login

loguj

|

rejestracja

Matematyka

Ogromny wybór. Unikalne tytuły Sprawdź jakie
są ceny.

www.allegro.pl

Lokata na pół roku i 6,5%

Promocja do końca Marca Załóż Lokatę w
Polbanku.

Polbank.pl

Zarobki

Kalkulator płacy brutto i netto. Raporty
średnich płac w branżach.

www.pracuj.pl

menu

logika i zbiory

analiza matematyczna

algebra

geometria analityczna

rach. prawdopodobieństwa

liga matematyczna

konkursy

OM

matura

pomoce naukowe

katalog stron

ogłoszenia

korepetycje

forum

kalkulator

o nas

zobacz

sonda

Który to już rok?

Pierwszy (miau) ;)

Drugi

Trzeci - ostatni - nareszcie

Stary system jeszcze - (IV
lub V)

głosuj | zobacz wyniki

czy wiesz, że...

... granica jednostajnie zbieżnego
ciągu funkcji ciągłych jest funkcją
ciągłą.

forum

»

[geometria] suma kątów w...

»

[algebra] zbiory

»

[geometria] kula

»

[geometria] cięciwa

»

[krp] prawdopodobieństwo...

»

[geometria] wykazać nieró...

»

[analiza] zbiór wartości...

»

[analiza] definicja

algebra » zbiory liczbowe

Obliczenia procentowe

Pojęcie procentu

Przyjrzyjmy się danym z 2001 roku przedstawionych w tabelce:

W Hiszpanii w 2001 roku użytkowanych było znacznie mniej samochodów osobowych niż w Wielkiej Brytanii.
Jednak nie znaczy, że w Anglii cieszyły się one większą popularnością. Aby obiektywnie sprawdzić, w którym
kraju były one użytkowane w większej ilości pokażmy, ile samochodów przypadało na stu mieszkańców:

w Wielkiej Brytanii:

samochody,

w Hiszpanii:

samochodów.

Zauważamy więc, że mimo większej ilości samochodów użytkowanych w Anglii, cieszyły się one większą
popularnością w Hiszpanii. Obliczenie liczby aut przypadających na stu mieszkańców pozwoliło dokładniej

porównać dane. Tak więc zwrot "

na stu mieszkańców" jest równoważny "

liczby wszystkich

mieszkańców".

Stąd wzięła się nazwa procentu - określenie "na sto" po łacinie brzmi "pro centum".

Do czego służą nam procenty?

Z pojęciem procentu

spotykamy się codziennie w najróżniejszych sytuacjach - w prasie, sklepach,

ogłoszeniach, bankach, rocznikach statystycznych, radiu, telewizji itp. Wykorzystanie procentów pomaga w
wyrażeniu najróżniejszych danych w tabelach, diagramach, itp.

Definicja

Jednym procentem liczby nazywamy setną część tej liczby i oznaczamy

:

Wielka

Brytania

Hiszpania

Liczba samochodów

osobowych

24594000

18151000

Liczba mieszkańców

59070000

40266000

Przykład

Page 1 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

polecamy

Procent a ułamek

Zamieńmy teraz procent na ułamek dziesiętny.

Wiemy już, ze jeden procent równa się jednej setnej jakiejś wielkości. Wobec tego:

W analogiczny sposób zamienia się procenty na ułamki zwykłe:

Z przedstawionego powyżej diagramu możemy dowiedzieć się wielu rzeczy, na przykład:

zdecydowanie największą grupę etniczną w Polsce stanowią Polacy (

całej

społeczności),

drugą pod względem liczebności grupę stanowią Ukraińcy,

śydów jest znacznie więcej niż Białorusinów i Niemców, ale stanowczo mnie niż
Ukraińców,

pozostałe grupy stanowią jedynie

całej liczby ludności Polski.

Przykład

Z powyższego diagramu możemy odczytać na przykład, że:

Polska importuje więcej niż eksportuje paliwa o

,

więcej jest eksportowanych niż importowanych towarów rolno-spożywczych,

produktów przetwórstwa przemysłowego jest więcej eksportowanych niż importowanych,

Page 2 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Oczywiście można także wykonywać zamiany odwrotne, tzn. zamieniając ułamki zwykłe lub dziesiętne na
procent. W niektórych przypadkach można zamienić ułamek na procent rozszerzając go do mianownika

:

Zauważmy więc, że takie same wyniki otrzymalibyśmy mnożąc każdy z ułamków przez

i dopisując znak

:

Jednak nie każdy ułamek da się rozszerzyć do mianownika

. W takich przypadkach najczęściej znajduje

się rozwinięcie dziesiętne ułamka (dzieląc licznik przez mianownik) i procent podaje się w zaokrągleniu:

Jaki to procent?

Obliczając, jakim procentem danej liczby jest druga liczba, zaczynamy od ustalenia, jakim ułamkiem jednaj
liczby jest druga, a następnie zamieniamy ten ułamek na procent.

