fale elektromagnetyczne

/

1

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

teoria: J.C. Maxwell
(1831 – 1879)

doświadczenie: H. Hertz
(1857 – 1894)

Dipol Hertza:

fale elektromagnetyczne

/

2

RÓWNANIA MAXWELLA

rot

rot

div

div

0

B

D

E

H

j

t

t

D

B

ρ

∂

∂

= −

=

+

∂

∂

=

=

r

r

r

r

r

r

r

m

H

H

B

m

F

E

D

/

10

4

/

10

85

,

8

7

0

0

12

0

0

−

−

⋅

π

=

µ

µµ

=

⋅

=

ε

εε

=

r

r

r

r

V

m

F

/

=

A

Vs

H

/

=

fale elektromagnetyczne

/

3

JEDNORODNE RÓWNANIA MAXWELLA

Dla ośrodka nie zawierającego ładunków swobodnych
(

ρ

= 0 i j = 0) jednorodne równania Maxwella

rot

rot

div

0 div

0

B

D

E

H

t

t

D

B

∂

∂

= −

=

∂

∂

=

=

r

r

r

r

r

r

fale elektromagnetyczne

/

4

RÓWNANIA FALOWE

Dla

ε

= const.

z jednorodnych równań Maxwella wynikają równania falowe:

2

0

0

2

0

E

E

t

εε µµ

∂

∆ −

=

∂

r

r

2

0

0

2

0

H

H

t

εε µµ

∂

∆ −

=

∂

r

r

2

∆ = ∇ ⋅∇ = ∇

r

r

We współrzędnych kartezjańskich













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∆

2

2

2

2

2

2

z

y

x

fale elektromagnetyczne

/

5

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Rozwiązaniem równania falowego jest

dowolna funkcja argumentu

ττττ

r n

t

v

τ

⋅

= −

r r

która ma ciągłe drugie pochodne.

x

y

z

r n

E

f t

n r

n x

n y

n z

v

⋅





=

−

⋅ =

+

+









r r

r r

gdzie

n

określa kierunek, a v wartość prędkości z jaką porusza się punkt o

stałej wartości

τ

0

0

2

1

µµ

εε

=

v

0

0

1

µ

ε

=

c

.

fale elektromagnetyczne

/

6

FRONT FALOWY

Punkty o stałej wartości argumentu

τ

const.

r n

t

v

τ

⋅

= −

=

r r

tworzą powierzchnie stałej fazy (fronty falowe). Dla określonej chwili czasu
(t = const.) oznacza to, że

const.

r n

⋅ =

r r

fale elektromagnetyczne

/

7

FALA PŁASKA

z

front falowy

r

r

x

r

r

x

ˆ

n

x

r

Jeżeli powierzchnie stałej fazy tworzą płaszczyzny prostopadłe do kierunku
propagacji (na przykład x = const.) to falę nazywa się falą płaską.

r n

x

⋅ =

r r

n

r

fale elektromagnetyczne

/

8

FALE MONOCHROMATYCZNE

Jednym z rozwiązań równania falowego jest funkcja okresowa

E

∼

cos (

ωτ

)

0

c o s

E

E

t

n r

v

ω

ω





=

−

⋅









r

r

r

r

(

)

0

cos

E

E

t

k r

ω

=

− ⋅

r

r

r

r

gdzie oznacza wektor falowy

k

r

k

n

v

ω

=

r

r

0

0

µµ

εε

ω

=

k

ε

=

ε

(

ω

)

- dyspersja ośrodka.

r n

t

v

τ

⋅

= −

r r

ω

= 2

π

/T

częstość kołowa

fale elektromagnetyczne

/

9

FALE MONOCHROMATYCZNE

(

)

0

cos

E

E

t

k r

ω

=

− ⋅

r

r

r

r

k

r

- wektor falowy

W postaci zespolonej

(

)

(

)

