, przyporządkowany macierzy kwadratowej, był różny od zera.
4.2 Wyznacznik macierzy i jego własności
Przede wszystkim pojęcie wyznacznika można zdefiniować jedynie dla macie-
rzy kwadratowych. W niniejszym podrozdziale podamy operacyjną definicję wy-
znacznika, omawiając sposób jego obliczania dla macierzy coraz większych wymia-
rów.
W przypadku macierzy
1
1× , czyli liczby, wyznacznik jest równy właśnie tej
liczbie. Zacznijmy więc od macierzy
2
2 × , jej wyznacznikiem nazywać będziemy
liczbę równą:
21
12
22
11
22
21
12
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
⋅
−
⋅
=
Oznaczenie wyznacznika symbolem det niekiedy zastępowane jest pionowymi kre-
skami:
21
12
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
−
=
, jednak może się ono mylić z oznaczeniem macierzy,
dlatego w dalszej części używać będziemy skrótu det.
Wyznacznik macierzy
3
3×
oblicza się w bardziej skomplikowany sposób, na przykład dopisując do macierzy
dwie pierwsze kolumny:
33
21
12
32
23
11
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
32
31
22
21
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
+
+
=
Reguła mnożenia wyrazów i przypisywania im znaków plus lub minus jest na-
stępująca. Pierwszy składnik powstaje z pomnożenia wyrazów stojących na przekąt-
nej:
L
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
33
22
11
33
22
11
det
a
a
a
a
a
a
drugi otrzymujemy przesuwając się w prawo:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
8
L
L
+
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
31
23
12
31
23
12
det
a
a
a
a
a
a
i jeszcze raz w prawo, aby otrzymać trzeci składnik ze znakiem plus:
L
L
−
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
32
21
13
32
21
13
det
a
a
a
a
a
a
Wyrazy z minusami otrzymujemy bardzo podobnie, ale zaczynamy od innej przekąt-
nej:
L
L
−
−
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
31
22
13
31
22
13
det
a
a
a
a
a
a
Podobnie jak poprzednio przesuwamy się w prawo:
L
L
−
−
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
32
23
11
11
32
23
det
a
a
a
a
a
a
i wreszcie ostatni składnik:
33
21
12
21
12
33
det
a
a
a
a
a
a
−
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
L
Z zaprezentowanego algorytmu widać, że po to dopisujemy dwie pierwsze ko-
lumny, aby uzupełniać kolejne składniki do iloczynu trzech wyrazów w trakcie prze-
suwania się w prawo. Jeśli przyjrzeć się uważnie metodzie obliczania wyznacznika, to
przy odrobinie wprawy możemy uniknąć dopisywania kolumn. Wystarczy wiedzieć,
jak uzupełniać kolejne składniki. Takiego uzupełnienia wymagają wszystkie wyrazy z
wyjątkiem tych, które pochodzą od przekątnych macierzy. Dlatego ograniczymy się do
pozostałych wyrazów. I tak, dla dwóch składników ze znakami plus mamy (z wyjąt-
kiem pochodzącego od przekątnej):
K
L
+
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
31
23
12
31
23
12
det
a
a
a
a
a
a
oraz
L
L
−
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
32
21
13
32
21
13
det
a
a
a
a
a
a
Bardzo podobną metodę uzupełnienia stosujemy do wyrazów ze znakami mi-
nus, pierwszy wyraz poza główną przekątną jest równy:
9
L
L
−
−
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
32
23
11
32
23
11
det
a
a
a
a
a
a
natomiast drugi:
33
21
12
33
21
12
det
a
a
a
a
a
a
−
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
K
Inna metoda obliczania wyznacznika macierzy
3
3× , oczywiście dająca ten sam
wynik, polega na dopisaniu wierszy, a nie kolumn. Cel dopisywania jest oczywiście
ten sam, pozwala uzupełniać kolejne składniki do iloczynu trzech wyrazów macierzy.
Pomijając iloczyny elementów stojących na głównych przekątnych, dwa kolejne
składniki, którym towarzyszy znak plus otrzymujemy przesuwając się w dół. Będą one
równe:
∗
∗
∗
∗
∗
+
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
det
13
32
21
13
32
21
a
a
a
a
a
a
L
L
oraz
∗
∗
∗
∗
−
+
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
23
12
31
23
12
31
det
a
a
a
a
a
a
L
L
Natomiast składniki ze znakami minus, z wyjątkiem pochodzącego od głównej
przekątnej, otrzymujemy w następujący sposób:
∗
∗
∗
∗
∗
−
−
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
det
11
32
23
11
32
23
a
a
a
a
a
a
L
L
10
∗
∗
∗
∗
−
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
21
12
21
12
33
33
det
a
a
a
a
a
a
L
Zaprezentowane metody obliczania wyznaczników nie są trudne, wymagają
jednak niewielkiej praktyki. Niżej podamy sposób obliczania wyznacznika macierzy
4
4 × , która będzie znacznie różniła się od poprzednich, ale jest to metoda ogólna, ma-
jąca zastosowanie w przypadku macierzy wyższych wymiarów. Niestety, obliczanie
wyznaczników jest bardzo pracochłonne i ilość koniecznych obliczeń bardzo szybko
wzrasta wraz z wymiarem macierzy. Dlatego w praktycznych zastosowaniach algebry,
gdy trzeba obliczać wyznaczniki macierzy dużych wymiarów, nie sposób obyć się bez
komputerów. Zanim jednak zapoznamy czytelnika z tzw. rozwinięciem Laplace’a,
które pozwala obliczać wyznaczniki macierzy dowolnego wymiaru, musimy zdefi-
niować pewne pojęcia.
Minorem (podwyznacznikiem) zadanej macierzy nazywać będziemy wyznacz-
nik takiej macierzy, która powstaje z wykreślenia pewnej liczby kolumn i wierszy.
Ponieważ wyznacznik określony jest tylko dla macierzy kwadratowej, to oczywiście
liczba wykreślonych kolumn i wierszy musi być jednakowa. Poniżej podajemy przy-
kład minora, który powstaje z wykreślenia 2 i 3 kolumny, oraz 2 i 3 wiersza:
31
13
33
11
33
31
13
11
33
31
13
11
det
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
=
=
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
,
gdzie gwiazdki oznaczają wykreślone wyrazy.
W dalszych rozważaniach szczególnie ważną rolę będą odgrywały minory od-
powiadające określonym wyrazom macierzy, na przykład wyrazowi
ij
a . Minor taki
oznaczamy symbolem
ij
M i jest to wyznacznik macierzy powstałej z wykreślenia
i-tego wiersza i j-tej kolumny. Natomiast dopełnieniem algebraicznym
ij
A elementu
ij
a nazywać będziemy liczbę:
( )
ij
j
i
ij
M
A
+
−
=
1
Jest to po prostu minor (czyli wyznacznik) wzięty z odpowiednim znakiem. Jeśli suma
numeru wykreślonego wiersza i kolumny
j
i +
jest parzysta, to
ij
ij
M
A =
, jeżeli nato-
miast suma ta jest nieparzysta, to
ij
ij
M
A
−
=
.
Okazuje się, że wyznacznik macierzy dowolnego wymiaru jest równy sumie
iloczynów wyrazów dowolnej kolumny (wiersza) przez ich dopełnienia algebraiczne,
co zapisujemy:
[ ]
nl
nl
l
l
l
l
n
k
kl
kl
n
n
ij
A
a
A
a
A
a
A
a
a
+
+
+
=
=
∑
=
×
K
2
2
1
1
1
det
11
gdzie l oznacza numer kolumny względem, której dokonujemy rozwinięcia. W przy-
padku rozwinięcia względem k-tego wiersza otrzymujemy:
[ ]
kn
kn
k
k
n
l
k
k
kl
kl
n
n
ij
A
a
A
a
A
a
A
a
a
+
+
+
=
=
∑
=
×
K
2
2
1
1
1
det
Podany sposób obliczania wyznacznika nazywa się rozwinięciem Laplace’a i
stosuje się do wyznaczników dowolnego stopnia, ale w przypadku macierzy
2
2 × i
3
3× podaliśmy wcześniej nieco prostsze sposoby, które oczywiście prowadzą do tego
samego wyniku. W powyższym rozwinięciu obliczanie wyznacznika sprowadza się do
obliczenia sumy zawierającej wyznaczniki wymiaru mniejszego. Rozwinięcie to nale-
ży kontynuować, aż dojedziemy do wyznaczników wymiaru
3
3× , które obliczamy
podanymi wcześniej sposobami.
Przykład
Jako przykład zastosujmy zaprezentowaną metodę do obliczenia konkretnego
wyznacznika
3
3× :
23
22
21
0
2
3
2
0
4
0
2
3
3
4
2
det
A
A
A
+
+
−
=
−
−
Rozwinięcia dokonujemy względem drugiego wiersza. Dopełnienie algebraiczne
23
A
mnożone jest przez zero, więc pominęliśmy je. Natomiast pozostałe dopełnienia są
równe:
( )
(
)
(
)
8
0
3
2
4
2
0
3
4
det
2
0
3
4
det
1
1
2
21
=
⋅
−
−
⋅
−
=
−
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
−
=
+
A
( )
(
)
16
4
3
2
2
2
4
3
2
det
2
4
3
2
det
1
2
2
22
−
=
⋅
−
−
⋅
=
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
−
=
+
A
Ostatecznie wartość obliczanego wyznacznika jest równa:
(
)
56
16
2
8
3
−
=
−
⋅
+
⋅
−
.
Należy dodać, iż w powyższym przykładzie nieprzypadkowo wybraliśmy drugi
wiersz. Z rachunkowego punktu widzenia korzystnie jest dokonywać rozwinięcia
względem tego wiersza lub kolumny, które zawierają najwięcej wyrazów równych
zeru (jeżeli są wyrazy zerowe), wtedy obliczenia są najprostsze.
W ogólnym przypadku, o czym już wspomniano, liczba dopełnień algebraicz-
nych (wyznaczników), które trzeba obliczyć bardzo szybko wzrasta wraz z wymiarem
macierzy. Spróbujmy policzyć jak sytuacja przedstawia się dla wyznacznika macierzy
wymiaru 6, która nie ma wyrazów równych zeru. Rozwinięcie względem dowolnego
wiersza lub kolumny daje 6 wyznaczników (dopełnień algebraicznych) stopnia 5. Dla
każdego z nich dokonujemy rozwinięcia, w którym pojawia się 5 wyznaczników stop-
nia 4, co daje
5
6 ⋅ wyznaczników tego ostatniego stopnia. Następnie do każdego z
nich stosujemy rozwinięcie Laplace’a, które prowadzi do wyznaczników 3-go stopnia,
jest ich
120
4
5
6
=
⋅
⋅
. I jak tu nie korzystać z komputera?
12
Okazuje się, że wyznaczniki mają szereg własności, które w wielu przypadkach
znacznie ułatwiają ich obliczanie, przytoczymy je:
1. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub dwóch dowolnych wierszy
zmienia znak wyznacznika. Wynika stąd, że jeśli zamienimy miejscami dwie pary
kolumn (wierszy), to wartość wyznacznika nie zmieni się. Jeszcze ogólniej: zamia-
na miejscami nieparzystej liczby kolumn (wierszy) zmienia znak wyznacznika, a
parzystej liczby kolumn (wierszy) nie zmienia jego wartości.
2. Jeżeli wyznacznik ma dwie kolumny lub dwa wiersze identyczne, to jego wartość
jest równa zeru. Oczywiście, jego wartość jest zerem, gdy identyczna jest większa
liczba kolumn (wierszy).
3. Jeżeli jakakolwiek kolumna lub jakikolwiek wiersz złożony jest z samych zer, to
wartość wyznacznika jest równa zeru.
4. Jeżeli jakąkolwiek kolumnę lub wiersz pomnożymy przez dowolną liczbę, to war-
tość wyznacznika zostanie pomnożona przez tę liczbę.
5. Wartość wyznacznika nie zmieni się jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wier-
sza) dodamy:
a) elementy innej kolumny (wiersza),
b) elementy dowolnej kolumny (wiersza) pomnożone przez tę samą liczbę,
c) dowolną kombinację liniową innych kolumn (wierszy).
Przez kombinację liniową pewnych obiektów
n
f
f
f
,
,
,
2
1
K
, które można dodawać i
dla których określone jest mnożenie przez liczby (kolumn, wierszy, wektorów, liczb,
funkcji itd.), rozumiemy wyrażenie postaci:
n
n
f
c
f
c
f
c
+
+
+
L
2
2
1
1
gdzie
n
c
c
c
,
,
,
2
1
K
są dowolnymi liczbami. Szczególnym przypadkiem kombinacji li-
niowej jest pomnożenie jakiejś wielkości przez liczbę: cf , lub zmiana jej znaku:
f
−
,
która odpowiada przyjęciu
1
−
=
c
. Na przykład dodawanie dwóch wektorów
u
v
r
r
+ lub
odejmowanie
u
v
r
r
− są też przykładami kombinacji liniowej tych wektorów. W pierw-
szym przypadku współczynniki kombinacji są równe:
1
2
1
=
= c
c
, a w drugim:
1
,
1
2
1
−
=
=
c
c
. Inny konkretny przykład kombinacji liniowej może dotyczyć wektorów
kolumnowych:
−
=
−
⋅
−
−
−
⋅
+
−
⋅
33
2
1
2
6
3
2
0
4
0
5
3
2
2
3
0
1
2
3
.
W tym przypadku współczynnikami kombinacji są:
3
1
=
c
,
2
2
=
c
i
4
3
−
=
c
. Wynik
końcowy otrzymaliśmy korzystając z definicji mnożenia macierzy przez liczbę i do-
dawania macierzy – jest nim wektor kolumnowy. W ten właśnie sposób należy rozu-
mieć kombinację liniową kolumn, o której mowa w punkcie 5c powyższego zestawie-
nia własności wyznaczników.
W poprzednim podrozdziale omówiliśmy działania na macierzach. Pojawia się
naturalne pytanie o to, jakie własności ma wyznacznik w kontekście tych działań.
1. Transponowanie nie zmienia wartości wyznacznika:
13
A
A
T
det
det
=
2. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników:
B
A
B
A
det
det
det
⋅
=
⋅
3. Wyznacznik iloczynu macierzy przez liczbę spełnia równanie:
( )
A
A
n
det
det
α
α
=
gdzie n jest wymiarem macierzy A.
Rozważmy przykład zastosowania operacji wykonywanych na kolumnach lub
wierszach wyznacznika do obliczania jego wartości.
Przykład
Weźmy wyznacznik czwartego stopnia:
1
0
4
0
4
1
2
6
5
4
3
8
2
0
4
0
det
Zanim zastosujemy rozwinięcie Laplace’a, za pomocą operacji na kolumnach i wier-
szach możemy „wytworzyć” więcej wyrazów zerowych. W tym celu do drugiej ko-
lumny dodajemy czwartą pomnożoną przez –2. Oczywiście kolumna pierwsza, trzecia
i czwarta pozostaną bez zmian:
−
−
=
−
−
−
−
1
0
2
0
4
1
6
6
5
4
7
8
2
0
0
0
det
1
0
2
4
0
4
1
8
2
6
5
4
10
3
8
2
0
4
4
0
det
Następnie zamiast drugiej kolumny piszemy sumę pierwszej i drugiej (pozostałe nie
zmieniają się):
=
+
−
−
1
0
2
0
4
1
0
6
5
4
1
8
2
0
0
0
det
1
0
2
0
0
4
1
6
6
6
5
4
7
8
8
2
0
0
0
det
Do czwartego wiersza możemy dodać pierwszy podzielony przez –2:
=
−
0
0
2
0
4
1
0
6
5
4
1
8
2
0
0
0
det
1
1
0
2
0
4
1
0
6
5
4
1
8
2
0
0
0
det
Podobnie postępujemy z drugim wierszem, dodajemy do niego czwarty podzielony
przez –2:
14
=
−
0
0
2
0
4
1
0
6
5
4
0
8
2
0
0
0
det
0
0
2
0
4
1
0
6
5
4
1
1
8
2
0
0
0
det
Wykonajmy jeszcze jedną operację, a mianowicie do drugiego wiersza dodajemy trze-
ci pomnożony przez –4:
−
−
=
−
−
−
0
0
2
0
4
1
0
6
11
0
0
16
2
0
0
0
det
0
0
2
0
4
1
0
6
16
5
4
4
0
24
8
2
0
0
0
det
Można jeszcze kontynuować dalsze upraszczanie, ale zakończmy je w tym
momencie. Najczęściej (z powodów wspomnianych wcześniej) rozwinięcia dokonu-
jemy wzdłuż wiersza lub kolumny, która zawiera najwięcej wyrazów zerowych. Jak
widać kandydatów jest kilka, ale wybierając pierwszy wiersz dostajemy:
( )
64
32
2
0
2
0
1
0
6
0
0
16
det
1
2
0
0
2
0
4
1
0
6
11
0
0
16
2
0
0
0
det
4
1
−
=
⋅
−
=
−
−
=
−
−
+
gdzie wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy w jeden ze standardowych sposobów
zaprezentowanych wcześniej.
4.3 Macierze odwrotne
W pierwszy podrozdziale obiecaliśmy zdefiniować działanie, które będzie od-
powiednikiem dzielenia liczb. Przede wszystkim ma ono sens jedynie dla macierzy
kwadratowych, to jest pierwsze ograniczenie. Drugie polega na tym, że warunkiem
koniecznym i dostatecznym wykonalności takiego działania jest to, aby wyznacznik
macierzy był różny od zera. Taką macierz nazywamy nieosobliwą. Podobnie jest dla
liczb – nie można dzielić przez zero.
Mając macierz A (kwadratową, której wyznacznik jest różnym od zera), macie-
rzą odwrotną do niej nazywamy macierz
1
−
A
zdefiniowaną warunkiem:
I
A
A
=
−1
gdzie I jest macierzą kwadratową, tego samego wymiaru co A. Okazuje się, że jeśli
macierz odwrotna istnieje, to również spełnia warunek:
I
AA
=
−1
. Ponadto macierz
odwrotna zadana jest jednoznacznie, jeśli istnieje, to jest tylko jedna.
Od razu w tym miejscu podamy niektóre własności macierzy odwrotnej. Jeżeli
skorzystamy z własności wyznacznika z iloczynu macierzy, to natychmiast otrzymu-
jemy:
A
A
det
1
det
1
=
−
.
Transponowanie jest przemienne z obliczaniem macierzy odwrotnej:
( )
( )
T
T
A
A
1
1
−
−
=
15
Macierz odwrotna iloczynu macierzy spełnia równanie bardzo podobne do ich trans-
ponowania:
(
)
1
1
1
−
−
−
=
⋅
A
B
B
A
Po tym krótkim omówieniu własności macierzy odwrotnej, pozostaje podać
sposób znajdowania jej. Definicja będzie opisowa. Jeżeli mamy zadaną macierz nie-
osobliwą A, to tworzymy tzw. macierz dołączoną A
D
:
[ ]
T
ij
D
A
A =
gdzie
ij
A
są dopełnieniami algebraicznymi macierzy A (przypominamy:
ij
A
równe jest
wyznacznikowi macierzy powstałej z wykreślenia i-tego wiersza oraz j-tej kolumny
pomnożonemu przez
( )
j
i+
−1
). Wtedy
1
−
A
otrzymujemy dzieląc macierz dołączoną
przez wyznacznik macierzy A:
D
A
A
A
det
1
1
=
−
Widać, że definicja nie jest zbyt skomplikowana, korzysta z wcześniej wprowa-
dzonych pojęć. Trzeba jednak zdać sobie sprawę, że obliczanie macierzy odwrotnej,
szczególnie wymiarów większych od trzech, na ogół jest bardzo pracochłonne. Roz-
ważmy przykład.
Przykład
Obliczmy macierz odwrotną do macierzy
2
2 × :
=
22
21
12
11
a
a
a
a
A
Warunek istnienia
1
−
A
ma postać:
0
det
21
12
22
11
≠
−
=
a
a
a
a
A
Dopełnienia algebraiczne są równe:
( )
22
22
1
1
11
det
1
a
a
A
=
∗
∗
∗
−
=
+
,
( )
21
21
2
1
12
det
1
a
a
A
−
=
∗
∗
∗
−
=
+
( )
12
12
1
2
21
det
1
a
a
A
−
=
∗
∗
∗
−
=
+
,
( )
11
11
2
2
22
det
1
a
a
A
=
∗
∗
∗
−
=
+
Stąd macierz odwrotna:
−
−
−
=
−
22
21
12
11
21
12
22
11
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Łatwo jest zapamiętać jej postać, po prostu trzeba wyrazy diagonalne zamienić miej-
scami, w pozostałych zmienić znak i oczywiście całość podzielić przez wyznacznik.
16
Istnienie macierzy odwrotnej pozwala rozwiązywać równania macierzowe, na
wzór równań liczbowych. Postawmy problem znalezienia takiej macierzy X, która
spełnia związek:
B
X
A
=
⋅
gdzie, A i B są zadanymi macierzami, z których pierwsza jest kwadratowa. Jeżeli
≠
A
det
0, to możemy obie strony równania pomnożyć (z lewej strony) przez macierz
odwrotną
1
−
A
:
B
A
X
A
A
⋅
=
⋅
⋅
−
−
1
1
Ponieważ z definicji
1
−
A
spełnia warunek:
I
A
A
=
−1
oraz iloczyn dowolnej macierzy
(w tym przypadku X ) i macierzy jednostkowej jest tą właśnie macierzą, więc otrzymu-
jemy rozwiązanie równania:
B
A
X
1
−
=
Do zagadnień tych powrócimy w następnym rozdziale, gdzie skorzystamy z po-
staci znalezionego rozwiązania.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
materialy sem1 A Karpio matematyka studia ns
materialy sem1 A Karpio matematyka uklady rownan
materialy sem1 A Karpio matematyka pochodne
materialy sem1 A Karpio matematyka studia ns
materialy sem1 A Karpio prezentacja z matematyki
materialy sem1 A Karpio plaszczyzna i proste
materialy sem1 gp prawoznawstwo Nieznany
materialy sem1 A Karpio fizyka
materialy sem1 A Karpio fizyka
materialy sem1 A Karpio plaszczyzna i proste
Materialy pomocnicze cardan AG Nieznany
Poetyka material na egzamin id Nieznany
więcej podobnych podstron