Przykład

Na podstawie powyższego diagramu określimy:

Jak łatwo policzyć, sprawdzian z matematyki napisało

osób. Wobec tego:

a)

ile procent osób z całej klasy dostało ocenę celującą,

b)

ile procent osób z całej klasy nie zaliczyło sprawdzianu,

c)

ile procent osób z całej klasy otrzymało lepszą ocenę niż dostateczna.

a)

mamy do obliczenia, jakim procentem liczby

jest liczba . Obliczamy najpierw, jakim

ułamkiem liczby

jest i zamieniamy otrzymany ułamek na procent:

lub inaczej:

b)

oceny niedostateczne otrzymały osoby, wobec tego obliczymy, jakim procentem liczby

jest liczba :

c)

ocenę lepszą niż dostateczna dostało

osób, wobec tego obliczymy, jakim procentem

Page 3 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Oprócz mówienia, że jakiś towar podrożał o

, możemy również powiedzieć, że nowa cena jest o

wyższa od początkowej.

Procent danej liczby

Powyższy diagram przedstawia skład procentowy kotleta schabowego.

Wyobraźmy sobie, że dostajemy na obiad kotlet schabowy, który waży

g. Na podstawie diagramu

możemy obliczyć na przykład, ile dostarczamy naszemu organizmowi tłuszczów, zjadając ten kotlet. Aby się
tego dowiedzieć, musimy obliczyć ile jest

liczby

.

W życiu codziennym często spotykamy się z określeniami:

więcej,

mniej, itp. Zastanówmy się

teraz, co one tak w ogóle oznaczają.

liczby

jest liczba

:

Przykład

Garnitur męski, którego cena wynosiła

zł podrożał o

zł. Obliczymy o ile procent wzrosła

cena.

Obliczamy, jakim ułamkiem liczby

jest liczba

, a następnie zamieniamy go na procent:

.

Garnitur podrożał o

ceny.

Przykład

Ile gramów tłuszczu zawiera ważący

g kotlet schabowy?

Najpierw zamieniamy procent na ułamek:

Następnie mnożymy ułamek przez liczbę:

odp. W kotlecie znajduje się

g tłuszczu.

Przykład

W sklepie z ubraniami zapowiedziano wiosenną obniżkę cen o

. Sukienka kosztuje

zł. Ile

będzie kosztowała po obniżce?

Obliczymy to dwoma sposobami.

SPOSÓB I:

Page 4 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Rysunek przedstawia budowlę z klocków wykonaną przez pewnego chłopca. Zużył on na jej wykonanie

wszystkich klocków, jakie posiadał oraz

wszystkich klocków koloru żółtego. Ile łącznie klocków posiada

chłopiec i ile łącznie posiada klocków żółtych?

Wiemy, że liczba użytych klocków stanowi

ogólnej liczby posiadanych przez chłopca klocków. Zatem

stanowi

ogólnej liczby. W tym wypadku wartość możemy znaleźć bez trudu: skoro

stanowi

, to

stanowi

. Z taką samą łatwością możemy obliczyć ogólną liczbę klocków żółtych: skoro

stanowi

, to stanowi

.

Również łatwo można obliczyć:

Jednak nie zawsze w taki łatwy sposób można obliczyć zadania. Przy trudniejszych przykładach można się
posłużyć równaniami lub proporcjami.

Obliczamy, jakim procentem starej ceny będzie nowa cena:

Zamieniamy procent na ułamek:

Obliczamy nową cenę:

SPOSÓB II:

Zamieniamy procent na ułamek:

Obliczamy kwotę, o którą zostanie obniżona cena:

Obliczamy nową cenę:

odp. Po obniżce sukienka będzie kosztowała

zł.

jeżeli

liczby jest równe

, to

,

jeżeli

liczby jest równe

, to

,

jeżeli

liczby jest równe

, to

.

Przykład

Znajdziemy liczbę, której

wynosi

.

SPOSÓB I:

Zamieniamy procent na ułamek:

Układamy równanie:

Page 5 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Obliczenia procentowe

Poznaliśmy już trzy podstawowe rodzaje obliczeń procentowych. Jednak nie zawsze łatwo jest zdecydować,
jaki typ obliczeń należy zastosować, aby rozwiązać zadanie. Czasami wymagane jest stosowanie dwóch lub
nawet trzech typów obliczeń.

SPOSÓB II:

Układamy proporcję:

odp. Szukaną liczbą jest

.

Przykład

Cenę pewnego towaru podwyższono o

i wynosi ona obecnie

zł. Jaka była cena tego

towaru przed podwyżką?

Obliczamy, jakim procentem starej ceny jest nowa cena:

Zamieniamy procent na ułamek:

Układamy i rozwiązujemy równanie:

odp. Cena przed podwyżką wynosiła

zł.

Przykład

Pan X zarabia

zł. Pan Y zarabia o

więcej niż pan X, natomiast o

mniej niż pan Z.

Ile zarabia pan Y, a ile pan Z?

Obliczamy, jakim procentem zarobków pana X są zarobki pana Y:

Zamieniamy procent na ułamek:

Obliczamy zarobki pana Y:

Obliczamy zarobki pana Z:

-zarobki pana Z

odp. Pan Y zarabia

zł, a pan Z

zł.

Przykład

Page 6 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

W pudełku było

ciastek. Chłopiec zjadł

wszystkich ciastek, a jego siostra -

pozostałych ciastek. Ile ciastek pozostało w pudełku?

Obliczamy, ile ciastek zjadł chłopiec:

Obliczamy, ile ciastek pozostawił chłopiec w pudełku:

Obliczamy, ile ciastek zjadła siostra chłopca:

Obliczamy, ile ciastek pozostało w pudełku:

odp. W pudełku pozostało

ciastek.

Page 7 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm