1. Ocena błędu pomiarowego w oparciu o klasę przyrządu

%

100

)

(

min

max

x

x

x

m

gr









Wyniki pomiarów

gr

z

x

x







b) pomiar pośredni
błąd max

|]

|

...

|

|

|

[|

max

2

2

1

1

n

n

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y



































Błąd prawdopodobny

2

2

2

2

2

1

1

)

(

...

)

(

)

(

n

n

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y



































c) kondensatory połączone równolegle
y=C

1

+C

2

005

.

0

05

.

0

%

10

05

.

0

1









C

01

.

0

1

.

0

%

10

1

.

0

2









C

Błąd max

|]

|

...

|

|

|

[|

max

2

2

1

1

n

n

x

y

x

x

y

x

x

y

x

y



































]

2

)

2

1

(

01

.

0

|

|

1

)

2

1

(

005

.

0

[|

max

C

C

C

C

C

C

y























]

1

01

.

0

|

|

1

005

.

0

[|

max









y

015

,

0

max 

y

Błąd prawdopodobny

2

2

)

2

)

2

1

(

01

.

0

(

)

1

)

2

1

(

005

.

0

(

C

C

C

C

C

C

y



























2

2

)

1

01

.

0

(

)

1

005

.

0

(









y

01118

,

0



y

2. Błędy losowe

Definicja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wzory na wyznaczenie wartości

średniej, wariancji i odchylenia standardowego.

1.Gęstość prawdopodobieństwa – nieujemna funkcja p(x) ciągłej zmiennej losowej X taka, że:

( ) 1

p x









oraz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X należy do przedziału

( , )

a b

dane jest

wzorem:

(

)

( )

b

a

P a

X

b

f x dx









2. Wyznaczenie wartości oczekiwanej (średniej) oraz wariancji i odchylenia standardowego

a) dla dyskretnej zmiennej losowej

1

n

i

i

i

x p











,



-wartość średnia ,

i

x

-wartość zmiennej losowej,

i

p

-wartość prawdopodobieństwa

2

2

1

(

)

n

i

i

i

p x













,



-wariancja

2



- odchylenie standardowe – pierwiastek kwadratowy z wariancji

b) dla ciągłej zmiennej losowej

( )

x p x dx













2

2

( ) (

)

p x

x

dx

















2



- odchylenie standardowe – pierwiastek kwadratowy z wariancji

Wyznaczenie średniej wartości dla rozkładu jednostajnego w zadanym przedziale

[ , ]

a b

. Przykład.

( ) 1

p x









1

( )

;

[ , ]

0;

( , )

p x

x

a b

b a

x

a b


















( )

x p x dx













=

1

b

a

x

dx

b a







=

1

b

a

x dx

b a









=

2

1

1

2

b

x

a

b a









2

2

1

2

2

b

a

b a

b a











=>

2

b

a







2

2

2

1

( ) (

)

2

2

b

a

b

a

z

x

b a

p x

x

dx

x

dx

b a

dz

dx











 







































 





2

2

2

2

3

2

2

1

1

1

3

12

b a

b a

b a

b a

b a

z dz

z

b a

b a































;





2

2

12

b a











2

2

12

b a







Rozkład normalny i jego postać standardowa.

Funkcja gęstości rozkładu normalnego ze średnią



oraz wariancją

2



, jest przykładem funkcji

Gaussa, dana jest wzorem:

2

2

(

)

2

1

( )

2

x

p x

e















W przypadku, gdy zmienna losowa X ma rozkład z wartością średnia

0





i wariancją

2

1





, to:

2

( )

2

1

( )

2

x

p x

e







jest to postać standardowa rozkładu normalnego.

Definicje: poziom ufności, poziom istotności i przedział ufności. Poziomy ufności dla rozkładu

normalnego odpowiadające przedziałom:

, 2 , 3













Poziom ufności „c” – dla przedziału [-x,x] jest to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X o
rozkładzie normalnym standardowym przyjmuje wartości z tego przedziału.

Poziom istotności „

1 c

  

” – jest to maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia

błędu. Najczęściej przyjmuje się

0.05

 

.

Przedział ufności – jest to zakres , w którym mieście się średnia wartość badanej cechy, która jest
określona na podstawie badanej próby, w populacji. Definiuje on wielkość błędu, o ile uzyskany wynik
może odbiegać od wartości rzeczywistej.

~ 68, 3%

2

2

~ 95%

3

3 ~ 99, 7%

X

X

X

 

 









































Przedziały ufności dla rozkładu normalnego

Wyznaczanie przedziałów ufności dla serii pomiarów w przypadku ich małej (rozkład t-Studenta) i

dużej (rozkład Gaussa) liczby. Zastosowanie wzorów dla konkretnych przypadków.

1. Liczba pomiarów

(

30)

N 

jest duża, wtedy wariancję

2



można zastąpić przez jej

estymator

_

2

2

1

1

(

)

1

N

i

i

S

x

x

N











gdzie

_

x

to estymator wartości średniej



,

_

1

1

N

i

i

x

x

N







,

wtedy:

c

c

S

S

x

z

x

z

N

N











2. Przy małej liczbie pomiarów

(

30)

N 

należy korzystać z rozkładu t-Studenta.

,

,

S

S

x t

x t

N

N

 

 











Przykład: Określić przedział ufności dla 100 pomiarów ciśnienia. Przyjąć poziom ufności c=99%

Ciśnienie [MPa]

Liczba wystąpień

3.970

1

3.980

3

3.990

12

4.000

25

4.010

33

4.020

17

4.030

6

4.040

2

4.050

1





_

1

1

1

3.97 3 3.98 12 3.99 25 4 33 4.01 17 4.02 6 4.03 2 4.04 4.05

4.008

100

N

i

i

x

x

MPa

N







 







 







 

 







100

_

2

2

1

1

1

1

(

)

(

4.008)

0.014

1

100 1

N

i

i

i

i

S

x

x

x

MPa

N























Ze względu na dużą liczbę pomiarów

(

30)

N 

, należy skorzystać z rozkładu Gaussa.

0.99

0.99

2.575

c

z







0.0014

0.014

4.008 2.575

4.008 2.575

4.0044

4.0116

100

100

c

c

S

S

x

z

x

z

N

N











 





















-poziom istotności

-liczba stopni swobody

Przykład: Wyznaczono następujące wartości napięcia:

U[V]

7.5

8.2

7.5

8.6

8.6

8.7

7.4

8.2

7.3

7.8

Określić przedział ufności przy założeniu, że poziom ufności wynosi c=98%.

10

_

1

1

1

1

1

(7.5 8.2 7.5 8.6 8.6 8.7 7.4 8.2 7.3 7.8)

7.98

10

10

N

i

i

i

i

x

x

x

V

N





































10

_

2

2

1

1

1

1

(

)

(

7.89)

0.545

1

9 1

N

i

i

i

i

S

x

x

x

V

N























,

0.02,9

0.98

1

0.02

1 9

2.821

c

c

N

t

t

 







  



 





,

,

S

S

x t

x t

N

N

 

 











0.545

0.545

7.98 2.821

7.98 2.821

7.494

8.446

10

10



















3. Analiza regresji.

a) Gęstość prawdopodobieństwa

Łączny rozkład gęstości prawdopodobieństwa :

y

x

y

y

Y

y

x

x

X

x

P

y

x

P

y

x

































]

,

[

lim

)

,

(

0

;

0

Definiujemy również rozkłady brzegowe











dy

y

x

p

x

p

)

,

(

)

(











dx

y

x

p

y

p

)

,

(

)

(

oraz











1

)

,

(

)

,

(

dxdy

y

x

p

y

x

p

Zmienne X i Y są niezależne tylko wtedy gdy

)

(

)

(

)

,

(

y

p

x

p

y

x

p





Wartość średnia rozkładu dwuwymiarowego wartości x i y

 

















dxdy

y

x

p

x

x

)

,

(



 

















dxdy

y

x

p

y

y

)

,

(



Wartość wariancji rozkładu dwuwymiarowego wartości x i y

 



















dxdy

y

x

p

x

x

x

)

,

(

)

(

2

2





 



















dxdy

y

x

p

y

y

y

)

,

(

)

(

2

2





Wartość kowariancji – zależności liniowej między X i Y























)

(

,

x

y

x

x

C



dxdy

y

x

p

y

y

)

,

(

)

(







-- nie jestem pewien czy ma być całka podwójna

Rozkład normalny 2 zmiennych losowych- funkcja gęstości

2

2

2

2

1

2

]}

)

(

)

(

)

(

2

)

[(

]

)

1

(

2

1

exp{[

)

,

(

xy

y

x

y

y

y

y

x

x

xy

x

x

xy

y

y

x

x

y

x

p





























































Gdzie

y

x

xy

xy

C









- współczynnik korelacji.

Jeżeli

,

0



xy



to znaczy że zmienne są nieskorelowane (są niezależne od siebie),

wtedy wzór na gęstość prawdopodobieństwa przyjmuje postać

)

(

)

(

)

,

(

y

p

x

p

y

x

p





Współczynnik korelacji

,

xy



y

x

xy

xy

C









W celu wyznaczenia korelacji można posłużyć się testem statystycznym (sprawdza czy
istnieje korelacja)

Definiujemy

)

1

ln(

5

.

0

xy

xy

w











Przy czym



























N

i

i

N

i

i

N

i

i

i

xy

y

y

x

x

y

y

x

x

1

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(



Zmienna losowa w ma rozkład normalny przy czym

)

1

1

ln(

5

.

0

xy

xy

w













3

1





N

w



N- liczba pomiarów

Sprawdzamy czy

C

xy

xy

C

Z

N

Z















)

1

ln(

2

3





Z-odczytujemy z tablic dla podanego poziomu istotności

Jeżeli ten warunek jest spełniony to korelacja wynosi 0

4. Podstawowe pojęcia teorii estymacji

Definicja estymatora: nieobciążonego, zgodnego, najefektywniejszego.

