Budownictwo Wodne:
Wykład 4: Stateczność ogólna
budowli wodnych. Oszacowania
kinematyczne dla płaskich
problemów nosności granicznej
dr hab. inż. A. Truty prof. PK
26th March 2006
1
Budownictwo Wodne:
Wykład 4: Stateczność ogólna
budowli wodnych. Oszacowania
kinematyczne dla płaskich
problemów nosności granicznej
dr hab. inż. A. Truty prof. PK
26th March 2006
1
Stateczność na obrót
• Wykonujemy zestawienie wszystkicsił działających na konstrukcję, pomi-
jając obciążenia zmienne jeśli te mają charakter stabilizujący
• Sprawdzamy stosunek momentów sił stabilizujących i destabilizujących
• Ciężar własny jest obc. stabilizującym natomiast parcie wody , parcie
lodu i wypór destabilizującym
• m =
P
M
stab
A
P
M
destab
A
=
G g
P p + V v
> m
o
• m
o
- współczynnik pewności dla danej klasy budowli
• dla zapór łukowych sprawdzenie tego warunku jest bezzasadne
2
Stateczność na poślizg w płaszczyźnie fundamentu
• n =
µ(Gcosα + P sinα − V ) + c F
P cosα − Gsinα
> n
o
• µ - współczynnik tarcia µ = 0.5 ÷ 0.75
• c - przyczepność pomiędzy skałą i betonem
• τ =
H
A
σ
n
=
P
A
3
Stateczność z uwzględnieniem wyparcia gruntu
spod fundamentu
• możemy zastosować tzw. metody paskowe (z uwagi na kryterium Coulomba-
Mohra !)
• q
1
=
G
B
−
P e
P
B
3
12
B
2
+
G e
G
B
3
12
B
2
• q
2
=
G
B
+
P e
P
B
3
12
B
2
−
G e
G
B
3
12
B
2
• efektywne naprężenie normalne: σ
nj
=
(Q
j
+ G
j
) cos(α
j
)
∆X
cosα
j
− u
j
• graniczne naprężenie styczne: τ
nj
= σ
nj
tg(φ) + c
• współczynnik pewności: n =
P
τ
nj
∆X
cosα
j
P
(Q
j
+ G
j
) sin(α
j
)
∆X
cosα
j
• G
j
- cieżar j-tego paska, Q
j
= q(X)∆X
j
• u
j
- ciśnienie wody w porach w podstawie j-tego paska
4
Płaski stan odkształcenia
• u = u(x, y)
v = v(x, y)
w = 0
• ε
z
= 0
γ
xz
= γ
yz
= 0
• Uwaga: ε
p
z
6= 0
• np. dla warunku H-M-H
·
ε
p
ij
=
·
λ
1
2
√
J
2
∂J
2
∂σ
ij
• zachodzi tylko równośc ε
e
z
+ ε
p
z
= 0
• w momencie inicjacji plastycznego płynięcia
·
ε
e
z
6= 0
• w stanie zaawansowanego płynięcia plastycznego
·
ε
e
z
= 0 a zatem
·
ε
z
−
·
ε
e
z
=
·
ε
p
z
⇒
·
ε
p
z
= 0 bo
·
ε
e
z
= 0
imperfekcja
imperfekcja
Zaawansowane
płynięcie plastyczne
• to oznacza, że w stanie zawansowanego płynięcia plastycznego stany
naprężeń muszą byc w tych strefach gdzie
·
ε
p
z
= 0
w przypadku warunku H-M-H ⇒ s
z
= 0
Rozważamy warunek H-M-H
• w stanie granicznym s
z
= 0
• s
z
=
2
3
σ
z
−
1
3
(σ
x
+ σ
y
)
• zatem σ
z
=
1
2
(σ
x
+ σ
y
)
5
• s
x
= σx −
1
3
(σ
x
+ σ
y
+ σ
z
)
• s
y
= σy −
1
3
(σ
x
+ σ
y
+ σ
z
)
• wstawiamy σ
z
do wzorów na s
x
i s
y
i otrzymujemy:
s
x
=
1
2
(σx − σy)
s
y
=
1
2
(σy − σx)
• składowe odkształceń plastycznych w stanie rozwinietego płynięcia plas-
tycznego:
·
ε
x
=
·
ε
p
x
=
·
λ s
x
·
ε
y
=
·
ε
p
x
=
·
λ s
y
= −
·
λ s
x
= −
·
ε
x
·
γ
xy
=
·
γ
p
xy
= 2
·
ε
xy
= 2
·
λ s
xy
= 2
·
λ τ
xy
• z powyższego wynika, że
·
ε
x
+
·
ε
y
= 0 (płynięcie plastyczne bez zmian objętości)
s
2
s
1
s
1
= - s
2
s
1
= - s
2
H-M-H
6
Prędkość dysypacji (warunek Tresci)
s
2
s
1
s
1
= - s
2
s
1
= - s
2
Tresca
P
1
1
P
• D = σ
ij
·
ε
p
ij
= σ
1
·
ε
p
1
+ σ
2
·
ε
p
2
+ σ
3
·
ε
p
3
= σ
1
·
ε
p
1
+ σ
2
·
ε
p