*

0

0

i

t k r

i

t k r

E

E e

E e

ω

ω

− ⋅

−

− ⋅

=

+

r

r

r

r

r

r

r

lub w skrócie:

(

)

0

. .

i

t k r

E

E e

c c

ω

− ⋅

=

+

r r

r

r

fale elektromagnetyczne

/

10

WIDMO FAL ELEKTROMAGNETYCZNYCH

fale elektromagnetyczne

/

11

ROZSZCZEPIENIE ŚWIATŁA

pryzmat

siatka dyfrakcyjna odbiciowa i transmisyjna

dzięki dyspersji szkła.

fale elektromagnetyczne

/

12

MONOCHROMATYCZNE FALE PŁASKIE

(

)

(

)

cos

cos

0

0

kx

t

H

H

kx

t

E

E

z

y

−

ω

=

−

ω

=

r

r

r

r

0

0

0

0

y

z

E

H

µµ

εε

=

fale elektromagnetyczne

/

13

MONOCHROMATYCZNE FALE PŁASKIE

(

)

(

)

cos

cos

0

0

kx

t

H

H

kx

t

E

E

z

y

−

ω

=

−

ω

=

r

r

r

r

0

0

0

0

y

z

E

H

µµ

εε

=

lub

(

)

(

)

cos

cos

0

0

kx

t

H

H

kx

t

E

E

y

z

−

ω

=

−

ω

=

r

r

r

r

0

0

0

0

z

y

E

H

µµ

εε

−

=

można zapisać jednym równaniem:

E

n

v

B

E

n

H

r

r

r

r

r

r

×

=

×

µµ

εε

=

1

lub

0

0

Znając pole elektryczne można wyznaczyć pole magnetyczne

fale elektromagnetyczne

/

14

POLARYZACJA FAL

(

)

(

)

2

2

1

1

cos

ˆ

cos

ˆ

δ

+

−

ω

=

δ

+

−

ω

=

kx

t

A

z

E

kx

t

A

y

E

z

y

r

r

δ

1

-

δ

2

przesunięcie fazowe

Koniec wektor natężenia pola elektrycznego porusza się po elipsie.

Przypadki szczególne:

•

fala spolaryzowana liniowo (ustalony kierunek wektora E)

A

1

= 0 lub A

2

= 0 lub

δ

1

-

δ

2

= m

π

•

fala spolaryzowana kołowo (koniec wektora E porusza się po okręgu)

A

1

= A

2

i

δ

1

-

δ

2

= (2m + 1)

π

/2 m = 0,

±

1, ...

z

y

E

E

E

r

r

r

+

=

E

r

fale elektromagnetyczne

/

15

POLARYZOWANIE ŚWIATŁA

metody uzyskania fal spolaryzowanych np. liniowo

•

emisja selektywna

•

absorpcja selektywna

•

selektywne odbicie

•

dwójłomność

Po przejściu przez polaryzator

E = E

0

cos

θ

θ

- kąt między osią łatwego przepuszczania polaryzatora,

a kierunkiem natężenia pola elektrycznego fali świetlnej.

POLARYZATOR

fale elektromagnetyczne

/

16

ENERGIA FALI

ELEKTROMAGNETYCZNEJ

•

Gęstość energii

2

0

E

e

εε

=

•

Strumień energii

S

E H

= ×

r

r

r

wektor Poyntinga

:

fale elektromagnetyczne

/

17

NATĘŻENIE ŚWIATŁA

0

1

T

sr

I

S

Sdt

T

=

=

∫

r

Dla fali płaskiej spolaryzowanej liniowo

H

E

=

εε

µµ

0

0

2

0

0

S

EH

E

εε

µµ

=

=

r

dla

t

T

>>

dt

kx

t

E

T

I

T

)

(

cos

1

2

2

0

0

0

0

−

=

∫

ω

µµ

εε

2

0

0

0

2

1

E

I

µµ

εε

=

S

E

H

= ×

r

r

r