Estymator nieobciążony – gdy wartość oczekiwana rozkładu estymatora jest równa wartości

szacowanego parametru

^

E





 



 

 

Estymator zgodny – gdy jest stochastycznie zbieżny do wartości szacowanego parametru

^

lim

0

N

P

 























, ze względów na skomplikowanie obliczeń, wystarczy, że zajdzie warunek

(lecz nie jest to konieczne):

2

^

lim

0

N

E

 































Estymator najefektywniejszy – gdy błąd dla tego estymatora jest najmniejszy ze wszystkich

innych błędów estymatorów

2

2

^

^

opt

E

E





 























































, estymator optymalny nie jest

wyznaczony jednoznacznie.

Przykład: Wykazać, że estymator wartości średniej jest nieobciążony i zgodny.

_

1

1

1

1

1

N

N

i

i

i

i

E x

E

x

E

x

N

N

N

N















 



















 

 













; gdyż estymator

 

i

E x





- estymator jest

nieobciążony













2

2

2

_

2

2

1

1

1

1

1

1

N

N

N

i

i

i

i

i

i

E

x

E

x

E

x

E

x

N

N

N



































































































































Suma do kwadratu zawiera sumy kwadratów, ale także iloczyny mieszane. Wyrazy stanowiące
iloczyny mieszane o różnych wskaźnikach mają wartość średnią oczekiwaną równą 0. Wnika to z

niezależności zmiennych

1

...

n

x

x









2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

N

N

i

i

i

i

E

x

x

N

N

N

N

N







































































2

2

_

lim

lim

0

N

N

E

x

N











































- estymator jest, więc zgodny

Przykład

Poszukujemy estymatorów rozkładu normalnego, funkcja gęstości prawdopodobieństwa:

Wyznaczamy logarytm w celu uproszczenia obliczeń:

Funkcja wiarygodności L:

Maksymalizujemy L ze względu na m:

Co daje standardowy estymator średniej, jako estymator parametru m:

Podobnie maksymalizujemy L ze względu na

:

Co daje ostatecznie standardowy estymator wariancji, jako estymator parametru

:

5. Charakterystyki dynamiczne przetworników liniowych

Odpowiedź skokowa i charakterystyki częstotliwościowe przetwornika pierwszego rzędu.
Identyfikacja stałej czasowej w oparciu o wyznaczoną doświadczalnie charakterystykę
skokową.

Przetworniki

I

rzędu

opisuje

równanie:

1

0

0

( )

( )

dy

A

A y t

B x t

dt





gdy

0

1

A 

to:

( )

( )

dy

T

y t

S x t

dt







Transmitancja operatorowa ma postać:

( )

( )

( )

1

Y s

S

G s

X s

Ts







; gdzie

0

0

B

S

A



,

1

0

A

T

A



Odpowiedź przetwornika I rzędu przy wymuszeniu skokowym

( )

1( )

x t

A

t





wynosi:

( )

(1

)

t

T

y t

S A

e











S=1 - czułość

T=1 – s. czasowa

Transmitancja widmowa przetwornika I rzędu:

(

)

1

S

G j

j T









Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa określająca stosunek amplitud odpowiedzi i

wymuszenia ma postać:

2

2

2

(

)

( )

( )

1 (

)

S

G j

P

Q

T

















Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa określająca przesunięcie fazowe między sygnałami
wymuszenia i odpowiedzi określa związek:

( )

( )

( )

Q

tg

P









( )

(

)

arctg

T

 





 

Charakterystyki przedstawione w funkcji pulsacji zredukowanej

T



, której wartość na osi odciętych

wyrażono również w skali logarytmicznej. Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa członu I rzędu

ma wtedy postać:





2

[ (

)]

( )

20 lg( ) 20 lg 1

Lm G j

Lm

S

T















Charakterystyki można

aproksymować dwiema półprostymi:

20 lg ;

1

( )

20 lg

20 lg

;

1

S

T

Lm

S

T

T













 







Przebieg logarytmicznej charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej przetwornika I rzędu

przedstawia rysunek 6.6. Pulsacja

1

z

T

 

nosi nazwę pulsacji załamania.

Odpowiedź skokowa i charakterystyki częstotliwościowe przetwornika drugiego rzędu.
Identyfikacja częstości drgań nietłumionych i bezwymiarowy współczynnik tłumienia w
oparciu o wyznaczoną doświadczalnie charakterystykę skokową.

Przetworniki II rzędu opisuje równanie:

2

2

1

0

0

2

( )

( )

d y

dy

A

A

A y t

B x t

dt

dt







Transmitancja operatorowa ma postać:

2

0

2

2

0

0

( )

( )

( )

2

S

Y s

G s

X s

s

s















, gdzie:

0

0

B

S

A



- czułość;

0

0

2

A

A

 

- pulsacja drgań własnych;

1

0

2

2

A

A A

 

- wsp. tłumienia względnego

Pierwiastki równania charakterystycznego transmitancji:

2

1,2

0

(

1)

s







  





Gdy

0

1







to:

1

2

0

2

0

( )

( )

( )

(

)

S

Y s

G s

X s

s















, gdzie

1

2

0

1











Gdy

1





to:

1

2

( )

( )

( )

(1

)(1

)

Y s

S

G s

X s

sT

sT









, gdzie





1,2

2

2

1

1

T











Na podstawie rysunku 6.9 można obliczyć pulsację drgań własnych i współczynnik tłumienia:

u

t

-czas odpowiedzi,



- okres drgań tłumionych,

( )

u

y t

-wartość ustaloną odpowiedzi,

m

y



- przelot

pulsacja drgań własnych:

wsp. tłumienia:

Transmitancja widmowa przetwornika II rzędu:

2

0

0

(

)

1

2

S

G j

j































Charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową wyznacza się z zależności:

2

2

2

0

0

(

)

1

2

S

G j



























































Charakterystykę fazowo-częstotliwościową wyznacza się z zależności:

0

0

2

( )

arctg



 













;

2

0

1 2

r











WZMACNIACZ OPERACYJNY

Wzmacniacze operacyjne są chyba najbardziej rozpowszechnionymi analogowymi

układami scalonymi. Początek tych układów sięga czasów dla niektórych zupełnie
historycznych, bo lat pięćdziesiątych XX wieku. Oczywiście nie było jeszcze wtedy mowy o
takiej postaci tych układów jak obecnie. W tamtych czasach układy te stosowane były w
maszynach analogowych i służyły jedynie do wykonywania operacji matematycznych, takich
jak dodawanie czy całkowanie, stąd też pochodzi ich nazwa wzmacniacz operacyjny.

Wzmacniacz operacyjny opisywany jest jako wzmacniacz prądu stałego, czy jak kto

woli wzmacniacz o sprzężeniach bezpośrednich, który charakteryzuje się bardzo dużym
wzmocnieniem, wejściem różnicowym (symetrycznym) i wyjściem asymetrycznym - są
również wzmacniacze z wyjściem symetrycznym.

Wzmacniacz operacyjny służy podobnie jak inne wzmacniacze do wzmocnienia

napięcia czy też mocy, różni się jednak od zwykłych wzmacniaczy tym, że w przeciwieństwie
do nich sposób jego działania zależy głównie od zastosowanego zewnętrznego obwodu
sprzężenia zwrotnego (najczęściej silnego ujemnego sprzężenia zwrotnego).

Na rysunku 6.1 przedstawiony jest przykładowy symbol graficzny wzmacniacza

operacyjnego. Wejście oznaczone znakiem "-" jest tak zwanym wejściem odwracającym
(odwraca fazę sygnału wejściowego), wejście oznaczone znakiem "+" to wejście
nieodwracające, po przeciwnej stronie znajduje się wyjście wzmacniacza (w tym przypadku
końcówka nr 1). Aby na wejściach i wyjściu mogły występować napięcia zarówno dodatnie
jak i ujemne to układ musi być zasilany napięciami dodatnim i ujemnym podawanymi na
końcówki 4 i 11 (oczywiście dotyczy to tego typu wzmacniacza jak na rys. 6.1 dla innych
typów będą to inne numery końcówek).

rys. 6.1

Na rysunku 6.2 pokazany jest najprostszy schemat zastępczy wzmacniacza operacyjnego.

rys. 6.2

Na wejście odwracające doprowadzony jest sygnał U

I2

, na wejście nieodwracające U

I1

.

Sygnał wejściowy występujący pomiędzy wejściami wzmacniacza jest nazywany sygnałem
różnicowym U

d

i jest równy różnicy sygnałów wejściowych U

I1

- U

I2

. Pomiędzy wejściami

wzmacniacza występuje wejściowa rezystancja różnicowa R

d

. Napięcie wyjściowe jest

proporcjonalne do wejściowego napięcia różnicowego U

d

, a współczynnik K

u

jest nazywany

wzmocnieniem napięciowym wzmacniacza z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego (open loop
gain). Napięcie na wyjściu wzmacniacza można, więc opisać zależnością

U

O

=K

u

· (U

I1

- U

I2

)=K

u

· U

d

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 2

Właściwości idealnego wzmacniacza operacyjnego można w skrócie przedstawić
następująco:

 nieskończenie duże wzmocnienie przy otwartej pętli sprzężenia zwrotnego,
 nieskończenie duża wejściowa impedancja zarówno różnicowa jak i pomiędzy

każdym wejściem i masą,

 impedancja wyjściowa równa zeru,
 nieskończenie szerokie pasmo przenoszenia częstotliwości,
 napięcie wyjściowe równe zeru przy równych napięciach wejściowych,
 zerowy prąd wejściowy,
 nieskończenie duży dopuszczalny prąd wyjściowy,
 nieskończenie duże tłumienie sygnału współbieżnego,
 niezmienność parametrów pod wpływem temperatury.

Oczywiście wszystkie te właściwości nie są osiągalne, ale upraszczają analizę wzmacniaczy i
stanowią wyznacznik do osiągania najlepszych parametrów produkcyjnych wzmacniaczy.

Parametry wzmacniacza operacyjnego rzeczywistego:

 wzmocnienie napięciowe różnicowe K

ur

.

 wzmocnienie napięciowe sumacyjne K

us

.

 współczynnik tłumienia sygnału sumacyjnego H

s

.

 rezystancja (impedancja) wejściowa różnicowa r

wer

(Z

wer

).

 rezystancja (impedancja) wejściowa sumacyjna r

wes

(Z

wes

).

 rezystancja (impedancja) wyjściowa r

wy

(Z

wy

).

 wejściowy prąd polaryzacji I

we

.

 wejściowe napięcia niezrównoważenia U

wen

.

 wejściowy prąd niezrównoważenia I

wen

.