2
= (σ
1
− σ
2
)
·
ε
p
1
bo
·
ε
p
1
+
·
ε
p
2
= 0 (
·
ε
p
x
+
·
ε
p
y
= 0)
• D = 2 τ
o
·
ε
p
1
= 2 τ
o
k
·
ε
p
1
k
• Uwaga: to jest prędkośc dysypacji na jednostkę objętości
7
Podejścia kinematyczne na przykładzie warunku
Tresci
Rozważmy nastepujace zadanie:
Szukamy oszacowania górnego dla wartości siły F w stanie granicznym:
F
• Musimy skonstruować pole przemieszczeń kinematycznie dopuszczal-
nych a następnie obliczyć moc dysypacji
• Dobre oszacowania górne otrzymuje się dla pól prędkosci odpowidają-
cych przesunięciom sztywnych bloków z uwzględnieniem tarcia pomiedzy
nimi (dla warunku M-C)
• dla takich mechanizmów całość deformacji jest skoncentrowana w wąs-
kich pasmach (ścinania) nachylonych pod kątem 45
o
względem głównych
osi tensora naprężenia
8
•
h
n
t
x
x
2
u
t
1
γ
• układ t − n zawsze można dobrac tak aby τ
nt
> 0
• Podczas plastycznego płynięcia τ
nt
jest równe granicznemu napręzeniu
przy ścinaniu τ
o
• kinematyka: tg(γ) =
u
t
h
u
t
= h tg(γ) ≈ hγ (γ musi być małe)
•
A
A’
u
t
n
t
•
·
u
t
=
·
u
A
t
−
·
u
A
0
t
·
u
n
=
·
u
A
n
−
·
u
A
0
n
= 0
• Prędkość dysypacji energii na jednostkę długości pasma:
D
int
=
R
+
h
2
−
h
2
τ
nt
·
γ
nt
(n) dn = τ
o
R
+
h
2
−
h
2
·
γ
nt
(n) dn = τ
o
k
·
u
t
k
9
Mechanizm zniszczenia - wariant I
b
F
h
b
θ
u
t
•
·
u
t
=
·
θ b
• całkowita moc dysypacji = D = π b τ
o
·
u
t
= π b τ
o
·
θ b = π b
2
τ
o
·
θ
•
F
O
b
Θ
2
• moc sił zewnetrznych:
·
W
ext
= F
·
θ
b
2
• zapisujemy :
·
W
ext
= D ⇒ π b
2
τ
o
·
θ = F
·
θ
b
2
• stąd: F = 2 π b τ
o
= 6.28 b τ
o
10
Mechanizm zniszczenia - wariant I-równanie równowagi
momentów
d
φ
dQ
O
• dQ = τ
o
dφ b
dM = Q
. b
M =
R
π
0
dM dφ =
R
π
0
τ
o
b
2
dφ = πτ
o
b
2
• suma momentów sil destabilizujących = suma momentów sił utrzymu-
jących
• F
b
2
= π τ
o
b
2
• stąd: F = 6.28bτ
o
Mechanizm zniszczenia - wariant II
b
b
b
F
1
2
3
11
• Przyjmujemy prędkośc bloku 1 jako kinematyczny parameter sterujący
• Musimy ustalić teraz prędkosci wszystkich bloków (zakładamy w ty
mechaniźmie że wszystkie trójkaty są równoboczne)
• budujemy hodograf ruchu
u
1
u
21
u
2
u
32
u
3
u
1
u
21
u
2
u
32
u
3
Hodograf
Schemat ruchu
bloków
30
o
60
o
60
o
• k
·
u
21
k = k
·
u
1
k
2
√
3
• tg(60
o
) =
k
·
u
1
k
k
·
u
2
k
⇒ k
·
u
2
k =
1
√
3
k
·
u
1
k
• k
·
u
32
k = k
·
u
2
k
k
·
u
3
k = k
·
u
2
k
• Liczymy dysypację wzdłuż wszystkich pasm ścinania:
D = τ
o
2bk
·
u
21
k + 2bk
·
u
2
k + 2bk
·
u
32
k + 2bk
·
u
3
k
=
2b τ
o
·
u
1
2
√
3
+
1
√
3
+
1
√
3
+
1
√
3
+
1
√
3
!
=
10
√
3
τ
o
b
·
u
1
• Liczymy moc sił zewnętrznych:
·
W
ext
= F
·
u
1
• D =
·
W
ext
⇒
10
√
3
τ
o
b = 5.76 b τ
o
12
Stateczność skarpy pionowej
Problem: określ maksymalną wysokośc skarpy H tak aby pozostała ona w
stanie równowagi statycznej
B
α
G u
1
τ
ο
H
• B =
H
tg(α)
• G =
1
2
γ B H =
1
2
γ
H
2
tg(α)
• D =
·
W
ext
⇒ G sin(α)
·
u
1
=
H
sin(α)
τ
o
·
u
1
• H =
2 τ
o
γ sin(α) cos(α)
=
4 τ
o
γ sin(2 α)
• skad wziąć α ?
• oszacowania kinematyczne są oszacowaniami "od góry" a zatem szukamy
min H
• H = H
min
⇔ sin(2 α) ⇒ max ⇒ α = 45
o
• zatem maksymalna wysokość skarpy moze wynieśc: H
max
=
4 τ
o
γ
13