 Ddryfty: temperaturowy i czasowy wejściowego napięcia i prądu niezrównoważenia.
 parametry graniczne: maksymalne napięcie wejściowe U

we max

, maksymalne różnicowe

napięcie wejściowe U

wer max

, maksymalne napięcie wyjściowe U

wy max

, maksymalny

prąd wyjściowy I

wy max

.

 napięcie U

z

i moc P

z

zasilania.

 szerokość pasma częstotliwości – określana częstotliwością graniczną f

g

, marginesem

wzmocnienia A i marginesem fazy

.

 parametry odpowiedzi na skok napięcia: czas narastania t

n

, szybkość narastania S,

przeregulowanie (przerzut)



u

.

WZMACNIACZE OPERACYJNE.

Wzmacniacze operacyjne stanowią największą grupę analogowych układów scalonych.
Charakteryzują się następującymi właściwościami:

 bardzo dużym wzmocnieniem napięciowym (powyżej 10000 V/V czyli 80dB),
 wzmacniają prąd stały ,
 odwracają fazę sygnału wyjściowego w stosunku do sygnału podawanego na wejściu

odwracające (oznaczenie „ – „) lub zachowują zgodność w fazie jeżeli sygnał
wejściowy jest podawany na wejście nieodwracające (oznaczenie „ + „),

 dużą rezystancję wejściową (M),
 małą rezystancję wyjściową ().

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 3

Rys. 10.8. Symbol wzmacniacza operacyjnego.

Podział wzmacniaczy ze względu na przeznaczenie:

 ogólnego przeznaczenia,
 szerokopasmowe,
 stosowane w urządzeniach dokładnych, gdzie wymagana jest duża rezystancja

wejściowa, mały współczynnik cieplny i małe szumy,

 do zastosowań specjalnych.

Zastosowanie wzmacniaczy operacyjnych:

 układach analogowych, gdzie wykonują operacje: dodawania, odejmowania,

mnożenia, dzielenia, całkowania i różniczkowania,

 wzmacniaczach logarytmicznych,
 generatorach sygnałów: prostokątnych, trójkątnych i sinusoidalnych,
 filtrach,
 detektorach liniowych i detektorach wartości szczytowej,
 układach próbkujących z pamięcią.

Podstawowe układy pracy wzmacniaczy operacyjnych:

 wzmacniacz odwracający,
 wzmacniacz nieodwracający,
 wzmacniacz sumujący i odejmujący,
 wzmacniacz całkujący,
 wzmacniacz różniczkujący,
 wtórnik napięciowy,
 konwerter prąd – napięcie,
 przesuwnik fazy,
 prostownik idealny.

Procedura do przeprowadzenia analizy pracy wzmacniacza operacyjnego:

Zakłada się, że rezystancja wejściowa wzmacniacza operacyjnego jest nieskończenie duża
(wzmacniacz nie pobiera prądów wejściowych), wartości prądów polaryzujących są równe
zeru

0









we

we

I

I

;

(10.25)

Literami oznacza się węzły na schemacie (np. A, B) i ich potencjały (np. U

A

, U

B

).

Zaznacza się prądy płynące w układzie (np. I

1

, I

2

).

We1

We2

U

we2

U

we1

W

y

U

wy

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 4

Korzystając z praw Kirchhoffa, układa się równania dla węzłów znajdujących się w układzie
(np. dla węzła A i B).

Zakłada się, że różnica napięć

B

A

U

U

U







jest prawie równe zeru, a co za tym idzie

potencjał w punkcie A (U

A

) jest równy potencjałowi w punkcie B (U

B

). U

B

nazywamy masą

pozorną lub „wirtualną” ziemią.
Korzystając z prawa Ohma, układa się równania dla poszczególnych prądów.
Na podstawie otrzymanych równań wyznacza się zależność napięcia wyjściowego w funkcji
napięcia wejściowego (ewentualnie napięć wejściowych).

WZMACNIACZ ODWRACAJĄCY


















Rys.10.9. Schemat wzmacniacza odwracającego.

Schemat wzmacniacza przedstawiono na rysunku 10.9. Postępując zgodnie z procedurą na
schemacie zaznaczone są węzły A i B i prądy płynące w układzie. Prąd płynący przez rezystor
R

1

jest równy prądowi płynącemu przez rezystor R

2

. Przy założeniu, iż jest nieskończenie

duża rezystancja wejściowa oraz rezystancja wyjściowa równa zeru. W myśl tego
otrzymujemy:

2

1

I

I 

;

Dla węzła B nie układamy równania, gdyż prądy polaryzujące są równe zeru.
I zgodnie z założeniami zawartymi w procedurze, w punkcie 1 i 5 mamy:

0





B

A

U

U

;

Węzeł B jest połączony przez rezystor R

3

do masy układu, zatem potencjał w punkcie B jest

równy zeru, jest to tak zwany punkt masy pozornej.

Zgodnie z 6 i 7 punktem procedury, równania poszczególnych prądów są następujące:

1

1

R

U

U

I

A

we





;

U

A

B

A

U

we

R

1

R

2

R

3

U

B

I

1

I

2

U

wy

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 5

2

2

R

U

U

I

wy

A





;

Ponieważ

2

1

R

U

U

R

U

U

wy

A

A

we







;

2

1

R

U

R

U

wy

we





;

otrzymujemy napięcie na wyjściu równe:

we

wy

U

R

R

U

1

2





;

(10.26)

a wzmocnienie układu wynosi

1

2

R

R

U

U

k

we

wy

u







;

(10.27)

przy czym znak „ - „ oznacza odwrócenie fazy napięcia wyjściowego względem napięcia
wejściowego. Rezystancja wejściowa układu jest równa R

1

, ponieważ punkt A jest punktem

masy pozornej. Rezystancję wyjściową określa się zgodnie z zależnością obowiązującą dla
układu ze sprzężeniem zwrotnym napięciowym równoległym.
W celu uzyskania kompensacji błędu (napięcia niezrównoważenia) spowodowanego różnymi
pod względem wartości prądami polaryzującymi I

we+

i I

we-

(I

we+

 I

we-

 0), wartość

rezystancji R

3

powinna być równa wartości rezystancji wynikającej z równoległego

połączenia rezystorów R

1

i R

2

.

Jeżeli rezystory te będą miały jednakową rezystancję, to otrzymuje się inwerter (wzmocnienie
równe – 1).

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 6

WZMACNIACZ NIEODWRACAJĄCY
















Rys. 10.10. Schemat wzmacniacza nieodwracającego.

Sygnał wejściowy jest podawany na wejście nieodwracające wzmacniacza operacyjnego.
Według procedury:

2

1

I

I 

;

A

we

B

U

U

U





;

1

1

R

U

I

we



;

2

2

R

U

U

I

we

wy





;

2

1

R

U

U

R

U

we

wy

we





;

napięcie na wyjściu wynosi





1

2

1

R

U

R

R

U

we

wy





;

(10.28)

natomiast wzmocnienie wynosi

1

2

1

2

1

1

R

R

R

R

R

U

U

k

we

wy

u











;

(10.29)

Napięcia na wejściu odwracającym i wejściu nieodwracającym mają taką samą wartość,
zatem rezystancja wejściowa układu jest równa rezystancji wzmacniacza operacyjnego dla
sygnału współbieżnego. Rezystancja wejściowa jest bardzo duża i w praktyce wynosi 10

10



10

13

.

B

A

U

we

R

1

R

2

U

B

U

A

I

1

I

2

U

wy

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 7

WTÓRNIK NAPIĘCIOWY

Wtórnik napięciowy uzyskuje się we wzmacniaczu nieodwracającym przy

zastosowaniu rezystora o nieskończonej wartości. Wartość rezystancji R powinna być równa
wartości rezystancji źródła sygnału wejściowego. Taki układ charakteryzuje się bardzo dużą
rezystancją wejściową i małą rezystancją wyjściową.

we

wy

U

U





;

(10.30)

Rys. 10.11. Schemat wtórnika napięciowego.

WZMACNIACZ ODEJMUJĄCY

Wzmacniacz odejmujący jest często zwany również różnicowym.
Realizuje on odejmowanie napięć wejściowych w odpowiednim stosunku zależnym od
wartości rezystorów znajdujących się w układzie. Schemat wzmacniacza odejmującego
przedstawiony jest na rysunku 10.12.

Rys. 10.12. Schemat wzmacniacza różnicowego.

R

U

we

U

wy

B

A

U

1

R

1

R

3

U

A

I

1

I

3

U

wy

R

2

R

4

I

2

I

4

U

2

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 8

Analiza pracy według procedury przedstawionej wcześniej:

B

A

U

U 

;

3

1

I

I 

;

4

2

I

I 

;

1

1

1

R

U

U

I

A





;

3

3

R

U

U

I

wy

A





;

3

1

1

R

U

U

R

U

U

wy

A

A







;

stąd

2

1

3

1

1

R

R

R

U

R

U

U

wy

A







;

(10.31)

2

2

2

R

U

U

I

B





;

4

4

R

U

I

B



;

4

2

2

R

U

R

U

U

B

B





;

stąd

4

2

4

2

R

R

R

U

U

B





;

(10.32)

Po przekształceniu wzorów (10.31) i (10.32) otrzymujemy:









2

1

4

2

4

3

1

1

1

3

U

R

R

R

R

R

R

U

R

R

U

wy











;

(10.33)

jeśli spełniony będzie warunek

2

4

1

3

R

R

R

R



;

(10.34)

to





1

2

1

3

U

U

R

R

U

wy





;

(10.35)

Rezystancja wejściowa dla wejścia odwracającego, przy U

2

= 0 jest równa

R

1

+ R

3

, a dla wejścia nieodwracającego R

2

+ R

4

. Kompensacje błędu spowodowanego

wejściowymi prądami polaryzującymi uzyskuje się w wyniku zastosowania rezystorów
spełniających warunek R

1

|| R

3

= R

2

|| R

4

.

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 9

WZMACNIACZ SUMUJĄCY

Za pomocą tego wzmacniacza łatwo można zrealizować dodawanie.






















Rys. 10.13. Schemat wzmacniacza sumującego.

Korzystając z procedury analizy pracy wzmacniacza operacyjnego otrzymujemy:

0





B

A

U

U

;

I

I

I

I

n









2

1

1

1

1

R

U

I 

;

2

2

2

R

U

I 

;

...;

n

n

n

R

U

I 

;

wy

U

R

I 

;

























n

n

wy

R

U

R

U

R

U

R

U



2

2

1

1

;

(10.36)

RI

U

wy





;

(10.37)

Wartość rezystancji R

R

powinna być równa rezystancji wynikającej z równoległego

połączenia rezystorów R

1

, R

2

, ... R

n

i R.

W wyniku połączenia wzmacniacza różnicowego i sumującego otrzymujemy układ
realizujący jednocześnie sumowanie i odejmowanie napięć.

U

1

R

R

1

I

1

I

A

B

R

R

U

wy

I

2

I

3

I

n

R

2

R

3

R

n

U

2

U

3

U

n

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 10

W celu uniknięcia błędów należy pamiętać, aby rezystancje „widzialne” między wejściem
wzmacniacza operacyjnego a masą były jednakowe dla obu wejść wzmacniacza
operacyjnego.

WZMACNIACZ CAŁKUJĄCY – INTEGRATOR

Integrator

otrzymuje się poprzez włączenie kondensatora C w obwód sprzężenia zwrotnego.

I

I 

1

;

Q

CU 

;

idt

CdU 

;

1

1

R

U

I

we



;

dt

dU

C

I

wy





;

dt

dU

C

R

U

wy

we





1

;

we

wy

U

CR

dt

dU

1

1





;

Napięcie wyjściowe można wyznaczyć poprzez scałkowanie obu stron równania

 

 

0

1

1

U

dt

t

U

CR

t

U

we

wy









;

(10.38)

U

0

– wartość początkowego napięcia w chwili początkowej t = 0.

Stąd też nazwa układu jako całkujący.

a)

b)

Rys.10.14. Schematy integratora:
a) układ podstawowy, b) układ z obwodem RC w pętli sprzężenia zwrotnego

C

R

1

R

2

R

3

U

wy

U

we

C

R

1

R

2

U

wy

U

we

I

1

I

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 11

Korzystając z zapisu operatorowego

R

Z 

1

;

C

j

Z



1

2



;

możemy określić wzmocnienie układu

C

R

j

Z

Z

k

u

1

1

2

1











;

(10.39)

Wzmocnienie integratora zależy od częstotliwości sygnału. Jeżeli powyższy układ zostanie
zmodyfikowany przez dołączenie rezystora R

2

równolegle do kondensatora C (rys 10.14b) to

nastąpi ograniczenie wzmocnienia dla małych częstotliwości – otrzymuje się człon inercyjny.
Wzmocnienie tego układu oblicza się ze wzoru:

C

R

j

R

R

k

u

2

1

2

1







;

(10.40)

Dopiero powyżej dolnej częstotliwości granicznej

C

R

f

d

2

2

1





, człon ten działa jako

integrator.

Przykład układu całkującego.

Układami całkującymi są dolnoprzepustowe filtry pierwszego rzędu, tj. filtry o

nachyleniu charakterystyki -6 dB na oktawę (-20 dB na dekadę). Przykładem może być
poznany wcześniej wzmacniacz operacyjnym (rys. 10.15a). Wzmacniacz operacyjny w tym
układzie jest objęty ujemnym sprzężeniem zwrotnym, można przyjąć (dla k

u

), że

napięcia na jego wejściu odwracającym i nieodwracającym są takie same. Z tego powodu

wartość prądu wejściowego wynosi

R

U

we

. Prąd ten przepływa przez kondensator. napięcie

wyjściowe jest równe napięciu na kondensatorze. Układ zapewnia sterowanie kondensatora
prądem proporcjonalnym do wartości napięcia wejściowego. Praca tego układu odpowiada
ładowaniu lub rozładowania pojemności przez źródło prądowe prądem proporcjonalnym do
wartości napięcia wejściowego. Ponieważ kondensator jest układem całkującym prąd, to ten
układ jest układem całkującym napięcie.

Rys. 10.15. Wzmacniacz całkujący.
a) schemat zasadniczy, b) przebieg napięcia wejściowego, c) przebieg napięcia wyjściowego.

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 12

Na rysunku 10. 15c przedstawiono przebiegi wyjściowe w opisanym układzie, powstałe
wskutek podania na wejście wzmacniacza napięcia o przebiegu pokazanym na rys. 10.15b.
Układ ten z bardzo dużym przybliżeniem realizuje operację całkowania. Jego przebiegi
wyjściowe maja praktycznie taki sam kształt jak przebiegi idealne (rys. 10.15b).

Zastosowanie układów całkujących.

Układy całkujące stosujemy przede wszystkim:
w generatorach, do kształtowania przebiegu liniowego, trójkątnego i piłokształtnego,
w filtrach,
w układach wyznaczania wartości średniej.

WZMACNIACZ RÓŻNICZKUJĄCY

Wzmacniacz różniczkujący uzyskuje się przez zastąpienie rezystora, włączonego na wejściu
odwracającego wzmacniacza operacyjnego, kondensatorem C (rys 10.16).










Rys. 10.16. Schemat wzmacniacza różniczkującego.

Wzmocnienie napięciowe takiego układu

2

1

Z

Z

k

u





;

(10.41)

gdzie

1

2

R

Z 

;

C

j

Z



1

1



;

po wykonaniu przekształceń otrzymujemy:

C

R

j

k

u

1







;

(10.42)

Analiza pracy wzmacniacza

I

I

C



;

dt

dU

C

I

we

C



;

1

R

U

I

wy





;

U

we

C

R

2

R

1

U

wy

I

c

I

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 13

1

R

U

dt

dU

C

wy

we





;

Po wykonaniu odpowiednich przekształceń otrzymujemy:

 

 

 

t

d

t

dU

CR

t

U

we

wy

1





;

(10.43)

Jest to zależność napięcia wyjściowego od napięcia wejściowego w funkcji czasu.
Wzmacniacz różniczkujący ma wiele wad m.in. jest wrażliwy na szumy sygnału o wielkiej
częstotliwości oraz skłonności do oscylacji.

KONWERTER PRĄD – NAPIĘCIE

Układ, który przetwarza sygnał prądowy na sygnał napięciowy jest nazywany konwerterem
prąd – napięcie (rys.10.17)








Rys.10.17. Schemat konwertera prąd – napięcie.

Na podstawie analizy pracy wzmacniacza operacyjnego otrzymujemy:

IR

U

wy





;

(10.44)

Układ ten charakteryzuje się małą rezystancją wejściową. Może on współpracować tylko ze
źródłami prądowymi o dużej rezystancji wewnętrznej, ponieważ jego wejście stanowi masę
pozorną. Wartość prądu wejściowego I nie zależy wówczas od parametrów układu
konwertera, ale od źródła sygnału wejściowego.

PRZESUWNIK FAZY

Przesuwnikiem fazy nazywamy układ przesuwający fazę napięcia wyjściowego względem
napięcia wejściowego.

Zależność między napięciem wyjścia od napięcia wejściowego

we

wy

U

CR

j

CR

j

U

2

2

1

1













;

(10.45)





we

wy

U

jb

a

U





;

U

we

R

U

wy

I

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 14















we

wy

U

CR

j

CR

j

CR

j

CR

j

U

2

2

2

1

1

1

1





















;





we

wy

U

R

C

CR

j

U

2

2

2

2

2

2

1

1













;

we

wy

U

R

C

R

C

CR

j

U

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

















;

we

wy

U

R

C

R

C

CR

j

U

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

















;

we

wy

U

R

C

CR

j

R

C

U

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

















;

a

b

ar ctg





;

2

2

2

2

2

1

2

ctg

R

C

CR

ar











;

(10.46)

Jeżeli amplituda sygnału wejściowego będzie stała, a zmieni się jedynie jego częstotliwość, to
amplituda sygnału wyjściowego będzie również stała, zmieni się natomiast przesunięcie fazy
sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego.
Układ ten jest odpowiednikiem wzmacniacza odejmującego, w którym do obu wejść jest
doprowadzone jedno napięcie. W wyniku zamiany rezystora na kondensator, na wejście
nieodwracające wzmacniacza jest podawany sygnał wejściowy przesunięty w fazie.

Rys. 10.18. Schemat zasadniczy przesuwnika fazy.

Zmieniając wartość rezystancji R

2

(rezystor regulowany) od 0 do

 (przy stałej częstotliwości

napięcia wejściowego), uzyskuje się w układzie przesunięcie fazowe od - 180

 do - 360.

R

1

R

1

R

2

U

wy

U

1

I

1

I

2

I

4

I

3

C

Wzmacniacz operacyjny.

Strona 15

Jeżeli rezystancja R

2

= 0, to wejście nieodwracające jest podłączone do masy – jego potencjał

jest równy zeru. Schemat układu sprowadza się wtedy do postaci przedstawionej na rysunku
10.18b. Jest to schemat wzmacniacza odwracającego o wzmocnieniu k

u

= -1 i przesunięciu

fazowym wynoszącym - 180

.

Jeżeli rezystancja R

2

=

, to napięcie podawane na wejście nieodwracające jest równe

napięciu wejściowemu. Schemat układu przedstawiony jest na rysunku 10.18c.
Przy bardzo dużym wzmocnieniu napięciowym wzmacniacza operacyjnego
(k

uo

 ) napięcie na wejściu nieodwracającym jest w przybliżeniu równe napięciu na

wejściu odwracającym U

-

= U

+

= U

we

. Spadek napięcia na rezystorze R

1

(wywołany

przepływem prądu I) wynosi zero.

Wartość prądu wejściowego:

0







R

U

I

.

Różnica napięć między wejściem odwracającym a wyjściem U

-

= U

wy

= 0

.

wynika z tego, że

U

wy

= U

we

. Układ wówczas jest wtórnikiem napięciowym, a jego przesunięcie fazowe wynosi

0

.